1．已知為異面直線，平面，平面、，則（ ）
A．與都相交B．與至少一條相交
C．與都不相交D．至多與中的一條相交
2．如果實(shí)數(shù)，滿足等式，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，是正方體，，則與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.若的頂點(diǎn)，則其歐拉線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直線過點(diǎn)（1，3），若與軸，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．已知點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．存在點(diǎn)，使得
C．的最小值為
D．的最大值為3
7．已知正三棱臺的側(cè)面積為6，，，則與平面ABC所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．使方程組至少有一個(gè)解，且所有的解都是整數(shù)解的實(shí)數(shù)對的個(gè)數(shù)是（ ）
A．66B．78C．72D．70
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知圓，圓，則（ ）
A．圓與圓內(nèi)切
B．直線是兩圓的一條公切線
C．直線被圓截得的最短弦長為
D．過點(diǎn)作圓的切線有兩條
10．在三棱錐中，已知，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（ ）
A．
B．平面平面
C．三棱錐的體積為
D．三棱錐的外接球的表面積為11
11．設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則（ ）
A．
B．的最大值是5
C．的取值范圍是
D．的最大值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，其中若，則 .
13．為保護(hù)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為 三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站，集中處理三個(gè)自然村的垃圾，受當(dāng)?shù)貤l件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距，且與C村相距的地方．已知B村在A村的正東方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，則垃圾處理站M與B村相距 ．
14．連接三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形稱為該三角形的“中點(diǎn)三角形”，定義一個(gè)多面體的序列；是體積為1的正四面體，是以的每一個(gè)面上的中點(diǎn)三角形為一個(gè)面再向外作正四面體所構(gòu)成的新多面體.則的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍；
(2)若直線的方向向量為，求的值．
16．已知圓心為的圓經(jīng)過和，且圓心在直線上
(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．
17．已知圓，直線.
(1)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.
(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，，求的最小值.
18．如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求證平面；
(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)的值.
19．如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程；
(2)記點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為（異于點(diǎn)），求證：直線恒過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)求四邊形的面積的取值范圍．
答案
1．【正確答案】B
【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合異面直線的定義，得到正確選項(xiàng).
【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；
故C不正確；
如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點(diǎn)，如圖

綜上：與中的至少一條相交.
故選：B
本題考查判斷直線與直線的位置關(guān)系，意在考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.
2．【正確答案】D
【詳解】由題意可得設(shè)過原點(diǎn)的直線的斜率為，即直線方程為
畫出圖形
由圖可得當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率最小，
圓心2,0，半徑為
所以2k1+k2=3，解得或（舍），
故選：D.
3．【正確答案】A
【分析】通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.
【詳解】過點(diǎn)A在平面內(nèi)作，再過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖，
則或其補(bǔ)角即為與所成的角，
因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)，
則，，
所以在中，.
故選：A.
4．【正確答案】C
【詳解】解：因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，可得的重心的坐標(biāo)為，
由，可得，所以的垂直平分線所在直線的斜率為，
可得的垂直平分線所在直線的方程為，
又由，可得的垂直平分線所在直線的方程為，
聯(lián)立方程組，解得，即的外心的坐標(biāo)為，
則，所以的方程為，即，
所以的歐拉線方程為.
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】由題意知直線在軸上的截距存在且大于，
設(shè)直線的方程為，
直線過點(diǎn)，可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故，
所以.
故選：D.
6．【正確答案】A
【詳解】對于A：構(gòu)造以為直徑的圓，其方程為.
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，
所以在直線不存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤;
對于B：設(shè)，由可得，
，
化簡得，即，
所以圓心為，半徑為，
可判斷圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交
所以存在點(diǎn)，使得，故B正確；
對于C項(xiàng)：設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
由可解得，即，
則，
所以，故C正確；
對于D項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)與不共線時(shí)
當(dāng)點(diǎn)與共線時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)，故D正確.
故選:A.
7．【正確答案】A
【詳解】設(shè)中心為，中心為O，
如圖，連接，由正棱臺的性質(zhì)可知，，平面，
平面，則，
在直角梯形中，過作，垂足為，則，
則四邊形為平行四邊形，且平面.
所以即為所求與平面ABC所成角.
在等腰梯形中過作，垂足為，
設(shè)，則，則，
在中，，
由正三棱臺側(cè)面積為，可知梯形的面積為，
故，解得，則，
在四邊形中，，
則，
則在中，.
故側(cè)棱與平面所成角的余弦值為.
故選：A.
8．【正確答案】C
【詳解】解：因?yàn)榍遥?br>所以，，，共12組整數(shù)解，
對應(yīng)12個(gè)整點(diǎn)，即，，，，，
，，，，，，.
又因?yàn)楸硎静唤?jīng)過原點(diǎn)的直線，
所以當(dāng)直線與圓相交于兩個(gè)整點(diǎn)時(shí)，共有條直線，
且對應(yīng)有實(shí)數(shù)對的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)直線與圓相切于一個(gè)整點(diǎn)時(shí)，共有條直線，
且對應(yīng)有實(shí)數(shù)對的個(gè)數(shù)為；
綜上符合要求的實(shí)數(shù)對的個(gè)數(shù)為.
故選：C.
9．【正確答案】BCD
【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；
對于A，，，即，兩圓外切，故A錯(cuò)誤；
對于B，圓心到直線的距離，則與圓相切，
圓心到直線的距離，則與圓相切，
所以是兩圓的一條公切線，故B正確；
對于C，直線恒過點(diǎn)，連接，過作，交于圓于點(diǎn)，如圖所示，則即為直線被圓截得的最短弦，
則，由勾股定理得，，則，
所以直線被圓截得的最短弦長為，故C正確；
對于D，因?yàn)?，所以在圓外部，
所以過點(diǎn)作圓的切線有兩條，故D正確；
故選：BCD．
10．【正確答案】ABD
【詳解】三棱錐中，已知，,三棱錐補(bǔ)形為長方體，如圖所示，
則有，解得，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，
則有,
所以，
所以,故A選項(xiàng)正確；
設(shè)平面的法向量為，,
所以，則，即，
同理可得，平面的法向量為，
所以，所以，
所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；
三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，
三棱錐的體積等于長方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積為，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；長方體的外接球的半徑為，
這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】BCD
【詳解】設(shè)，過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)Px,y，則,,
所以,點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以,
則,故A錯(cuò)誤；
由，所以，故B正確；
由，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.
由三角不等式，，
故的取值范圍是，故C正確；
由，,
則，所以,故D正確.
故選：BCD
12．【正確答案】
【詳解】由題意可得，，
，
則.
故
13．【正確答案】或.
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓A的方程和圓C的方程，進(jìn)而求得兩圓公共弦的方程，聯(lián)立圓A的方程求得點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而求得答案.
【詳解】以A為原點(diǎn)，以為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，
以A為圓心，以5為半徑作圓A，以C為圓心，以 為半徑作圓C，
則圓A的方程為： ，圓C的方程為∶ ，
即 ，
∴兩國的公共弦方程為∶
設(shè) ，則 ，解得 或，
即 或 ．
∴ 或，
故答案為∶或 .
14．【正確答案】
【詳解】如圖，畫出了，因?yàn)橛?個(gè)面，則有24個(gè)面，歸納可知有個(gè)面，
這個(gè)數(shù)即是到時(shí)增加的小正四面體的個(gè)數(shù)，
由于新增加的每一個(gè)小正四面體的體積是前一個(gè)小正四面體體積的，
歸納得到時(shí)增加的每個(gè)小正四面體的體積為，
所以比的體積增加了，
所以的體積為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合兩點(diǎn)式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根據(jù)方向向量得，解方程即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)閮A斜角為銳角，則，又
即，解得．
（2）直線的方向向量為
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為
又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以弦的垂直平分線的方程為，即，
與直線聯(lián)立解得：，，
所以圓心坐標(biāo)為所以圓的半徑，
則圓C的方程為：；
（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，，為中點(diǎn)，
所以，則，①；
因?yàn)槎它c(diǎn)在圓上運(yùn)動，所以，
把①代入得：，
所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是.
17．【正確答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)榍『闷椒謭A的圓周，所以經(jīng)過圓心，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
則直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在上，
即，解得，所以，
所以直線即為直線，且，
所以直線方程為，即；
（2）由已知點(diǎn)在直線上，設(shè)，
則
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
18．【正確答案】(1)證明見解析.
(2)最大值為，此時(shí).
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槿庵鶠橹崩庵摇鳛檎切危?br>所以以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)已知條件得，
，
當(dāng)時(shí)，，，
，
，
，即，
又，而平面，平面.
（2）由（1）知，，，
為△的中心，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
令，則，
此時(shí)，
(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號)，，
即直線與平面所成角正弦的最大值為，此時(shí)的值為.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)
(3)
【分析】（1）根據(jù)垂直求出的斜率，由點(diǎn)斜式即可解決；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組到韋達(dá)定理，找等量關(guān)系，由，得，再根據(jù)，即可解決；
（3）分類討論，運(yùn)用弦長公式求得，由即可.
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為2，
因?yàn)?，所以的斜率為?br>因?yàn)椋?br>所以直線的方程為，即．
（2）證明：設(shè)，，
由題意可知，直線斜率存在且不為零，所以，可設(shè)直線方程為．
聯(lián)立方程，消得，，
由韋達(dá)定理可得，，．
又直線的方程，令，得．
又由，可得，，
所以，直線恒過軸上一定點(diǎn)．
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
所以，圓心到直線的距離為，
所以，．
直線的方程可設(shè)為整理得，
圓心到直線的距離為，所以，．
所以，，
令，所以，上式可化為：，，
所以，．綜上，的取值范圍是．

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