一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù),命題“,”,則命題p的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函數(shù)的大致圖象是( )
A.B.
C.D.
4．已知函數(shù),則( )
A.0B.1C.2D.12
5．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則下列不等式中成立的是( )
A.B.C.D.
6．若不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù),且,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
8．下列運(yùn)算中正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),B.
C.若,則D.
9．已知全集,集合,,則下列說法不正確的是( )
A.集合A的真子集有7個(gè)B.
C.D.,
10．已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.的定義域?yàn)?br>B.是偶函數(shù)
C.的值域?yàn)?br>D.
11．已知,則下列關(guān)系中正確的是( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．設(shè),使和同時(shí)成立的一個(gè)充分條件是______.
13．已知,且,則________.
14．已知函數(shù),則不等式的解集為___________.
四、解答題
15．在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中,并解答.
問題：已知集合,.
(1)當(dāng)時(shí),求;
(2)若________,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16．已知命題：“,使等式成立”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合M;
(2)設(shè)不等式的解集為N,若是的必要條件,求a的取值范圍.
17．已知函數(shù).
(1)證明：函數(shù)奇函數(shù);
(2)用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù);
(3)若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18．某單位有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10 QUOTE 10 萬元,為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整出的員工平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元,剩余員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？
(2)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則a的取值范圍是多少？
19．我們知道,函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)設(shè)函數(shù).
(i)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
(ii)若對(duì)任意,總存在,使得成立,求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)?,
所以.
故選：D.
2．答案：C
解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以命題p的否定是,.
故選：C.
3．答案：C
解析：,結(jié)合圖形可知C適合題意.
故選：C.
4．答案：A
解析：由題意知,.
,.
故選：A.
5．答案：B
解析：對(duì)于A,因?yàn)?所以,所以,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)?所以,故B正確;
對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),,,,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)?,所以,故D錯(cuò)誤.
故選：B.
6．答案：B
解析：不等式對(duì)任意恒成立,則,成立,
而,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),因此,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
7．答案：A
解析：設(shè),則,從而是單調(diào)遞增的奇函數(shù).
從而條件等價(jià)于,即,
這又等價(jià)于,即,即,故A正確;
條件等價(jià)于,取,,此時(shí)B,C,D均不成立,故B,C,D錯(cuò)誤.
故選：A.
8．答案：AD
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,故A正確;
對(duì)于B,,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由于,所以,所以,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,故D正確.
故選：AD.
9．答案：BCD
解析：對(duì)于A：因?yàn)楹?個(gè)元素,則集合A的真子集有個(gè),故A正確;
對(duì)于B：因?yàn)榍?所以,則,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C：因?yàn)?
顯然,,所以A不是B的子集,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D：依題意,
所以,顯然,故D錯(cuò)誤.
故選：BCD.
10．答案：BCD
解析：有意義,則,解得,故的定義域?yàn)?A錯(cuò);
的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,故是偶函數(shù),B對(duì);
,
令,易知在,單調(diào)遞增,
故或,即的值域?yàn)?C正確;
,故D正確.
故選：BCD.
11．答案：ABD
解析：,故,,故,
A選項(xiàng),由于,,,
故,A正確;
B選項(xiàng),因?yàn)?所以,B正確;
C選項(xiàng),由A選項(xiàng)知,,故由基本不等式得,C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),,,且,
故,D正確.
故選：ABD.
12．答案：(答案不唯一)
解析：根據(jù)不等式的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí),和同時(shí)成立的,
所以“”是“和同時(shí)成立”的充分條件,
即只要滿足,就均是“和同時(shí)成立”的充分條件,
所以充分條件可以是.
故答案為：(答案不唯一).
13．答案：1
解析：,且,
令,
,解得,
,即,
.
故答案為：1.
14．答案：
解析：由題意可知：的定義域?yàn)镽,
若,則,可得;
同理可得：當(dāng)時(shí),;
且時(shí),;
綜上所述：是偶函數(shù).
因?yàn)殚_口向上,且對(duì)稱軸為,
可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,
則不等式等價(jià)于,
即,整理得,解得或,所以x的取值范圍為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由不等式,解得或,可得或,
當(dāng)時(shí),可得,則,
所以.
(2)由集合或和,
若選擇①：由或,可得,
要使得,則,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為;
若選擇②：由,即,可得,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為;
若選擇③：由,可得,可得,解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由題意,方程在上有解
令.只需m在值域內(nèi)
易知值域?yàn)?的取值集合
(2)由題意,,顯然N不為空集.
①當(dāng)即時(shí),.
,
②當(dāng)即時(shí),.
.
綜合：或
17．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
解析：(1)由函數(shù),可得其定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又由,
所以函數(shù)為定義域R上奇函數(shù).
(2)當(dāng)時(shí),,
任取,,且,
可得
因?yàn)?,且,可得,
所以,即,
所以函數(shù)在上是增函數(shù).
(3)因?yàn)楹瘮?shù)為定義域R上的奇函數(shù),且在上是增函數(shù),
所以函數(shù)在上也是增函數(shù),
又因?yàn)?所以函數(shù)在R上是增函數(shù),
又由,可得,
因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,
即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,
可得不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,
即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,
當(dāng)時(shí),不等式即為恒成立,符合題意;
當(dāng)時(shí),則滿足,解得,
綜上可得,,即實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18．答案：(1)500
(2)
解析：(1)由題意得：,
即,又,
所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).
(2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元,
從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元,
則,
所以,
所以,
即恒成立,
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
所以,又,所以,
即a的取值范圍為.
19．答案：(1)2;
(2)(i)證明見解析;(ii).
解析：(1)為奇函數(shù),
,得,
則令,得.
(2)(i),
奇函數(shù), 為奇函數(shù),
函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(ii)在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上的值域?yàn)?記在區(qū)間上的值域?yàn)锽,
由對(duì),總,使得成立知,
①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,
只需即可,得, 滿足題意;
②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
或,
當(dāng)時(shí),,,
滿足題意;
③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞減,
只需即可,得, 滿足題意.
綜上所述,a的取值范圍為.

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