1. （改編）若直線a，b的斜率分別為方程3x2?5x?3=0的兩個(gè)根，則直線a，b的夾角為（ ）.
A. 0°B. 30°C. 45°D. 90°
2. 已知直線4x+my?6=0與直線5x?2y+n=0垂直，垂足為t,1，則n的值為（ ）.
A. 7B. 9C. 11D. ?7
3. 平行直線x+2ay?1=0和直線a?1x+ay+1=0間的距離為（ ）.
A. 0B. 32C. 3D. 31010
4. 已知直線l1：ax+a+2y+1=0，l2：x?ay+3=0，其中a∈R，則“a=?1”是“l(fā)1⊥l2”的（ ）.
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
5. （改編）已知直線l1：3x+y?1=0，若直線l2與l1垂直，且l2的傾斜角為α ，則csα?π12=（ ）.
A. 6+24B. 6?24C. 33D. ?3
6. [2024·云南聯(lián)考]當(dāng)點(diǎn)M2,?3到直線4m?1x?m?1y+2m+1=0的距離取得最大值時(shí)，m=（ ）.
A. 2B. 47C. ?2D. ?4
7. 已知點(diǎn)1,?1關(guān)于直線l1：y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A，若直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B2,?1到直線l2的距離最大時(shí)，直線l2的方程為（ ）.
A. 2x+3y+5=0B. 3x?2y+5=0C. 3x+2y+5=0D. 2x?3y+5=0
8.(2024·九省適應(yīng)性測(cè)試)已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足QP=(1,-3),記P的軌跡為E,則( ).
A.E是一個(gè)半徑為5的圓
B.E是一條與l相交的直線
C.E上的點(diǎn)到l的距離均為5
D.E是兩條平行直線
綜合提升練
9. （多選題）對(duì)于直線l1：ax+2y+3a=0,l2：3x+a?1y+3?a=0，以下說(shuō)法正確的是（ ）.
A. “l(fā)1//l2”的充要條件是“a=3”B. 當(dāng)a=25時(shí)，l1⊥l2
C. 直線l1一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)M3,0D. 點(diǎn)P1,3到直線l1的距離的最大值為5
10. [2024·臺(tái)州模擬]（多選題）已知直線l1：x+a?1y+1=0，直線l2：ax+2y+2=0，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A. l1在x軸上的截距為?1B. l2能表示過(guò)點(diǎn)0,?1的任意直線
C. 若l1//l2，則a=?1或a=2D. 若l1⊥l2，則a=23
11. [2024·嘉興模擬]已知直線l與直線l1：2x?y+2=0和l2：x+y?4=0的交點(diǎn)分別為A,B，若P2,0是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為__________.
12. [2024·寧波模擬]（雙空題）已知A?3,0，B3,0及直線l1：x?y+1=0，l2：x?y?1=0，作直線l3垂直于l1，l2，且垂足分別為C,D，則CD=_______ ,AC+CD+DB的最小值為_______
應(yīng)用情境練
13. 如圖，射線OA，OB所在直線的方向向量分別為d1=1,k，d2=1,?kk>0，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N.
（1）若k=1，P(32,12)，求OM的值；
（2）若P2,1，△OMP的面積是65，求k的值.
創(chuàng)新拓展練
14. （雙空題）已知直線l1：2x?y+a=0，l2：4x?2y?1=0，l3：x+y?1=0，且原點(diǎn)到直線l1的距離是355，則a=_______ .若a>0，點(diǎn)P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l2的距離是點(diǎn)P到l1的距離的2倍；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是2:5.點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______
15. [2024·廣東階段練習(xí)]瑞士數(shù)學(xué)家歐拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上,后來(lái),人們把這條直線稱為歐拉線.若△ABC的頂點(diǎn)A?4,0,B0,4,其歐拉線方程為x?y+2=0,給出以下四個(gè)結(jié)論:
①△ABC的外心為?1,1;②△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可能為?2,0；③△ABC的垂心坐標(biāo)可能為?2,0;④△ABC的重心坐標(biāo)可能為(?43,23).其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______
9.2-兩直線的位置關(guān)系-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】
基礎(chǔ)鞏固練
1. （改編）若直線a，b的斜率分別為方程3x2?5x?3=0的兩個(gè)根，則直線a，b的夾角為（ D ）.
A. 0°B. 30°C. 45°D. 90°
[解析]因?yàn)橹本€a，b的斜率分別為方程3x2?5x?3=0 的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得kakb=?1，所以直線a，b的夾角為90° .故選D.
2. 已知直線4x+my?6=0與直線5x?2y+n=0垂直，垂足為t,1，則n的值為（ A ）.
A. 7B. 9C. 11D. ?7
[解析]因?yàn)橹本€4x+my?6=0 與直線5x?2y+n=0 垂直，所以4×5?2m=0,解得m=10，
又點(diǎn)t,1 在直線2x+5y?3=0 上，所以將t,1 代入，得t=?1，
則垂足為?1,1.又點(diǎn)?1,1 在5x?2y+n=0 上，將?1,1 代入，得?5?2+n=0，所以n=7.故選A.
3. 平行直線x+2ay?1=0和直線a?1x+ay+1=0間的距離為（ D ）.
A. 0B. 32C. 3D. 31010
[解析]若直線x+2ay?1=0 與直線a?1x+ay+1=0 平行，
則a=2aa?1，解得a=0 或a=32.
當(dāng)a=0 時(shí)，直線x+2ay?1=0 與直線a?1x+ay+1=0 重合，舍去，
當(dāng)a=32 時(shí)，直線x+2ay?1=0 與直線a?1x+ay+1=0 平行，
此時(shí)直線x+3y?1=0 與直線x+3y+2=0 間的距離為?1?212+32=31010.故選D.
4. 已知直線l1：ax+a+2y+1=0，l2：x?ay+3=0，其中a∈R，則“a=?1”是“l(fā)1⊥l2”的（ C ）.
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
[解析]已知直線l1：ax+a+2y+1=0，l2：x?ay+3=0，
由l1⊥l2，得a?aa+2=0，解得a=0 或a=?1，
所以“a=?1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件.故選C.
5. （改編）已知直線l1：3x+y?1=0，若直線l2與l1垂直，且l2的傾斜角為α ，則csα?π12=（ A ）.
A. 6+24B. 6?24C. 33D. ?3
[解析]因?yàn)橹本€l2 與l1 垂直，所以kl1kl2=?1，又kl1=?3,所以kl2=33.
因?yàn)閘2 的傾斜角為α ，所以tan α=33.因?yàn)棣痢蔥0,π)，所以α=π6，
所以csα?π12=csπ12=6+24.故選A.
6. [2024·云南聯(lián)考]當(dāng)點(diǎn)M2,?3到直線4m?1x?m?1y+2m+1=0的距離取得最大值時(shí)，m=（ C ）.
A. 2B. 47C. ?2D. ?4
[解析]將直線4m?1x?m?1y+2m+1=0 轉(zhuǎn)化為4x?y+2m?x+y+1=0，
聯(lián)立4x?y+2=0, ?x+y+1=0, 解得x=?1, y=?2, 所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N?1,?2，
當(dāng)直線MN 與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)M 到該直線的距離取得最大值，
此時(shí)4m?1m?1??3??22??1=?1，解得m=?2.故選C.
7. 已知點(diǎn)1,?1關(guān)于直線l1：y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A，若直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B2,?1到直線l2的距離最大時(shí)，直線l2的方程為（ B ）.
A. 2x+3y+5=0B. 3x?2y+5=0C. 3x+2y+5=0D. 2x?3y+5=0
[解析]設(shè)Aa,b，則b+1a?1=?1,b?12=a+12,
解得a=?1, b=1, 所以A?1,1.
設(shè)點(diǎn)B2,?1 到直線l2 的距離為d，
當(dāng)d=AB 時(shí)取得最大值，
此時(shí)直線l2 垂直于直線AB，
所以直線l2 的斜率k=?1kAB=?1?1?12+1=32，
所以直線l2 的方程為y?1=32x+1，
即3x?2y+5=0.故選B.
8.(2024·九省適應(yīng)性測(cè)試)已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足QP=(1,-3),記P的軌跡為E,則( C ).
A.E是一個(gè)半徑為5的圓
B.E是一條與l相交的直線
C.E上的點(diǎn)到l的距離均為5
D.E是兩條平行直線
[解析] 設(shè)P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),
由點(diǎn)Q在直線l:x+2y+1=0上,得x-1+2(y+3)+1=0,
化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即點(diǎn)P的軌跡E為一條直線且與直線l平行,
E上的點(diǎn)到l的距離d=|6-1|12+22=5,故A,B,D錯(cuò)誤,C正確.
故選C.
綜合提升練
9. （多選題）對(duì)于直線l1：ax+2y+3a=0,l2：3x+a?1y+3?a=0，以下說(shuō)法正確的是（ BD ）.
A. “l(fā)1//l2”的充要條件是“a=3”B. 當(dāng)a=25時(shí)，l1⊥l2
C. 直線l1一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)M3,0D. 點(diǎn)P1,3到直線l1的距離的最大值為5
[解析]當(dāng)l1//l2 時(shí)，aa?1?6=0，解得a=3 或a=?2，當(dāng)a=?2 時(shí)，直線l1,l2的方程分別為x?y+3=0,x?y+53=0，符合題意，當(dāng)a=3 時(shí)，直線l1,l2的方程分別為3x+2y+9=0,3x+2y=0，符合題意，故A 錯(cuò)誤；
當(dāng)a=25 時(shí)，直線l1,l2的方程分別為x+5y+3=0,15x?3y+13=0，kl1kl2=?15×5=?1，所以l1⊥l2，故B 正確；
直線l1：ax+2y+3a=0，即ax+3+2y=0，故直線l1 過(guò)定點(diǎn)?3,0，故C 錯(cuò)誤；
因?yàn)橹本€l1：ax+2y+3a=0 過(guò)定點(diǎn)?3,0，所以當(dāng)直線l1：ax+2y+3a=0 與點(diǎn)P1,3 和點(diǎn)?3,0 的連線垂直時(shí)，P1,3到直線l1 的距離最大，最大值為1+32+3?02=5，故D 正確.故選BD.
10. [2024·臺(tái)州模擬]（多選題）已知直線l1：x+a?1y+1=0，直線l2：ax+2y+2=0，則下列結(jié)論正確的是（ AD ）.
A. l1在x軸上的截距為?1B. l2能表示過(guò)點(diǎn)0,?1的任意直線
C. 若l1//l2，則a=?1或a=2D. 若l1⊥l2，則a=23
[解析]對(duì)于A，在直線l1:x+a?1y+1=0 中,令y=0，則x=?1，故A 正確；
對(duì)于B，在直線l2：ax+2y+2=0 中，令x=0,則y=?1，故直線l2 過(guò)定點(diǎn)0,?1，但無(wú)法表示直線x=0，故B 錯(cuò)誤；
對(duì)于C，l1//l2?aa?1=2且2a?1≠2?a=?1，故C 錯(cuò)誤；
對(duì)于D，l1⊥l2?a+2a?1=0?a=23，故D 正確.故選AD.
11. [2024·嘉興模擬]已知直線l與直線l1：2x?y+2=0和l2：x+y?4=0的交點(diǎn)分別為A,B，若P2,0是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為x+4y?2=0 .
[解析]因?yàn)橹本€l 與直線l1：2x?y+2=0 和l2：x+y?4=0 的交點(diǎn)分別為A,B，
設(shè)Ax1,2x1+2,Bx2,4?x2，
且P2,0 是線段AB 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得x1+x2=4, 2x1+2+4?x2=0,
解得x1=?23,x2=143，所以直線AB 的斜率k=4?x2?2x1?2x2?x1=?14，
所以直線AB 的方程為y?0=?14x?2，即x+4y?2=0.
12. [2024·寧波模擬]（雙空題）已知A?3,0，B3,0及直線l1：x?y+1=0，l2：x?y?1=0，作直線l3垂直于l1，l2，且垂足分別為C,D，則CD=2 ,AC+CD+DB的最小值為2+26 .
[解析]由題意知，直線l1：x?y+1=0 與l2：x?y?1=0 互相平行，
作直線l3 垂直于l1，l2，且垂足分別為C，D（圖略）.
由兩平行線間的距離公式可得CD=1+11+1=2，
因?yàn)锳?3,0，B3,0，
設(shè)直線l3 的方程為x+y+b=0，
聯(lián)立x+y+b=0, x?y+1=0, 解得C(?b+12,1?b2)，
同理求得D(1?b2,?b+12)，
所以AC+DB=b?52+b?12+b+52+b+122，
其中b?52+b?12+b+52+b+12 表示點(diǎn)Pb,b 與點(diǎn)M5,1 和N?5,?1 之間的距離之和，當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn)0,0 重合時(shí)，取得最小值，
所以AC+DB 的最小值為[5??5]2+[1??1]22=26，所以AC+CD+DB 的最小值為2+26.
應(yīng)用情境練
13. 如圖，射線OA，OB所在直線的方向向量分別為d1=1,k，d2=1,?kk>0，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N.
（1）若k=1，P(32,12)，求OM的值；
（2）若P2,1，△OMP的面積是65，求k的值.
[解析]（1）因?yàn)镻(32,12)，所以O(shè)P=102，
若k=1，則d1=1,1，所以直線OA 的方程為y=x，即x?y=0，
則點(diǎn)P 到直線OA 的距離為32?122=22，
所以O(shè)M=1022?222=2.
（2）直線OA 的方程為kx?y=0,點(diǎn)P2,1 到直線OA 的距離d=2k?1k2+1,所以O(shè)M=5?2k?12k2+1,
所以△OMP 的面積為125?2k?12k2+1?2k?1k2+1=65,
所以k=112 或k=2.
創(chuàng)新拓展練
14. （雙空題）已知直線l1：2x?y+a=0，l2：4x?2y?1=0，l3：x+y?1=0，且原點(diǎn)到直線l1的距離是355，則a=±3 .若a>0，點(diǎn)P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l2的距離是點(diǎn)P到l1的距離的2倍；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是2:5.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(19,3718).
[解析]因?yàn)樵c(diǎn)到直線l1 的距離d=2×0?0+a22+?12=355,所以a=3，所以a=±3.
若a>0，得a=3，所以直線l1：2x?y+3=0.
設(shè)存在點(diǎn)Pm,nm>0,n>0 滿足題意，
由點(diǎn)P 到l2 的距離是點(diǎn)P 到l1 的距離的2倍，得4m?2n?125=22m?n+35，即4m?2n?1=42m?n+3=8m?4n+12，
由點(diǎn)P 到l1 的距離與點(diǎn)P 到l3 的距離之比是2:5，
得2m?n+35m+n?12=25，即2m?n+3=m+n?1.
因?yàn)閙>0,n>0，所以m=19,n=3718，
故滿足條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(19,3718).
15. [2024·廣東階段練習(xí)]瑞士數(shù)學(xué)家歐拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上,后來(lái),人們把這條直線稱為歐拉線.若△ABC的頂點(diǎn)A?4,0,B0,4,其歐拉線方程為x?y+2=0,給出以下四個(gè)結(jié)論:
①△ABC的外心為?1,1;②△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可能為?2,0；③△ABC的垂心坐標(biāo)可能為?2,0;④△ABC的重心坐標(biāo)可能為(?43,23).其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.
[解析]由頂點(diǎn)A?4,0,B0,4,可知線段AB 的垂直平分線的方程為y=?x,
△ABC 的外心在直線x?y+2=0 上,
聯(lián)立x?y+2=0, y=?x, 可得外心坐標(biāo)為?1,1,故①正確；
設(shè)外心為G,則G?1,1,故GA=10,
所以外接圓方程為x+12+y?12=10,
設(shè)Cx,y,則△ABC 的重心為(x?43,y+43),代入歐拉線方程x?y+2=0 中,得x?y?2=0,聯(lián)立x+12+y?12=10, x?y?2=0,解得x=2,y=0或x=0,y=?2,
即點(diǎn)C 坐標(biāo)可以為2,0,0,?2,故②錯(cuò)誤；
由點(diǎn)C 坐標(biāo)為2,0,0,?2,可知重心可能為(?23,43),(?43,23),故④正確；
當(dāng)點(diǎn)C 坐標(biāo)為2,0 時(shí),過(guò)點(diǎn)C 且和AB 垂直的直線方程為y=?x+2,
聯(lián)立歐拉線方程x?y+2=0 可解得垂心坐標(biāo)為0,2，
當(dāng)點(diǎn)C 坐標(biāo)為0,?2 時(shí),過(guò)點(diǎn)C 且和AB 垂直的直線方程為y=?x?2,
聯(lián)立歐拉線方程x?y+2=0 可解得垂心坐標(biāo)為?2,0,故③正確

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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2兩直線的位置關(guān)系-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)9.2《兩直線的位置關(guān)系》(含解析)

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