專題03：一元二次函數(shù)、方程和不等式精講溫故知新（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：　　　　　　　(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；　　　　(同向同正可乘)(5)  倒數(shù)法則：　(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。鹤鞑罘ǎ?/span>作差——變形——判斷符號(hào)——結(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式例1：（1）．（2022·上海·高考真題）已知，下列選項(xiàng)中正確的是（       ）A． B．C． D．（2）．（多選）（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）下列命題為真命題的是（       ）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則（3）．（2022·江西·二模（文））已知，，則6x＋5y的取值范圍為______． 舉一反三(1)．（2022·山東日照·二模）若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，，則下列不等關(guān)系一定成立的是（       ）A． B． C． D．(2)．（2022·寧夏·銀川一中三模（理））已知，則的取值范圍為（        ）A． B． C． D．(3)．(多選)（2022·遼寧·二模）己知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（       ）A． B．C． D．（4）．（2022·遼寧·育明高中一模）一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m，采光效果變好還是變壞？請(qǐng)將你的判斷用不等式表示__________ （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：                  二次函數(shù)（）的圖象 一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根      無實(shí)根      R             例2：1．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（       ）A． B．C．D．舉一反三1.（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為，則__________．2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．  （二）基本不等式1．若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2．如果a,b是正數(shù)，那么變形： 有:a+b≥；ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值.注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。例3：（1）．（2022·貴州遵義·三模（理））若，則的最大值為（       ）A． B． C． D．(2)．(多選)（2022·湖南衡陽(yáng)·三模）已知實(shí)數(shù)，，．則下列不等式正確的是（       ）A． B．C． D．（3）．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測(cè)（文））若，其中，則的最小值為______．（4）（多選）（2022·全國(guó)·高考真題）若x，y滿足，則（       ）A． B．C． D． 舉一反三（1）．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（       ）A．2 B．1 C． D．（2）．（2022·安徽淮北·一模（文））函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（       ）A． B． C．8 D．9(3）(多選)（2022·遼寧·三模）若，，則（       ）A． B．C．的最小值為 D．（4）．（2021·陜西寶雞·一模（文））已知函數(shù)f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.（5）．（2021·福建廈門·一模）已知，，，則的最小值為__________．（6）．（2022·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．2、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。例4：（2021·全國(guó)（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（       ）A． B． C． D． 舉一反三（2022·貴州遵義·三模（理））滿足不等式整數(shù)解個(gè)數(shù)為（       ）A．4950 B．5000 C．5050 D．51003、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。例5：（2013·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為（       ）A． B．C． D．舉一反三（2022·貴州遵義·三模（文））若奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（       ）A． B．C． D． 4、不等式的恒成立問題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上 例6：（2022·天津·耀華中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（     ）A． B． C． D． 舉一反三1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（       ） A． B．C． D．2.（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知命題p：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的最大值是___．  課外閱讀線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．②線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)．③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．④可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by＝0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解1．若變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．2．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（    ）A． B．1 C． D．3．已知，滿足約束條件，則(為常數(shù)，且)的最大值為（    ）A． B． C． D．24．設(shè)，實(shí)數(shù)、滿足，若的最大值為，則的最小值為（    ）A． B． C． D．5．設(shè)實(shí)數(shù).滿足約束條件，則上的取值范圍為（    ）A． B． C． D． 精練鞏固提升 一、單選題1．（2022·上海·高考真題）已知，下列選項(xiàng)中正確的是（       ）A． B．C． D．2．（2022·天津南開·一模）設(shè)，則“”是 “”的（       ）A．充分不必要條件        B．必要不充分條  C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·安徽宣城·二模（文））已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（       ）A． B．4 C． D．4．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知且滿足，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．5．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（       ）A． B． C． D．6．（2022·天津紅橋·二模）設(shè)，，若，則的最小值為（       ）A． B．2 C． D．7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（       ）A． B．C． D．8．（2022·陜西渭南·二模（理））若對(duì)x，都有成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（       ）A． B． C． D．9．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為(       )A．0 B．2 C．4 D．610．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里購(gòu)買10黃金，售貨員先將5的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.若顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為，則（       ）A． B． C． D．以上都有可能二、多選題11．（2021·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（       ）A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則 D．若a>b，c>d>0，則12．（2022·遼寧葫蘆島·二模）已知，，則下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則的最小值是______．14．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最大值為______.15．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．16．（2020·江蘇·高考真題）已知，則的最小值是_______．

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