一、單選題（本大題共8小題）
1．在等差數(shù)列中，已知，，則等于（ ）
A．11B．13C．15D．16
2．若將直線沿軸正方向平移3個單位長度，再沿軸負方向平移5個單位長度，又回到了原來的位置，則直線的斜率是（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)為等比數(shù)列，則“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．與a的取值有關(guān)
5．在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（ ）
A．B．C．D．
6．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，點在C上，且，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．嫦娥四號任務(wù)經(jīng)過探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議，通過并且正式開始實施，如圖所示.假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用 和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列關(guān)系中正確的是
A．B．C．D．
8．數(shù)列滿足性質(zhì)：對于任意的正整數(shù)n，都成立，且，，則的最小值為（ ）
A．18B．20C．25D．28
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（ ）
A．的周長為
B．存在點，使得
C．若，則的面積為
D．使得為等腰三角形的點共有4個
10．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，則（ ）
A．直線與所成角的余弦值為B．點F到直線的距離為1
C．平面D．點到平面的距離為
11．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在探究“雙”函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的圖象是雙曲線，且存在實數(shù)，使得對恒成立．據(jù)此，下面的結(jié)論成立的是（ ）
A．實數(shù)的最大值為B．該雙曲線的離心率為
C．該雙曲線的一個頂點是D．該雙曲線的焦距為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線，直線，若，則= .
13．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則 .
14．設(shè)拋物線的焦點為F，若：與拋物線有四個不同的交點，記y軸同側(cè)的兩個交點為A，B，則的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列滿足
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
16．在平面直角坐標系中，已知點，動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線交于兩點，且，求直線的方程．
17．如圖，在三棱臺 ABC?DEF 中， AB=BC=AC=2 ， AD=DF=FC=1 ， N 為 DF 的中點，二面角 D?AC?B 的大小為 θ .
（1）證明： AC⊥BN ；
（2）當 θ 為何值時，直線 AD 與平面 BEFC 所成角的正弦值為 217 ？
18．已知O為坐標原點，橢圓左?右焦點分別為，短軸長為，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為8．
(1)求的方程；
(2)若直線l與Ω交于A，B兩點，且，求|AB|的最小值；
(3)已知點P是橢圓Ω上的動點，是否存在定圓O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得當過點P能作圓O的兩條切線PM，PN時（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點），總滿足|PM|＝|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請說明理由．
19．在空間直角坐標系中，已知向量，點.若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.
(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的方向向量（寫出一個即可）；
(2)若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點，點，點，平面，平面，求出點到平面的距離;
(3)已知集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
即，解得，則.
故選：A.
2．【正確答案】A
【詳解】設(shè)是直線上任意一點，則平移后得點，于是直線的斜率.
故選：A.
3．【正確答案】C
【詳解】
對于任意的 ，即 .可得：，，任意的，解出即可判斷出結(jié)論.
【詳解】
解：對于任意的，即.
∴，，任意的，
∴，或.
∴“為遞增數(shù)列”，反之也成立.
∴“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
本題考查等比數(shù)列的單調(diào)性，充分必要條件，是基礎(chǔ)題.
4．【正確答案】A
【詳解】由知直線過，而點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.
故選：A.
5．【正確答案】B
【詳解】設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
所以此四棱錐的高.
故選：B.
6．【正確答案】B
【詳解】由拋物線的定義，可知，又，，
則，即，
由點在C上，得，結(jié)合，解得.
所以C的方程為.
故選：B.
7．【正確答案】B
【詳解】根據(jù)給定的橢圓的圖象，可得，所以，所以A項不正確；
因為，所以，所以B項正確；
由，可得，可得，
整理得，即，
又因為，所以，所以D項不正確；
由，可得，所以C項不正確.
綜上可得是正確的.
故選：B.
8．【正確答案】D
【詳解】令，
由得，即.
又，，即，，
∴，
即，
∴.
故選：D.
9．【正確答案】AB
【詳解】對于，由題意，，，故周長為，所以A正確；
對于B，當點位于上下頂點時，為直角，所以B正確.
對于C，當時，如圖：
設(shè)，，則.
所以，所以C錯誤；
對于D，若是以為頂點的等腰三角形，點位于上下頂點；若是以為頂點的等腰三角形，則，此時滿足條件的點有兩個；同理，若是以為頂點的等腰三角形，滿足條件的點有兩個；故使得為等腰三角形的點共六個，所以D錯誤.
故選：AB
10．【正確答案】BC
【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，
且E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，可知，
可得，
對于選項A：因為，
所以直線與所成角的余弦值為，故A錯誤；
對于選項B：因為在方向上的投影向量的模長為，且，
點F到直線的距離為，故B正確；
對于選項C：因為，可得，
且，平面，所以平面，故C正確；
對于選項D：因為平面的法向量可以為，
點到平面的距離為，故D錯誤；
故選：BC.
11．【正確答案】ABD
【詳解】
由，恒成立，即，則，
又當時，，所以，A選項正確；
雙曲線的一條漸近線為，傾斜角為，
另一條漸近線為，
則兩條漸近線的夾角為，
設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，
則，
則雙曲線離心率，B選項正確；
雙曲線實軸所在直線為兩條漸近線夾角的角分線，
即傾斜角為，即，
聯(lián)立，解得，或，
所以雙曲線的頂點為，，C選項錯誤；
則，即，
則，即焦距為，D選項正確；
故選：ABD.
12．【正確答案】?2
【詳解】，則；.
若，則存在斜率，方程可化為，
則且，解得.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由題意得，，，
，，
所以為周期數(shù)列，
所以.
故
14．【正確答案】
【詳解】解：由題可得，如圖：不妨設(shè)在軸右側(cè)
將方程與拋物線方程聯(lián)立：
，得，
設(shè)，在軸同側(cè)，不妨設(shè)
則由與拋物線有四個不同的交點可得有兩個不等的正根，得：
，即，
由拋物線定義可得，
故
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）①，
當時，②，
由①②，得，即，
又當時，，滿足，所以.
（2）由（1）知，所以，則，
所以③，
④，
由③④得：
，
所以.
16．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線定義可得，即可求得的方程為；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理由弦長公式計算即可求得，可得直線的方程.
【詳解】（1）根據(jù)題意由可知，
動點的軌跡為以為焦點，實軸長為的雙曲線，
即，所以，
所以可得的方程為；
（2）如下圖所示：
依題意設(shè)，
聯(lián)立與的方程，
消去整理可得，則；
且，解得；
所以，
解得，滿足，符合題意；
所以直線的方程為.
17．【正確答案】(1)證明見解析；(2) 2π3
【分析】(1) 取 AC 中點 M ，證明 AC ⊥平面 NBM ，即可證明 AC⊥BN .
(2)建立空間直角坐標系，找出直線 AD 與平面 BEFC 所成角，根據(jù)直線 AD 與平面 BEFC 所成角的正弦值，求得直線 AD 與平面 BEFC 所成角.
【詳解】（1）證明：取 AC 的中點 M ，連接 NM ， BM ，
因為 AD=DF=FC=1 ,則 AC⊥NM ，
又因為 AB=BC=AC=2 ,則 AC⊥BM ，
BM∩NM=M ，
∴ AC ⊥平面 NBM ，
∵ BN? 平面 NBM ，
∴AC⊥BN .
（2）由(1)知 BM⊥AC ， MN⊥AC ，
∴∠NMB 二面角 D?AC?B 的平面角，
以 M 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
A1,0,0 ， B0,3,0 ， C?1,0,0 ， N0,32csθ,32sinθ ，
F?12,32csθ,32sinθ ， D12,32csθ,32sinθ ，
CB=1,3,0 ， CF=12,32csθ,32sinθ ，
設(shè)平面 BEFC 的法向量為： n=x,y,z ，
∴CB?n=0CF?n=0 ，得 n=?3y,y,1?csθsinθy ，
令 y=1 ，則 n=?3,1,1?csθsinθ ，
又 AD=?12,32csθ,32sinθ ，
設(shè)直線 AD 與平面 BEFC 所成角為 α ，
則 |csn?AD|=sinα=217 ，
即 34+1?2csθ+cs2θsin2θ=217 ，化簡得 2cs2θ?csθ?1=0 ，
解得 csθ=1 或 csθ=?12 ，
由題意可知 csθ=?12 ，
所以 θ=2π3 .
【關(guān)鍵點撥】本題主要考查的是空間幾何體的應(yīng)用，線面垂直，線面角，二面角的應(yīng)用，是難題.
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
由雙曲線定義可得，，
故，又．
所以，．
所以的方程為．
（2）①若直線斜率不存在，則設(shè)，則，
因為，所以，
所以，所以．
所以．
②若直線斜率存在，設(shè)方程為．設(shè)，．
聯(lián)立，消去y整理得，，
則．
由韋達定理，得，
于是，即．
故．
令，則，．
所以．
因為，所以當時，．
綜上，的最小值為．
（3）如圖所示，設(shè)PM，PN與圓O的切點分別為E，F(xiàn)，則．
又，則．
所以，所以．
取MN中點Q，若O和Q不重合，則．
所以．
又因為M、N在橢圓上，
則，所以，
所以，所以，
又，，所以．矛盾．所以O(shè)和Q重合，即M、N關(guān)于原點對稱．所以．
設(shè)直線的方程為，則r為點O到直線PM的距離，
所以．由（2）可知，，
故，即．
又當MN斜率不存在時，也成立．
綜上，．
所以存在定圓滿足條件，此時.
19．【正確答案】(1)；
(2)；
(3)，.
【詳解】（1）平面的法向量為，平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，
取，得，所以直線的一個方向向量為.
（2）設(shè)平面，由平面經(jīng)過點，點，點，
得，解得，即平面，
記平面、、的法向量分別為：，
設(shè)平面、的交線的方向向量為，則，取，
依題意，，解得，
平面，其法向量為，在平面內(nèi)取點，
則，于是，點B到平面的距離為.
（3）集合的子集，
即為三個坐標平面與圍成的四面體，
四面體四個頂點分別為，
此四面體的體積為，由對稱性知；
集合的子集，構(gòu)成的幾何體是棱長為的正方體，
而，則為截去三棱錐后剩下的部分，
的體積，三棱錐的體積為，
的體積為，
由對稱性知.

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