2、精練習題。不搞“題海戰(zhàn)術”，在老師指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯題。錯誤要及時尋找錯因，及時進行總結，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
專題03 函數(shù)的概念與性質
（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）
知識點1 函數(shù)的有關概念
1、函數(shù)的概念：一般地，設是非空的數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作.
2、函數(shù)的三要素：
（1）在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；
（2）與的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集．
（3）函數(shù)的對應關系：.
3、相等函數(shù)與分段函數(shù)
（1）相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據．
（2）分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內，對于自變量取值的不同區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個部分構成，但它表示的是一個函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。
知識點2 函數(shù)的單調性
1、單調函數(shù)的定義
設函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，
當時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調遞增函數(shù)。
當時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調遞減函數(shù)。
單調性的圖形趨勢（從左往右）

上升趨勢 下降趨勢
2、函數(shù)的單調區(qū)間
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．
【注意】
（1）函數(shù)單調性關注的是整個區(qū)間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，
故單調區(qū)間的端點若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開．
（2）單調區(qū)間D?定義域I.
（3）遵循最簡原則，單調區(qū)間應盡可能大；
（4）單調區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；
3、函數(shù)單調性的性質
若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調性，則在區(qū)間D上具有以下性質：
（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調性.
（2）與的單調性相反.
（3）當時，與單調性相同；當時，與單調性相反.
（4）若≥0，則與具有相同的單調性.
（5）若恒為正值或恒為負值，則當時，與具有相反的單調性；
當時，與具有相同的單調性.
（6）與的和與差的單調性（相同區(qū)間上）:
簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）復合函數(shù)的單調性：對于復合函數(shù)y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單調函數(shù)
若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)
若t＝g(x)與y＝f(t)的單調性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．
知識點3 函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性
2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結論
（1）為奇函數(shù)?的圖象關于原點對稱；為偶函數(shù)?的圖象關于y軸對稱．
（2）如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．
（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數(shù)集．
（4）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．
（5）偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．
知識點4 函數(shù)的周期性
1、周期函數(shù)的定義
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
2、最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期．
知識點5 函數(shù)的對稱性
1、關于線對稱
若函數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，特別地，當a＝b＝0時，函數(shù)關于y軸對稱，此時函數(shù)是偶函數(shù)．
2、關于點對稱
若函數(shù)滿足，則函數(shù)關于點(a，b)對稱，特別地，當a＝0，b＝0時，，則函數(shù)關于原點對稱，此時函數(shù)是奇函數(shù)．
重難點01 求函數(shù)值域的七種方法
法一、單調性法：如果一個函數(shù)為單調函數(shù)，則由定義域結合單調性可快速求出函數(shù)的最值(值域)．
（1）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函數(shù)y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內的最大(小)值．
【典例1】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)（）的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在上單調遞增，
所以根據單調性的性質知：函數(shù)在上單調遞減，
所以當時，函數(shù)取到最大值為.故選：B
【典例2】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)的定義域為，則值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)的定義域為，
且在內單調遞增，可知在內單調遞增，
可知在內的最小值為，最大值為，
所以值域為.故選：A.
法二、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結合．
（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結合也可很方便的計算值域．
（2）的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐標系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域．
【典例1】（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）對，用表示，中的較大者，記為，若函數(shù)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】當，即，即時，，
當，，即或時，，
所以，
函數(shù)圖象如圖所示：
由圖可得，函數(shù)在，上遞減，在上遞增，
所以.
【典例2】（23-24高三上·重慶北碚·月考）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則函數(shù)的值域為 .
【答案】
【解析】由高斯函數(shù)的定義可得：
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示，
由圖象知的值域為.
法三、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.
【典例1】（23-24高三上·全國·專題）函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令得，，故定義域為，
.故選：A
【典例2】（2023高三·江西萍鄉(xiāng)·開學考）函數(shù)的值域為 .
【答案】
【解析】由題得且.
因為, 且.
所以原函數(shù)的值域為.
法四、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關于x的部分表達式視為一個整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出最值(值域)．
（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍．
（2）換元的作用有兩個：
①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的．
②可將不熟悉的函數(shù)轉化為會求值域的函數(shù)進行處理
【典例1】（2023高三上·廣東河源·開學考試）函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【解析】令，則，所以，
由二次函數(shù)的性質知，對稱軸為，開口向下，
所以函數(shù)在單調遞增，在上單調遞減.
所以當，即時，
取得最大值為.
【典例2】（23-24高三·全國·專題）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，則，
所以函數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，
時，有最小值，
所以函數(shù)的值域為.故選：C
法五、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，
形如或（，至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法
以為例，解題步驟如下：
第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成的形式，
第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內的值域，進而求出的值域。
【典例1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域為 ．
【答案】且
【解析】函數(shù)的定義域為，
，
故函數(shù)的值域為且.
【典例2】（2024高三下·北京懷柔·模擬預測）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，，
顯然，則，于是，
所以函數(shù)的值域是.故選：C
法六、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：
將函數(shù)式化成關于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應用判別式法時必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價性。
另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。
【典例1】（23-24高三·全國·專題練習）求函數(shù)的值域.
【答案】
【解析】顯然恒成立，即原函數(shù)定義域為，
由，得，
當時，，符合題意；
當時，由，得恒有實數(shù)根，
因此，解得且，
所以函數(shù)的值域為.
【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）函數(shù)，的值域為 ．
【答案】
【解析】因為，整理得，
可知關于x的方程有正根，
若，則，解得，符合題意；
若，則，
可得或，解得或且，
則或或；
綜上所述：或，
即函數(shù)，的值域為.
法七、導數(shù)法：對可導函數(shù)求導，令，求出極值點，判斷函數(shù)的單調性：
如果定義域時閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點處或區(qū)間端點處；
如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點處。
【典例1】（23-24高三上·遼寧·開學考試）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 ，
【答案】
【解析】，當時，，單調遞減，.
【典例2】（23-24高三上·山東濟寧·月考）函數(shù)的最小值
【答案】
【解析】，，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
所以當，函數(shù)取得最小值.
重難點02 常見奇函數(shù)、偶函數(shù)的類型及應用
1、（）為偶函數(shù)；
2、（）為奇函數(shù)；
3、（）為奇函數(shù)；
4、（）為奇函數(shù)；
5、（）為奇函數(shù)；
6、為偶函數(shù)；
7、為奇函數(shù)；
【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關于點對稱B．關于點對稱
C．關于點對稱D．關于點對稱
【答案】A
【解析】因為，所以，即的圖象關于原點對稱，
函數(shù)的圖象可由的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到，
所以函數(shù)的圖象關于點對稱.故選：A.
【典例2】（23-24高三下·重慶·模擬預測）（多選）函數(shù)，，那么（ ）
A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)
【答案】BC
【解析】因為，所以為偶函數(shù)，
因為，
即，所以為奇函數(shù)，
所以為非奇非偶函數(shù)，A錯誤；
，所以為奇函數(shù)，B正確；
，所以是奇函數(shù)，C正確；
令，，為偶函數(shù)，D錯誤.故選：BC．
重難點03 函數(shù)周期性的常用結論及應用
1、（是不為0的常數(shù)）
（1）若，則； （2）若，則；
（3）若，則； （4）若，則；
（5）若，則； （6）若，則（）；
2、函數(shù)對稱性與周期性的關系
（1）若函數(shù)關于直線與直線對稱，那么函數(shù)的周期是；
（2）若函數(shù)關于點對稱，又關于點對稱，那么函數(shù)的周期是；
（3）若函數(shù)關于直線，又關于點對稱，那么函數(shù)的周期是.
3、函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關系
（1） = 1 \* GB3 ①函數(shù)是偶函數(shù)； = 2 \* GB3 ②函數(shù)圖象關于直線對稱； = 3 \* GB3 ③函數(shù)的周期為.
（2） = 1 \* GB3 ①函數(shù)是奇函數(shù)； = 2 \* GB3 ②函數(shù)圖象關于點對稱； = 3 \* GB3 ③函數(shù)的周期為.
（3） = 1 \* GB3 ①函數(shù)是奇函數(shù)； = 2 \* GB3 ②函數(shù)圖象關于直線對稱； = 3 \* GB3 ③函數(shù)的周期為.
（4） = 1 \* GB3 ①函數(shù)是偶函數(shù)； = 2 \* GB3 ②函數(shù)圖象關于點對稱； = 3 \* GB3 ③函數(shù)的周期為.
其中，上面每組三個結論中的任意兩個能夠推出第三個。
【典例1】（23-24高三下·河北·模擬預測）定義在上的函數(shù)周期為，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為奇函數(shù)
【答案】D
【解析】定義在上的函數(shù)周期為，所以，
又為奇函數(shù)，所以，
即，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；
所以，則，
所以，則為奇函數(shù)，故D正確；
由，所以，則關于對稱，
令，則，滿足函數(shù)周期為，
且滿足為奇函數(shù)，
但是為奇函數(shù)，故A錯誤；
令，則，滿足函數(shù)周期為，
又滿足為奇函數(shù)，
但是為偶函數(shù)，故C錯誤.故選：D
【典例2】（23-24高三下·江西·月考）（多選）已知的定義域為，若的圖象關于直線對稱，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因為的圖象關于直線對稱，
令，則，所以，故A正確；
因為為奇函數(shù)，所以，
令，則，所以，
即，故B正確；
由，令替換可得，
又，所以，
則，，
所以，故C錯誤；
由，
所以，故D正確.
故選：ABD
重難點04 抽象函數(shù)的性質綜合應用
1、抽象函數(shù)求值：以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值。
2、判斷抽象函數(shù)單調性的方法：
（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結論;
（2）賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試.
= 1 \* GB3 ①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：
或;
= 2 \* GB3 ②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：
或.
3、求抽象函數(shù)解析式的方法
= 1 \* GB3 ①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)；
= 2 \* GB3 ②湊合法：在已知f(g(x))=?(x)的條件下，把?(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求fx；
= 3 \* GB3 ③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型, 設定函數(shù)關系式, 再由已知條件，求出出關系式中的未知系數(shù)；
= 4 \* GB3 ④利用函數(shù)性質法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；
= 5 \* GB3 ⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x) 的表達式；
= 6 \* GB3 ⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數(shù)(如f(x),f(?x))，將左邊的兩個抽象函數(shù)看成兩個變量，變換變量構造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求f(x)的解析式.
【典例1】（23-24高三下·河南·月考）（多選）已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為，且，則（ ）
A．B．或
C．是上的增函數(shù)D．是上的增函數(shù)
【答案】AC
【解析】在中，
令，得，即．
因為函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．
令，則．
令，則，①
令，則，②
由①②，解得，從而，B錯誤．
令，則，即，
因為，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC
【典例2】（23-24高三上·福建莆田·開學考試）已知函數(shù)的定義域為R，并且滿足下列條件：對任意x，y∈R，都有，當時，.
（1）證明：為奇函數(shù)；
（2）若，解不等式.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）∵函數(shù)的定義域為，則定義域關于原點對稱．
∵對任意x，y∈R，都有，
故令，則，，
令，則，即，
是奇函數(shù)；
（2）任取，且，由題意得，，，
，
，
，在上為減函數(shù)．
因，∴，
∴
，
解得，
∴的解集為：．
一、求函數(shù)定義域的依據
函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍
1、分式的分母不能為零.
2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即中
奇次方根的被開方數(shù)取全體實數(shù)，即中，.
3、零次冪的底數(shù)不能為零，即中.
4、如果函數(shù)是一些簡單函數(shù)通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數(shù)定義域的交集。
【注意】定義域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接。
【典例1】（23-24高三下·四川南充·三模）函數(shù)的定義域為 .
【答案】
【解析】因為，
所以且，解得且，
故函數(shù)的定義域為.
【典例2】（23-24高三下·北京·開學考）函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【解析】由題意，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
二、函數(shù)解析式的四種求法
1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法．
（1）確定所有函數(shù)問題含待定系數(shù)的一般解析式；
（2）根據恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；
（3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。
2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)的解析式的問題
（1）先令，注意分析的取值范圍；
（2）反解出x，即用含的代數(shù)式表示x；
（3）將中的x度替換為的表示，可求得的解析式，從而求得。
3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程組法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。
例如：若條件是關于與的條件（或者與）的條件，
可把代為（或者把代為）得到第二個式子，與原式聯(lián)立方程組，求出
【典例1】（23-24高三上·甘肅蘭州·月考）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，，則，，
所以，
所以的解析式為：故選：B.
【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）根據下列條件，求函數(shù)的解析式
（1）已知是一次函數(shù)，且滿足；
（2）已知函數(shù)滿足條件對任意不為零的實數(shù)恒成立
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設，
則，
所以，解得，所以.
（2）因為，
將代入等式得出，
聯(lián)立，變形得，解得.
三、分段函數(shù)常見題型及解題方法
1、求函數(shù)值問題：根據所給自變量值的大小，選擇相應的對應關系求值，有時每段交替使用求值。
2、解方程或解不等式：分類求出各子區(qū)間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗所求是否符合相應各段自變量的取值范圍。
3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后進行比較得出最大值、最小值，合并得出值域。
4、圖象及其應用：根據每段函數(shù)的定義域和解析式在同一坐標系中作出圖象，作圖時要注意每段圖象端點的虛實。
【典例1】（23-24高三上·江蘇連云港·月考）已知函數(shù)則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由且，
則.故選：D
【典例2】（23-24高三上·廣東深圳·月考）已知函數(shù)，則的最大值為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當時，在上單調遞增，
此時，，
當時，在上單調遞減，
此時，，
綜上可知，的最大值為.故選：B.
【典例3】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】畫出的圖象，數(shù)形結合可得解得．
四、函數(shù)單調性的應用及方法
1、比較函數(shù)值的大?。合葘⒆宰兞哭D化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決。
2、解函數(shù)不等式：根據函數(shù)的單調性條件脫去“”，轉化為自變量間的大小問題，應注意函數(shù)的定義域。
3、利用函數(shù)的單調性求參數(shù)
（1）視參數(shù)為已知數(shù)，依據函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)；
（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調的，則該函數(shù)在此區(qū)間上的任意子集區(qū)間上也是單調的。
【典例1】（23-24高三上·天津南開·月考）已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】奇函數(shù)在上是減函數(shù)，則，
所以，，
因為，，
又，所以，
所以，則，故.故選：B
【典例2】（23-24高三上·福建福州·月考）已知為定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減，且滿足，則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】因為為定義在上的偶函數(shù)，則不等式，
不等式化為或，而，于是為或，
又函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則在上單調遞增，
解，得，解，得，
所以原不等式的解集為.
【典例3】（23-24高三上·全國·月考）若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設，則即為，
而圖像的對稱軸為，故在上單調遞增，
則，即的增區(qū)間為，
而函數(shù)在上單調遞增，故，
即實數(shù)的取值范圍為，故選：B
五、函數(shù)的奇偶性及應用
1、判斷函數(shù)的奇偶性：（1）定義法；（2）圖像法；（3）性質法。
2、利用奇偶性求值：將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解。
3、根據函數(shù)的奇偶性求解解析式中的參數(shù)：根據得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等行得參數(shù)的方程（組），進而求得參數(shù)的值。
4、涉及兩個奇偶函數(shù)的和或差的解析式：求奇偶函數(shù)的解析式需要用代替后，利用奇偶函數(shù)的性質構造方程組求解。
【典例1】（23-24高三下·重慶·三模）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為定義域為，
則，所以函數(shù)的對稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，
該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.
【典例2】（23-24高三下·山東聊城·二模）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為為偶函數(shù)，所以，
則.故選：A
【典例3】（23-24高三下·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】，
得，所以.故選：B.

易錯點1 求復合函數(shù)定義域時忽視“內層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”
點撥：在復合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內層函數(shù)的值域，求復合函數(shù)定義域類型為：
1、已知的定義域為，求的定義域，其實質是的取值范圍為，求的取值范圍;
2、已知的定義域為，求的定義域，其實質是已知中的的取值范圍為，求的范圍（值域），此范圍就是的定義域.
3、已知的定義域，求的定義域，要先按（2）求出的定義域.
【典例1】（23-24高三上·河南南陽·月考）（1）已知y＝f(x)的定義域為[0,1]，求函數(shù)y＝f(x2+1)的定義域；
（2）已知y＝f(2x﹣1)的定義域為[0,1]，求y＝f(x)的定義域；
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題意，解得，所以的定義域是；
（2）由于中，因此，所以的定義域是．
【典例2】（23-24高三上·黑龍江·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得：，解得：，
由，解得：，
故函數(shù)的定義域是，故選：C.
易錯點2 忽略二次型式子中最高項的系數(shù)為0
點撥：在二次型函數(shù)中，當時為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時，應密切注意項的系數(shù)是否為0，若不能確定，應分類討論，另外有關三個“二次”之間的關系的結論也是我們應關注的對象。
【典例1】（23-24高三上·重慶沙坪壩·月考）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，恒成立，
當時，即，很顯然不滿足，
當時，有，解得.
綜上可得，.故選：B
【典例2】（23-24高三上·陜西漢中·月考）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【解析】由函數(shù)的定義域為，得對恒成立．
當時，恒成立；
當時，，解得．
綜上所述的取值范圍為．故選：C．
易錯點3 判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域
點撥：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關于原點對稱的前提下，如果對定義域內任意x都有，則為奇函數(shù)；如果對定義域內任意x都有，則為偶函數(shù)，如果對定義域內存在使，則不是奇函數(shù)；如果對定義域內存在使，則不是偶函數(shù)。
【典例1】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A選項：令，則，
不具有奇偶性，所以不符合題意；
B選項：令，則，，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域內不具有單調性，所以不符合題意；
C選項：令，因為定義域不關于坐標原點對稱，
所以不具有奇偶性，所以不符合題意；
D選項：令，，
即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，
所以時，單調遞減，時，單調遞減，滿足題意.故選：D
【典例2】（23-24高三·全國·專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）＝（x＋1）；
（2）f（x）
（3）f（x）＝.
【答案】（1）f（x）不具有奇偶性;（2）f（x）為奇函數(shù);（3）f（x）是奇函數(shù)
【解析】（1）由題知≥0，所以－1＜x≤1，所以f（x）的定義域不關于原點對稱，所以f（x）不具有奇偶性.
（2）（解法1：定義法）當x＞0時，f（x）＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2（－x）－1＝x2－2x－1＝－f（x）；
當x＜0時，f（x）＝x2＋2x－1，－x＞0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＋1＝－x2－2x＋1＝－f（x）.
所以f（x）為奇函數(shù).
（解法2：圖象法）作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象關于原點對稱的特征知函數(shù)f（x）為奇函數(shù).
（3）由得－2≤x≤2且x≠0.
所以f（x）的定義域為[－2，0）∪（0，2]，關于原點對稱，
所以f（x）＝＝，f（－x）＝＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù).
易錯點4 忽視抽象函數(shù)的定義域
點撥：解抽象函數(shù)不等式時需要注意函數(shù)的定義域，需在函數(shù)定義域前提下利用函數(shù)的單調性與奇偶性進行求解。
【典例1】（23-24高三下·廣東佛山·開學考試）已知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，且，
則有，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.
【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）已知定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，且，
所以，解得．
易錯點5 忽略分段函數(shù)單調性的分段點
點撥：分段函數(shù)的單調性與分段點息息相關，在判斷分段函數(shù)的單調性或者根據分段函數(shù)單調性解參數(shù)的題目中，除了考慮每一段的單調性還需要單獨考慮分段點的情況。
【典例1】（23-24高三下·重慶·開學考試）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得：，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.
【典例2】（23-24高三上·江西上饒·月考）已知實數(shù)且,函數(shù)在上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為在上是增函數(shù),
所以解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內任意一個x，都有，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
關于原點對稱

相關試卷

專題07 三角函數(shù)的圖象與性質綜合（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實：

這是一份專題07 三角函數(shù)的圖象與性質綜合（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實，文件包含專題07三角函數(shù)的圖象與性質綜合2知識點+6重難點+7方法技巧+4易錯易混原卷版docx、專題07三角函數(shù)的圖象與性質綜合2知識點+6重難點+7方法技巧+4易錯易混解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

專題06 三角函數(shù)的概念與三角公式應用（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實：

這是一份專題06 三角函數(shù)的概念與三角公式應用（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實，文件包含專題06三角函數(shù)的概念與三角公式應用4知識點+3重難點+7方法技巧+5易錯易混原卷版docx、專題06三角函數(shù)的概念與三角公式應用4知識點+3重難點+7方法技巧+5易錯易混解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。

專題04 指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實：

這是一份專題04 指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實，文件包含專題04指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程5知識點+4重難點+7技巧+4易錯原卷版docx、專題04指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程5知識點+4重難點+7技巧+4易錯解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

專題01 集合與常用邏輯用語（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實

專題01 集合與常用邏輯用語（講練）--2025年高考數(shù)學一輪復習基礎夯實
2025高考一輪復習專題03 函數(shù)的概念與性質知識點清單講義

2025高考一輪復習專題03 函數(shù)的概念與性質知識點清單講義
【講通練透】專題03 函數(shù)的概念與性質-2024高考數(shù)學題源解密（全國通用）

【講通練透】專題03 函數(shù)的概念與性質-2024高考數(shù)學題源解密（全國通用）
(新高考)高考數(shù)學一輪復習過關練考點03 函數(shù)的概念與基本性質（含解析）

(新高考)高考數(shù)學一輪復習過關練考點03 函數(shù)的概念與基本性質（含解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部