基本不等式
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，
叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)
通常表達(dá)為：（積定和最小）
應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
拓展1 幾個(gè)重要平均數(shù)的大小關(guān)系
時(shí)有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等
拓展2 權(quán)方和不等式
若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.
沖刺訓(xùn)練
1.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運(yùn)算推出，從將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意正實(shí)數(shù)滿足，則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取得等號，即的最小值是18，故選：D
2.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】化簡已知式可得，因?yàn)?，由基本不等式求解即?
【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.
3.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，把方程化為，根據(jù)方程有解，利用，求得，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，
所以的最大值為.故選：B.
4.若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則，令，解得，即直線恒過點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立所以的最大值為.故選：B.
5.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，，，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等號成立條件得出，即可得出答案．
【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>所以，所以，所以 ，即，又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，此時(shí)，所以，故選：D．
6.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，從而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)其公比為，則，，
所以，得，解得，因?yàn)椋裕?br>則，即，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.故選：B.
7．（多選）若實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，討論，可得的范圍，再利用的范圍求出的范圍.
【詳解】,
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立，得，當(dāng)時(shí)，由可得或
綜合可得，故C正確，D錯(cuò)誤；，
當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，B正確；故選：BC.
8．（多選）若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．且B．的最大值為
C．的最小值為7D．
【答案】ABD
【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】由，可得，所以且，故A正確；
由，可得，即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為，故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為9，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，所以，故D正確.故選：ABD.
9．（多選）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．有最小值B．可以取到0
C．有最大值D．有最小值2
【答案】AD
【分析】根據(jù)“1”的技巧及均值不等式判斷A，由均值不等式可得判斷B，由均值不等式等號成立的條件判斷C，由重要不等式判斷D.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A正確；
因?yàn)闀r(shí)，，而，得出，時(shí)等號成立，故不成立，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，而，故等號不成立，故C錯(cuò)誤；
由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，故D正確.
故選：AD
10．（多選）已知且，則（ ）
A．的最大值為B．的最大值為2
C．的最小值為6D．的最小值為4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，所以?br>即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確；
對于C，由得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.故選：BC.
11.設(shè)，則的最小值為 .
【答案】6
【分析】對式子進(jìn)行變形，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即取等號，所以的最小值為6.
故答案為：6
12.已知，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由基本不等式求解即可.
【詳解】，且，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：.
13.已知正數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】首先對關(guān)系式進(jìn)行恒等變換, 進(jìn)一步整理得 , 最后利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】已知正數(shù) 滿足 ,所以 ,所以:
則:
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；
要使 恒成立, 只需滿足 即可,故 .故答案為: .
14.已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由已知得,將所求式子化為，然后利用“1的代換”和基本不等式求最值.
【詳解】因?yàn)?，所?∴,
所以= ，當(dāng) ，即時(shí)取等號，的最小值為 .故答案為：.
15.已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為 .
【答案】
【分析】由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求的最小值，即可求得的最小值.
【詳解】解：，由于，，是正實(shí)數(shù)，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號成立，則的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，則最小值為.故答案為：.
基本不等式 隨堂檢測
1.已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，由，得，所?br>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故的最小值為.故選：D
2.若，則的最小值是 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.故選：C
3.設(shè)a，b為正數(shù)，若直線被圓截得弦長為4，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，再由均值不等式求解即可.
【詳解】由可得 ，故圓的直徑是4，所以直線過圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即 時(shí)，等號成立.故選：D.
4.（多選）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)基本不等式判斷A,B選項(xiàng)，特殊值法判斷C,D選項(xiàng)即可.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A正確；
選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；
選項(xiàng)C：因?yàn)?,，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：因?yàn)?,,故D錯(cuò)誤．故選:AB．
5．（多選）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】對于A，取即可判斷；對于B，求得，再結(jié)合基本不等式即可判斷；對于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判斷；對于D，，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】對于A，取，滿足，但不滿足， A錯(cuò)；
對于B，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，B對；
對于C，，令，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C對；
對于D，，令，由C選項(xiàng)可知，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，D對.故選：BCD.
6．（多選）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對于A：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故A正確；
對于B：因?yàn)?，，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；
對于C：因?yàn)?，，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D：因?yàn)?，，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確.故選：ACD
7．（多選）下列說法正確的有
A．若，則的最大值是
B．若，則的最小值為2
C．若，，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是4
D．已知，，且，則最小值是
【答案】AD
【分析】根據(jù)選項(xiàng)中各式的特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)變形，使用基本不等式進(jìn)行判斷．注意“1”的妙用及等號能否取到．
【詳解】對于，由可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，
所以的最大值為，故正確；
對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，但此時(shí)無解，等號無法取得，則最小值不為2，故錯(cuò)誤；
對于，由可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，，時(shí)，等號成立，
由于，，均為正實(shí)數(shù)，則等號取不到，故錯(cuò)誤；
對于，由可得，代入到，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，故正確．故選：．
8.已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】18
【分析】對等式進(jìn)行變形，再根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，又，是正數(shù)，
所以，當(dāng)取得等號，即且時(shí)取等號，所以的最小值為，故答案為：.
9.若，則的值可以是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，則.故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）
基本不等式的推論
重要不等式
（和定積最大）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號

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