1．在平面直角坐標系xOy中，點A（a，﹣2a+4）在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B．若AB≤4，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤﹣16B．k≤﹣2C．﹣16≤k＜0D．﹣2≤k＜0
2．歐幾里得的《原本》記載，方程x2+ax＝b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝BC．則該方程的一個正根是（ ）
A．AC的長B．CD的長C．AD的長D．BC的長
3．如圖，P、Q是⊙O的直徑AB上的兩點，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于點E，若AB＝20，PC＝OQ＝6，則OE的長為（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
4．若二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象經(jīng)過A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y3＜y2≤y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
二．填空題（共13小題）
5．如圖，AD是△ABC的中線，點E在邊AC上，BE交AD于點F，若AC＝4AE，AD＝3cm，則AF的長度為 cm．
6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（1，0），B（3，0），點P為y軸正半軸上的一個動點，以線段PA為邊在PA的右上方作等邊△APQ，連接QB，在點P運動的過程中，線段QB長度的最小值為 ．
7．如圖，C、D是⊙O上兩點，AB是直徑，如果∠BDC＝23°，則∠ABC的度數(shù)為 °．
8．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC、BC、AB為直徑作半圓，三個半圓形成的兩個月牙形（圖中陰影部分）稱為“希波克拉底月形”（希波克拉底是古希臘數(shù)學(xué)家），若AC＝3，BC＝4，則希波克拉底月形（陰影部分）的面積等于 ．
9．在正方形網(wǎng)格紙上，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形．在4×4網(wǎng)格中（每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1）畫格點三角形，它的三邊比是1：：，這種三角形可以畫若干個，其中面積的最大值等于 ．
10．拋物線y＝a（x﹣2）（x﹣）（a是不等于0的整數(shù)）頂點的縱坐標是一個正整數(shù)，則a等于 ．
11．如果點D是△ABC的重心，AD的延長線交BC于點E，那么AD：AE＝ ．
12．如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E均在格點上，半徑為2的⊙A與BC交于點F，則tan∠DEF＝ ．
13．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分面積為 ．
14．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）與一次函數(shù)y＝kx+1圖象交于A（﹣3，m），B（1，n）兩點，則關(guān)于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集為 ．
15．在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣4，0），B（2，0）在x軸上，若點P到兩坐標軸的距離相等，且∠APO＝∠BPO，則點P的坐標為 ．
16．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，且AE＝4，若CD＝1，AD＝3，則AB的長為 ．
17．如圖，點C是以AB為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），且AC+BC＝8，若AB＝m（m為整數(shù)），則整數(shù)m的值為 ．
三．解答題（共3小題）
18．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD＝90°，連接AC，點E在BA的延長線上，且∠AED＝∠ACB，AD、BC的延長線相交于點F．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）在題中條件不變的情況下，再從以下四個選項中選擇三個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的計算或證明的過程．①DE∥AC，②CD＝2，③BC＝3，④CF＝．
你選擇的條件是 ，結(jié)論是 ．（填序號）
19．如圖1，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），過點P作PE⊥CD于點E，連接PB，已知AD＝3，AB＝4，設(shè)AP＝m．
（1）當(dāng)m＝1時，求PE的長；
（2）連接BE，試問點P在運動的過程中，能否使得△PAB≌△PEB？請說明理由；
（3）如圖2，過點P作PF⊥PB交CD邊于點F，設(shè)CF＝n，試判斷5m+4n的值是否發(fā)生變化，若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．
20．已知一次函數(shù)y＝x﹣a的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B．二次函數(shù)y＝x2+2x+m的圖象經(jīng)過點A，且與x軸交于另一個點C，與y軸交于點D．
（1）若a＝﹣3，求m的值；
（2）當(dāng)a＞0時，
①試用含a的代數(shù)式表示BD的長；
②若AC＝BD，求m的值；
（3）是否存在a的值，使得直線AB與直線CD互相垂直？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共4小題）
1．【解答】解：∵點A（a，﹣2a+4）在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B．AB≤4，
∴AB＝|﹣2a+4|≤4，
當(dāng)a＞0時，則2a﹣4≤4，解得0＜a≤4，
∴k＝a（﹣2a+4）＝﹣2a2+4a＝﹣2（a﹣1）2+2≥﹣16，
當(dāng)a＜0時，則﹣2a+4≤4，解得a≥0，不合題意舍去，
∴k＝a（﹣2a+4）＝﹣2a2+4a＝﹣2（a﹣1）2+2≥﹣16，
故k的取值范圍是﹣16≤k＜0，
故選：C．
2．【解答】解：（方法一）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝，
∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2與方程x2+ax＝b2相同，且AD的長度為正數(shù)，
∴AD的長是方程x2+ax＝b2的一個正根．
故選：C．
（方法二）原方程可變形為x2+ax﹣b2＝0，
∴Δ＝a2+4b2，
∴x＝，其中正根為x＝．
∵BC2+AC2＝AB2，即+b2＝AB2，
∴a2+4b2＝4AB2，
∴x＝＝＝AB﹣＝AB﹣BD＝AD，
∴AD的長是方程x2+ax＝b2的一個正根．
故選：C．
3．【解答】解：∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
在Rt△OCA和Rt△DOQ中
，
∴Rt△OCA≌Rt△DOQ（HL），
OP＝DQ，
∵AB＝20，PC＝OQ＝6，
∴OA＝OB＝10，
∴OD＝10，
∵∠OQD＝90°，
∴QD＝＝8，
∴OP＝8，
∴PQ＝OP+OQ＝8+6＝14，
設(shè)OE＝a，則EQ＝a+6，PE＝8﹣a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴PC∥QD，
∴，
即，
解得，a＝2，
即OE＝2，
故選：C．
4．【解答】解：∵經(jīng)過A（1+m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函數(shù)的對稱軸x＝，
∵m2﹣2m+5＝（m﹣1）2+4≥4，2m﹣m2﹣5＝﹣（m﹣1）2﹣4≤﹣4，
∴（m2﹣2m+5﹣2）﹣[2﹣（2m﹣m2﹣5）]＝﹣4＜0，
∴D點離對稱軸x＝2比E點離對稱軸x＝2近，
∴B（0，y1）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3）與對稱軸的距離E最遠，B最近，
∵a＝﹣1＜0，
∴y1≥y2＞y3；
故選：A．
二．填空題（共13小題）
5．【解答】解：過D點作DG∥AC交BE于G點，如圖，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴CE＝3AE，
∵DG∥CE，
∴＝＝，即DG＝CE，
∴DG＝AE，
∵DG∥AE，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴AF＝AD＝×3＝1.2（cm）．
故答案為1.2．
6．【解答】解：如圖，將△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP，連接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△ABC是等邊三角形
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴C（2，），即點C是定點，
∴當(dāng)PC最小時，BQ最小，
∴當(dāng)PC⊥y軸時，PC最小，最小值是2，
∴線段QB長度的最小值為2．
故答案為：2．
7．【解答】解：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠BDC＝23°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣23°＝67°．
故答案為67．
8．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，
以AC為直徑的半圓的面積是π×（）2＝π，
以BC為直徑的半圓的面積是π×（）2＝2π，
以AB為直徑的半圓的面積是π×（）2＝π，
△ABC的面積是＝4＝6，
所以陰影部分的面積S＝π+2π+6﹣π＝6，
故答案為：6．
9．【解答】解：畫出格點△ABC，它的三邊分別是1，，，以及格點△DEF，三邊長分別是，，5，
此時△DEF面積最大，
則S△DEF＝×3×4﹣12﹣×2×1﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣＝2.5．
故答案為：2.5．
10．【解答】解：∵y＝a（x﹣2）（x﹣）＝（x﹣2）（ax﹣2）＝ax2﹣2（a+1）x+4，
∴頂點的縱坐標為：＝﹣，
∴a＝﹣1，
故答案為﹣1．
11．【解答】解：∵點D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，
∴AD：AE＝2：3．
故答案為2：3．
12．【解答】解：由題意可得：∠DBC＝∠DEF，
則tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．
故答案為：．
13．【解答】解：連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，
∴DC＝AB＝2，四邊形DMCN是正方形，DM＝．
則扇形FDE的面積是：＝π．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
則在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH（ASA），
∴S四邊形DGCH＝S四邊形DMCN＝2．
則陰影部分的面積是：π﹣2．
故答案為π﹣2．
14．【解答】解：函數(shù)大概圖象如下：
根據(jù)題意得出當(dāng)ax2+bx+c≥kx+1時，則ax2+（b﹣k）x+c≥1，
則從圖象看，關(guān)于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集為﹣3≤x≤1，
故答案為﹣3≤x≤1．
15．【解答】解：當(dāng)點P在第一象限時，設(shè)（m，m），
過點O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．
∵∠OPA＝∠OPB，
∴OE＝OF，
∴＝＝＝，
∴＝＝2，
∴PA2＝4PB2，
∴（m+4）2+m2＝4[（m﹣2）2+m2]，
解得m＝4或0（舍棄），
∴P（4，4），
當(dāng)點P在第四象限時，根據(jù)對稱性可知，P′（4，﹣4），
故答案為：（4，4）或（4，﹣4）．
16．【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵AE是直徑，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
故答案為：．
17．【解答】解：設(shè)AC＝x，則BC＝8﹣x，
∵點C是以AB為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴m2＝x2+（8﹣x）2，
∴m2＝2[（x﹣4）2+16]
∵點C是以AB為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），
∴0＜x＜8，
∴0≤（x﹣4）2＜16，
∴32≤2[（x﹣4）2+16]＜64，
又∵m為整數(shù)，
∴當(dāng)2[（x﹣4）2+16]＝36或2[（x﹣4）2+16]＝49時，m為整數(shù)6或7，
故答案為：6或7．
三．解答題（共3小題）
18．【解答】解：（1）DE與⊙O相切，理由如下：
如圖1，連接BD，
∵∠AED＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠BCD＝90°，
∴BD是直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠AED+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥ED，
∴DE與⊙O相切；
（2）條件①，②，③，結(jié)論④；
證明：如圖2，∵AC∥DE，
∴∠E＝∠BAC，
∵∠ACB＝∠E，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC＝3，
∵BD是⊙O的直徑，
∴AD＝CD，
設(shè)CF＝x，DF＝y(tǒng)，
由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，CD2+CF2＝DF2，
即32+（2+y）2＝（3+x）2①，
22+x2＝y(tǒng)2②，
由②得：y2﹣x2＝4③，
把③代入①得：3x＝4+2y，
∴y＝，
∴4+x2＝，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴CF＝．
還可以：
條件①，④，③，結(jié)論②；
同理設(shè)CD＝x，DF＝y(tǒng)，列方程可解答；
條件①，②，④，結(jié)論③；
根據(jù)勾股定理得：DF＝＝，
設(shè)BC＝x，則AB＝x，
∴x2+（2+）2＝（x+）2，
解得：x＝3，
∴BC＝3．
19．【解答】解：（1）連接BE，
由已知：在Rt△ADC中，AC＝，
當(dāng)AP＝m＝1時，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴，
即，
∴PE＝；
解法二：求出三角形ACD的面積，接著連接DP，根據(jù)兩三角形同高，求得三角形DPC的面積為4.8，
再根據(jù)面積法求得PE＝2.4．
（2）如圖1，當(dāng)△PAB≌△PEB時，
∴PA＝PE，
∵AP＝m，則PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，
∴，
∴PE＝，
由PA＝PE，即，
解得：m＝，
∴EC＝，
∴BE＝，
∴△PAB與△PEB不全等，
∴不能使得△PAB≌△PEB；
（3）如圖2，延長EP交AB于G，
∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴，
由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝，
∴，
即，
∴EC＝，
∴BG＝EC＝，
∴，
∴5m+4n＝16．
20．【解答】解：（1）當(dāng)a＝﹣3時，y＝x+3，
當(dāng)y＝0時，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把點A（﹣3，0）代入二次函數(shù)y＝x2+2x+m中得：9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3；
（2）當(dāng)y＝0時，x﹣a＝0，
∴x＝a，
∴A（a，0），
當(dāng)x＝0時，y＝﹣a，
∴B（0，﹣a），
同理得：D（0，m），
把點A（a，0）代入二次函數(shù)y＝x2+2x+m中得：a2+2a+m＝0，
∴m＝﹣a2﹣2a，
∵a＞0，
∴m＜0，
∴m＜﹣a，即點B在點D的下方，
∴BD＝﹣a﹣m＝﹣a﹣（﹣a2﹣2a）＝a2+a；
②當(dāng)y＝0時，x2+2x+m＝0，
x＝＝﹣1，
∴C（﹣1﹣，0），
∵A（a，0），
∴AC＝a+1+，
∵AC＝BD，
∴a+1+＝a2+a，且m＝﹣a2﹣2a，
解得：a1＝2，a2＝﹣1（舍），
∴m＝﹣4﹣4＝﹣8；
（3）存在a的值，使得直線AB與直線CD互相垂直，理由是：
由（2）知：C（﹣1﹣，0），A（a，0），B（0，﹣a），D（0，m），
由已知得：A，C兩點存在，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
如圖1，
∴OA＝OB＝|a|，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
當(dāng)∠OCD＝45°時，∠AEC＝90°，即AB⊥CD，
∴OC＝OD，
∴m＝﹣1﹣或m＝1+，
解得：m1＝0（舍），m2＝﹣3或m1＝0（舍），m2＝1（舍），
經(jīng)檢驗：m＝﹣3是原方程的解，
∴當(dāng)m＝﹣3時，可使得直線AB與直線CD互相垂直．

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