1.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）
.
2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
.
3.排列數(shù)公式
==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.
4.組合數(shù)公式
===(∈N*，，且).
5.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .
6．單條件排列
以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有種；
②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.
②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.
（3）兩組元素各相同的插空
個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？
當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.
7．分配問題
（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.
（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有
.
8.二項(xiàng)式定理 ;
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
.
沖刺訓(xùn)練
1.如圖，小明從街道的出發(fā)，選擇一條最短路徑到達(dá)處，但處正在維修不通，則不同的路線有（ ）種

A．66B．86C．106D．126
【答案】B
【分析】求出從A到C不同的路線總數(shù)，減去從A到C的過程中途經(jīng)B處的路線數(shù)，即可得出答案.
【詳解】要使A到C的路徑最短，則小明到達(dá)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)后只能選擇向右或向上走到下一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，且選擇向右的次數(shù)為5，選擇向上的次數(shù)為4，總共9次選擇，所以從A到C總共有種不同的路線，同樣，從A到B相當(dāng)于在4次選擇中3次向右，1次向上，所以A到B總共有種不同的路線，從B到C相當(dāng)于在5次選擇中2次向右，3次向上，所以B到C總共有種不同的路線，故從A到C的過程中途經(jīng)B處的路線數(shù)為4×10＝40種，但B處正在維修不通，則不同的路線有126－40＝86種．故選：B.
2.現(xiàn)將5個(gè)代表團(tuán)人員安排至甲?乙?丙三家賓館入住，要求同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住.若這5個(gè)代表團(tuán)中兩個(gè)代表團(tuán)已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團(tuán)入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．16D．18
【答案】A
【分析】由題意可知只要將余下的3個(gè)代表團(tuán)安排到乙?丙兩家賓館，且每個(gè)賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)即可
【詳解】甲賓館不再安排代表團(tuán)入住，則乙?丙兩家賓館需安排余下的3個(gè)代表團(tuán)入住，所以一個(gè)賓館住1個(gè)代表團(tuán)，另一個(gè)賓館住2個(gè)代表團(tuán).共有種方法，故選：A
3.2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，山東也成為備選地之一．若每個(gè)部門從六個(gè)旅游地中選擇一個(gè)旅游地，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（ ）
A．1800B．1080C．720D．360
【答案】B
【分析】分四個(gè)部門所選旅游地都不相同、有兩個(gè)部門選同一個(gè)旅游地，其它兩個(gè)部門在其它五個(gè)旅游地各選一個(gè)，應(yīng)用排列組合數(shù)求不同情況下的方法數(shù)，加總即可.
【詳解】若四個(gè)部門所選旅游地都不相同，則種，若有兩個(gè)部門選同一個(gè)旅游地，余下兩個(gè)部門在其它五個(gè)旅游地各選一個(gè)，所以種，綜上，甲、乙、丙、丁部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種.故選：B
4.為了提高同學(xué)們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，某高中數(shù)學(xué)老師把《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》這4本數(shù)學(xué)著作推薦給學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，若該班A，B，C三名同學(xué)有2名同學(xué)閱讀其中的2本，另外一名同學(xué)閱讀其中的1本，若4本圖書都有同學(xué)閱讀（不同的同學(xué)可以閱讀相同的圖書），則這三名同學(xué)選取圖書的不同情況有（ ）
A．144種B．162種C．216種D．288種
【答案】A
【分析】利用排列組合公式進(jìn)行合理分類討論即可.
【詳解】分兩種情況：第一種情況，先從4本里選其中2本，作為一組，有種，第二組從第一組所選書籍中選1本，再從另外2本中選取1本作為一組，剩余一本作為一組，再分給3名同學(xué)，共有方法；
第二種情況：從4本里任選2本作為一組，剩余的兩本作為一組，有種分法，分給3名同學(xué)中的2名同學(xué)，有種分法，剩余1名同學(xué)，從這4本中任選一本閱讀，有種分法，共有種方法.
故這三名同學(xué)選取圖書的不同情況有種.故選：A.
5.某個(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種B．960種C．1008種D．1200種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用間接法，即可求解.
【詳解】依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).
故選：C.
6.2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等6名志愿者到甲乙兩個(gè)路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個(gè)路口，每個(gè)路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）
A．40B．28C．20D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，先分配特殊的兩個(gè)人，再將剩余4個(gè)人分到兩個(gè)路口，按照分組分配相關(guān)知識進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】若小王在1號路口，小李在2號路口，則剩余4個(gè)人分到兩個(gè)路口，兩個(gè)路口為人分布，共有種方案，兩個(gè)路口為人分布，共有種方案，此時(shí)共有種方案；同理若小王在2號路口，小李在1號路口，也共有種方案.所以一共有28種不同的安排方案種數(shù).故選：B
7.在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具，像開方問題、數(shù)列問題、網(wǎng)格路徑問題等．某一城市街道如圖1所示，分別以東西向、南北向各五條路組成方格網(wǎng)，行人在街道上行走（方向規(guī)定只能由西向東、由北向南前行）．若從這個(gè)城市的最西北角處前往最東南角處，則有70種走法，如圖2．現(xiàn)在由平面擴(kuò)展到空間，即立體交通方格網(wǎng)的路徑問題，如圖3，則從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離走法種數(shù)為（ ）

A．60B．70C．80D．90
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行共有種不同的走法，再由6個(gè)位置能向上走一步，得到種不同的走法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行中，最近的走法為5步，其中由西向東3步，由南向北2步，所以共有種不同的走法，又由在每種走法中，其中由6個(gè)位置能向上走一步，所以有種不同的走法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離走法種數(shù)共有種.故選：A.
8.在的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為160，則 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，令代入即可求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，故 （負(fù)的舍去），故答案為：4
9.若，則二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ．
【答案】
【分析】先由求出的值，再用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得,所以常數(shù)項(xiàng)是，
故答案為：
10.已知的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中含的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意求得，得到二項(xiàng)式為，結(jié)合展開式的通項(xiàng)，即可求解.
【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，即，即二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：.
11.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為120，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,解得.故答案為：.
12.若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】求出的通項(xiàng)為，令和求出的展開式中的系數(shù)，，解方程即可求出答案.
【詳解】,的通項(xiàng)為：，令時(shí)，；令時(shí)，，所以的展開式中的系數(shù)為，所以，解得：.故答案為：.
13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 用數(shù)字作答
【答案】
【分析】求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為，進(jìn)而可以求出多項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng).
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，當(dāng)時(shí)，無整數(shù)解，所以多項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
14.展開式中的系數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.
【詳解】， 的通項(xiàng)公式為，，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.
15.某市第一中學(xué)校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務(wù)小組，分配到東門、西門、中門3個(gè)樓門進(jìn)行志愿服務(wù).由于中門學(xué)生出入量較大，要求中門志愿者人數(shù)不少于另兩個(gè)門志愿者人數(shù)，若每個(gè)樓門至少分配1個(gè)志愿服務(wù)小組，每個(gè)志愿服務(wù)小組只能在1個(gè)樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為 .
【答案】240
【分析】考慮中門分配的人數(shù)，分類解答，結(jié)合平均分組以及不平均分組問題，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.
【詳解】由題意可知，將6教師分為3組，再分配到三個(gè)校門，當(dāng)3個(gè)校門都分2人時(shí)，有種分配方法；當(dāng)中門分配3人時(shí)，其余2門口為一個(gè)1人一個(gè)2人，有種分配方法；當(dāng)中門分配4人時(shí)，其余2門口都為1人，有種分配方法；故共有種分配方法，
故答案為：240.
排列組合與二項(xiàng)式定理 隨堂檢測
1.的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．10C．D．30
【答案】C
【分析】可以看做個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有，，三個(gè)元素，現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，利用組合數(shù)公式，即可求出展開式中的系數(shù).
【詳解】可以看做個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有，，三個(gè)元素，現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，所以展開式中含的項(xiàng)為，故展開式中的系數(shù)為.故選：C.
2.2022年11月30日，神舟十四號航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲和神舟十五號航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸順利“會師太空”，為記錄這一歷史時(shí)刻，他們準(zhǔn)備在天和核心艙合影留念．假設(shè)人站成一排，要求神舟十四號3名航天員互不相鄰且劉洋不站在兩端，不同站法共有（ ）
A．36種B．48種C．72種D．144種
【答案】C
【分析】利用插空法和間接法可求出結(jié)果.
【詳解】神舟十四號3名航天員互不相鄰的排法種數(shù)有種，其中劉洋站在兩端的排法種數(shù)有種，故符合題意的排法種數(shù)有.故選：C
3.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運(yùn)會三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費(fèi)開放預(yù)約期間，甲、乙、丙、丁4人預(yù)約參觀，且每人預(yù)約了1個(gè)或2個(gè)館，則這4人中每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有（ ）
A．76種B．82種C．86種D．90種
【答案】D
【分析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理先分組再討論相同預(yù)約計(jì)算即可.
【詳解】由題意知這4人中恰有2人均預(yù)約了2個(gè)館，剩下2人均預(yù)約了1個(gè)館，首先將4人分成2組，有種不同的分法，下面分2種情況：若預(yù)約2個(gè)館的2人預(yù)約完全相同，有種不同的結(jié)果；
若預(yù)約2個(gè)館的2人有預(yù)約1館相同，有種不同的結(jié)果，所以每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有種．故選：D.
4.某校開設(shè)A類選修課4門，B類選修課2門，每位同學(xué)從中選3門.若要求兩類課程中都至少選一門，則不同的選法共有（ ）
A．32種B．20種C．16種D．14種
【答案】C
【分析】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，從中選1門、中選2門或中選2門、中選1門，分別求得選法種數(shù)，再加總即可.
【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①若從類課程中選1門，從類課程中選2門，有（種）選法；②若從類課程中選2門，從類課程中選1門，有（種）選法.綜上，兩類課程中都至少選一門的選法有（種）.故選：C.
5.某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學(xué)校打算關(guān)掉3盞路燈，頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，則不同的方案種數(shù)是（ ）
A．324B．364C．560D．680
【答案】B
【分析】利用插空法及組合數(shù)求閉燈方案數(shù).
【詳解】將路燈分2盞(為保證關(guān)閉路燈之間至少有兩盞亮)、15盞、3盞(需關(guān)閉的路燈)，首先15盞亮的路燈先排成一排，把3盞關(guān)掉的路燈插空，而頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，所以是除頭尾之外的14個(gè)位置上插入三盞關(guān)掉的燈，共種，在每兩盞關(guān)掉的路燈之間再各放入一盞路燈且路燈無差異，保證關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，只有1種方法.綜上，共有種方案數(shù).故選：B
7.的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】依題意，再寫出展開式的通項(xiàng)，從而求出展開式中的系數(shù).
【詳解】因?yàn)椋渲姓归_式的通項(xiàng)公式為（且），所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為．故答案為：
8.已知的展開式中的系數(shù)為1792，則 .
【答案】2
【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式求指定項(xiàng)的系數(shù)即可.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：
則的系數(shù)為，解得，所以.故答案為：.
9.展開式中的系數(shù)為
【答案】-64
【分析】的系數(shù)，分第一個(gè)括號提供了和第二個(gè)括號提供，再利用的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】解：的系數(shù)來自兩個(gè)方面，如果第一個(gè)括號提供了，則第二個(gè)括號提供，故系數(shù)為，如果第一個(gè)括號提供了，則第二個(gè)括號提供了，故系數(shù)為，所以的系數(shù)為 ． 答案：
10.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
【答案】
【分析】利用組合知識處理二項(xiàng)式展開問題即可得解.
【詳解】可看作7個(gè)相乘，要求出常數(shù)項(xiàng)，只需提供一項(xiàng)，提供4項(xiàng)，提供2項(xiàng)，相乘即可求出常數(shù)項(xiàng)，即.故答案為：

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