數(shù)學(xué)新文化一方面考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維、模型思維，另一方面也考查學(xué)生計(jì)算能力，常見的數(shù)學(xué)文化命題方向有：
斐波那契數(shù)列、趙爽弦圖、楊輝三角、歐拉公式、阿基米德、笛卡爾、萊布尼茨、牛頓、高斯、費(fèi)馬、泰勒、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、秦九韶、古代建筑、切比雪夫、科赫曲線、割圓術(shù)、祖暅原理、拉格朗日、時(shí)事熱點(diǎn)，需學(xué)生熟悉此類題型，強(qiáng)化練習(xí)
沖刺訓(xùn)練
1.《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種常見的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)，測得切線，，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（ ）

A．0.62B．0.56C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用四邊形的內(nèi)角和為、余弦定理及誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，

設(shè)弧AB對(duì)應(yīng)圓心是O，根據(jù)題意可知，，，則，
因?yàn)椋?，?br>則在△ACB中，，
所以.故選：A.
2.17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)（為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素?cái)?shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù).除了和兩個(gè)數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí).人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素?cái)?shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，記為.幾個(gè)年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個(gè)梅森素?cái)?shù)，第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【答案】D
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】由已知可得.故選：D
3.歐幾里得在《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)，可以唯一分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么這個(gè)乘積形式是唯一的.記（其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，），這樣的分解稱為自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式.若的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式為，則的正因子有個(gè)，根據(jù)以上信息，180的正因子個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．12C．13D．18
【答案】D
【分析】先將180分解成素?cái)?shù)的乘積，然后根據(jù)題意求解即可.
【詳解】根據(jù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得，故180的正因子個(gè)數(shù)為，故選：D.
4.歐拉公式由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位與三角函數(shù)，聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由歐拉公式化簡復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋詚的虛部為.故選：D.
5.我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異”．這就是“祖暅原理”．祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面的面積都相等，由此得到新幾何體與半球的體積相等，即．現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得到如圖3所示的橢球，類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得該橢球的體積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，通過計(jì)算可得高相等時(shí)截面面積相等，根據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.
【詳解】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，
圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體．
當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點(diǎn)距離為時(shí)，設(shè)小圓錐底面半徑為，則，即，故新幾何體的截面面積為．把代入，即，解得，
故半橢球的截面面積為，由祖暅原理，可得橢球的體積為：
圓柱圓錐．故選：A．
6.“牟合方蓋”是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計(jì)算球體體積的方法，當(dāng)一個(gè)正方體用圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)，兩圓柱體的公共部分即為“牟合方蓋”，他提出“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為定值，南北朝時(shí)期祖暅提出理論：“緣冪勢既同，則積不容異”，即“在等高處的截面面積總是相等的幾何體，它們的體積也相等”，并算出了“車合方蓋”和球的體積，其大體思想可用如圖表示，其中圖1為棱長為的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為的正方體的八分之一，圖3是以底面邊長為r的正方體的一個(gè)底面和底面以外的一個(gè)頂點(diǎn)作的正四棱錐，則根據(jù)祖暅原理，下列結(jié)論正確的為（ ）

A．若以一個(gè)平行于正方體上下底面的平面，截“牟合方蓋”，截面是一個(gè)圓形．
B．圖2中陰影部分的面積為．
C．由棱長為的正方體截得的“牟合方蓋”體積為．
D．“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為．
【答案】D
【分析】由牟盒方蓋的定義判斷A，由祖原理判斷B，直接求出“牟合方蓋”體積判斷C，求出圓的面積與正方形面積的比值判斷C.
【詳解】牟盒方蓋是由兩個(gè)直徑相等且相互垂直的圓柱體相交得到的，那么只要用水平面去截它們所得的截面為正方形，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)閳D1中陰影部分的面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)閳D2與圖3中的陰影部分等高且面積相等，都為，
根據(jù)祖暅原理得，圖2中正方體與牟合方蓋的八分之一之間空隙的體積與正四棱錐體的體積相等，
而正四棱錐的體積為，所以由棱長為的正方體截得的“牟合方蓋”體積為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槿我馑脚c“牟合方蓋”及其內(nèi)切球相交的截面為一個(gè)正方形和一個(gè)正方形的內(nèi)切圓，
又正方形的面積為，正方形內(nèi)切圓的面積為，正方形和內(nèi)切圓的面積比為，
由祖暅原理得，“牟合方蓋”的體積和內(nèi)切球的體積之比為，故D正確.
故選：D
7.（多選）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知可得，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)即可.
【詳解】根據(jù)題意可得是首項(xiàng)為，公比為的等差數(shù)列，則，，故A錯(cuò)誤；，故B正確； ，，則，故C正確；，故D正確．
故選：BCD．
8.（多選）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（ ）
A．四棱錐為“陽馬”
B．四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為
C．四棱錐體積最大值為
D．四面體為“鱉臑”
【答案】ABD
【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，D的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意找到四面體的外接球的球心位置，求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到判斷B.
【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，
∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，
對(duì)A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，
∴四棱錐為“陽馬”，對(duì)；
對(duì)C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，由，即，又且，平面，
∴平面，平面,∴，則為直角三角形，
又由平面，平面，，則為直角三角形，
由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，故D正確；
對(duì)B選項(xiàng)，由C知為直角三角形，側(cè)棱平面，則易知,為直角三角形，
而為直角三角形，則外接球球心位于的中點(diǎn)，則外接球半徑，
則球的表面積為，故B正確.故選：ABD．
9．（多選）平面螺旋是以一個(gè)固定點(diǎn)開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第三個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．則（ ）

A．?dāng)?shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
B．從正方形開始，連續(xù)個(gè)正方形的面積之和為32
C．使得不等式成立的的最大值為3
D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，，都是等比數(shù)列，從而可求，的通項(xiàng)公式，再對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案．
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，且，所以，又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由上知，，，，，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，易知是單調(diào)遞減數(shù)列，且，，故使得不等式成立的的最大值為，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，所以，故D正確；
故選：ACD．
10.（多選）我國古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如圖是一個(gè)“羨除”模型，該“羨除”是以為頂點(diǎn)的五面體，四邊形為正方形，平面，則（ ）
A．該幾何體的表面積為
B．該幾何體的體積為
C．該幾何體的外接球的表面積為
D．與平面所成角的正弦值為
【答案】ABD
【分析】過E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，將該幾何體分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐，取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，則EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，然后求出表面積可判斷A；連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，可證得FT⊥面ABCD，求出一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐的體積，可得該幾何體的體積，從而判斷B；連接AC，BD交于點(diǎn)O，可求得O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，求出表面積即可判斷C；取AB的中點(diǎn)N，得AE∥FN，則與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)N到面FBC的距離為h，利用等體積法，由求得，進(jìn)而可得與平面所成角的正弦值，可判斷D．
【詳解】∵EF∥平面ABCD，EF在平面ABFE內(nèi)，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴EF∥AB，
∵AB∥DC，∴EF∥DC，∵∴ABFE，DCFE均為等腰梯形，
過E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，連接KM，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，連接GH，
∴EF∥KG∥MH， EF＝KG＝MH＝2，AK＝GB＝DM＝HC＝1，
∵AB∥DC ， FH⊥DC，∴AB⊥FH，又AB⊥GF，GF，F(xiàn)H在平面FGH內(nèi)，GF∩FH＝F，
∴AB⊥面FGH，同理，AB⊥面EKM，∴面FGH∥面EKM，
∴該幾何體被分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐.，分別取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，連接FQ，EP，
∵，∴EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，
∴FQ＝，∴，
FG＝，，又，
∴該幾何體的表面積為， 故A正確；
連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，連接FT，
∵AB⊥面FGH，F(xiàn)T在面FGH內(nèi)，∴FT⊥AB，∵GF＝FH＝EK＝EM，∴FT⊥GH，
又AB，GH在面ABCD內(nèi)，AB∩GH＝G，∴FT⊥面ABCD，
∴FT＝，∴，
∵，∴，
∴該幾何體的體積為，故B正確；
連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O也在PQ上，連接OE，OF，
∵EF∥OQ，EF＝OQ，∴EFQO為平行四邊形，∴EO＝FQ＝，同理，F(xiàn)O＝EP＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝，∴O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，
∴該幾何體的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；取AB的中點(diǎn)N，連接FN，NC，
∵EF∥AN，EF＝AN，∴EFNA為平行四邊形，∴AE∥FN，
∴與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)為，設(shè)N到面FBC的距離為h，
∵，∴，∴，∴，
∴，即與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選：ABD．
11.（多選）正割（Secant）及余割（Csecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割，余割.已知函數(shù)，給出下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)椋?br>B．的最小正周期為；
C．的值域?yàn)椋?br>D．圖象的對(duì)稱軸為直線.
【答案】BC
【分析】由輔助角公式化一，再根據(jù)，即可求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的值域結(jié)合函數(shù)的定義域即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D.
【詳解】，由，得，
即的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故的最小正周期與函數(shù)的最小正周期一致，均為，故B正確；
當(dāng)時(shí)，的值分別為，而函數(shù)的值域?yàn)椋?br>再結(jié)合周期性可知，的值域?yàn)?，故C正確；
令，得，即圖象的對(duì)稱軸為直線，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．（多選）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置可判斷.
B選項(xiàng)，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.
C選項(xiàng)，由雙曲線定義可判斷.
D選項(xiàng)，利用角平分線性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義可得.
【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；
選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，若，則，
因?yàn)?，所以，解得，即B正確；
選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒?，由角分線定理知，，所以，
又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.
13.算盤是中國傳統(tǒng)的“珠算”工具．下圖是一把算盤，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位、，上面一粒珠（簡稱上珠）代表數(shù)字，下面一粒珠（簡稱下珠）代表數(shù)字，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個(gè)位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?，往上撥粒下珠，則算盤表示的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是 .

【答案】
【分析】利用列舉法求出算盤表示的數(shù)有6個(gè)，其中質(zhì)數(shù)的有2個(gè)，代入古代概型概率公式直接計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，算盤所表示的數(shù)可能有：、、、、、，
其中是質(zhì)數(shù)的有：、，故所求事件的概率為.
故答案為：
14.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】12
【分析】根據(jù)題意求出第n次操作后去掉的各區(qū)間長度之和,列不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由題意可知，每次操作剩下的區(qū)間長度為都是原來的，
第n次操作后剩下的區(qū)間長度為，則所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意知，，得，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得，又n為整數(shù)，∴n的最小值為12．
故答案為：12．
15.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率 .
【答案】/
【分析】由題意可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)及托勒密定理可得四邊形為矩形．利用雙曲線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，
則，，可得四邊形為平行四邊形，

又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．
設(shè)，，在中，，
則，，，，，，解得．
雙曲線的離心率為．故答案為：．
16.幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早記載于中國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行?三列?兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，便得到一個(gè)3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內(nèi)，使得每行?每列?每條對(duì)角線上的數(shù)字的和相等，這個(gè)正方形就叫做階幻方.記階幻方的一條對(duì)角線上的數(shù)字之和為（如：），則 .
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列求和公式得出n階幻方的所有數(shù)之和，再計(jì)算每行數(shù)之和即可得出對(duì)角線上數(shù)字之和.
【詳解】n階幻方共有個(gè)數(shù)，其和為，∵n階幻方共有n行，
∴每行的和為.故答案為：505
數(shù)學(xué)新文化 隨堂檢測
1.歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，，，，，，，，，，，，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列舉數(shù)列，得到數(shù)列的周期為6求解.
【詳解】解：由題意得：數(shù)列為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以該數(shù)列的周期為6，
所以，故選：B
2.正割（Secant）及余割（Csecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec，csc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)新定義及輔助角公式化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.
【詳解】，其中，
所以，且，即的值域?yàn)?故選：D.
3.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮 尖，清代稱攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢 尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑． 如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可 近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為? ，則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正六棱錐的底面為正六邊形計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】正六棱錐的底面為正六邊形，設(shè)其外接圓半徑為，則底面正六邊形的邊長為，
因?yàn)檎忮F的側(cè)面等腰三角形的底角為，所以側(cè)棱長為，所以側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為.故選：D
4.如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，
過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，
設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，
模型中九個(gè)球的表面積和為.
故選：B
5.1990年9月，Craig F·Whitaker給《Parade》雜志“Ask Marilyn”專欄提了一個(gè)問題（著名的蒙提霍爾問題，也稱三門問題），在蒙提霍爾游戲節(jié)目中，事先在三扇關(guān)著的門背后放置好獎(jiǎng)品，然后讓游戲參與者在三扇關(guān)著的門中選擇一扇門并贏得所選門后的獎(jiǎng)品，游戲參與者知道其中一扇門背后是豪車，其余兩扇門背后是山羊，作為游戲參與者當(dāng)然希望選中并贏得豪車，主持人知道豪車在哪扇門后面.假定你初次選擇的是1號(hào)門，接著主持人會(huì)從號(hào)門中打開一道后面是山羊的門.則以下說法正確的是（ ）
A．你獲得豪車的概率為
B．主持人打開3號(hào)門的概率為
C．在主持人打開3號(hào)門的條件下，2號(hào)門有豪車的概率為
D．在主持人打開3號(hào)門的條件下，若主持人詢問你是否改選號(hào)碼，則改選2號(hào)門比保持原選擇獲得豪車的概率更大
【答案】ABD
【分析】設(shè)分別表示號(hào)門里有豪車，用分別表示主持人打開號(hào)門，然后用全概率公式和貝葉斯公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可
【詳解】設(shè)分別表示號(hào)門里有豪車，用分別表示主持人打開號(hào)門.
對(duì)于A，如題意所述，游戲參與者初次選擇了1號(hào)門，因?yàn)樵谧鲞x擇的時(shí)候不知道豪車在哪個(gè)門里，故不影響豪車在三個(gè)門中的概率分配，所以事件發(fā)生的概率仍然為，即正確；
對(duì)于B，在選擇了1號(hào)門的前提下，主持人打開1號(hào)門外的一個(gè)門有以下幾種可能的情況：
豪車在1號(hào)門里，主持人打開2，3號(hào)門，故，
豪車在2號(hào)門里，主持人只能打開3號(hào)門，故，
豪車在3號(hào)門里，主持人只能打開2號(hào)門，故，
由全概率公式，即正確；
對(duì)于C，由貝葉斯公式，在3號(hào)門打開的條件下，1號(hào)門和2號(hào)門里有豪車的條件概率為，
故選2號(hào)門會(huì)使獲得豪車的概率更大，是正確的決策，即錯(cuò)誤，正確.故選：ABD
6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有高階等差數(shù)列?其前7項(xiàng)分別為5，9，17，27，37，45，49，設(shè)通項(xiàng)公式.則下列結(jié)論中正確的是（ ）
（參考公式：）
A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的前11項(xiàng)和最大
C．
D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合累加法、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、題中所給的公式逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)，所以數(shù)列前6項(xiàng)分別為，設(shè)，
所以數(shù)列前5項(xiàng)分別為，顯然數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由題中定義可知數(shù)列為二階等差數(shù)列，因此選項(xiàng)A正確；，
于是有
，
因此有
，
因?yàn)?，?br>所以數(shù)列的前11項(xiàng)和最大不正確，因此選項(xiàng)B不正確；
因此選項(xiàng)C正確；
，因此選項(xiàng)D不正確；故選：AC
7.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若關(guān)于n的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，化簡題給不等式為，求得的最小值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故．
所以．由，得，
整理得對(duì)任意，且恒成立．又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以t＜15，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是
故答案為：
8.斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第 項(xiàng)．
【答案】
【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．【詳解】由可得
.故答案為：.
9.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為 .

【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，過切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，利用圓的切線性質(zhì)及橢圓的定義求解作答.
【詳解】過切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線切于A，B兩點(diǎn)，

有，過作于點(diǎn)C，則四邊形是矩形，
于是，，又，從而，設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為P，則有，，所以橢圓的長軸長.故答案為：.
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