一、單選題（本大題共8小題）
1．已知直線過點，，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．若，，則以下向量中，能成為平面的法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
3．與橢圓共焦點且過點的雙曲線方程是（ ）
A．B． C．D．
4．如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
5．已知點，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，在直三棱柱中，且，則直線與所成的角為（ ）

A．B．C．D．
7．已知點是坐標原點，點是圓上的動點，點，則當實數(shù)變化時，的最小值為（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．一個工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（ ）
A．B．1C．2D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
C．已知直線，則直線的傾斜角為
D．若兩直線與平行，則
10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（ ）
A．C的離心率為B．
C．的最大值為D．使為直角的點P有4個
11．“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，圖①是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標系，下列說法正確的是（ ）
A．
B．點的坐標為
C．，，，四點共面
D．直線與直線所成角的余弦值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若直線是雙曲線的一條漸近線，則 .
13．圓與圓相交所得公共弦長為 ．
14．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知空間三點，設.
(1)求和的夾角的余弦值；
(2)若向量與互相垂直，求的值.
16．已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．
(1)求點的坐標；
(2)求直線的方程．
17．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M，N兩點，，求直線方程．
18．在平行六面體中，，，.

(1)求的長；
(2)求到直線的距離；
(3)動點在線段上運動，求的最小值.
19．中國古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內(nèi)涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中具有文化價值以及文化內(nèi)涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓和圓組成，， 是橢圓的兩個焦點，圓以線段為直徑，
(1)設計如圖所示的洞窗，橢圓的離心率應滿足怎樣的范圍？
(2)經(jīng)測量橢圓的長軸為4分米，焦距為2分米.
（i）從射出的任意一束光線照在左側距橢圓中心4分米的豎直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同學用長繩拉出橢圓洞窗的切線AB，B為切點，然后用量角器探究猜測是定值，請幫他們證明上述猜想.
（ii）建模小組的同學想設計一個如圖3的四邊形裝飾，滿足：點是上的一個動點，P，Q關于原點對稱，過和分別做圓的切線，交于R，S，求四邊形裝飾面積的取值范圍.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；
故選：C
2．【正確答案】C
【詳解】設平面的法向量為,
則,
令，可得，故為平面的一個法向量.
令，可得，故為平面的一個法向量.
故選:C.
3．【正確答案】B
【詳解】在橢圓中，
設雙曲線方程為
因為雙曲線與橢圓有相同的焦點且過點
且，解之可得
所以雙曲線方程是
故選：B
4．【正確答案】B
【詳解】由題意
，
又，
.
故選：B
5．【正確答案】D
【詳解】點，
直線的斜率，直線的斜率，
直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率滿足或，
即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.
故選：D.
6．【正確答案】C
【詳解】如圖，由題意，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.
不妨設，則，
則，
則，
又由兩直線所成角的范圍為，
則直線與所成的角為.
故選：C.

7．【正確答案】C
【詳解】點在直線：上，
圓心關于直線對稱點，
圓：關于直線對稱圓：
如圖：
連接與圓交直線于點，連接交圓于，
此時最小，，
故選：C
8．【正確答案】C
【詳解】設，是拋物線上任一點，顯然，
拋物線內(nèi)以為圓心的圓能過原點，則的最小值是，
，
所以時，取得最小值，
若，則點不可能是原點，即拋物線的頂點，不合題意，
若，即，則時，，此時圓半徑為，最大值是2.
故選：C．
9．【正確答案】CD
【詳解】對于A：“直線與直線互相垂直”的充要條件是，
解得或，故A錯誤；
對于B：經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，故B錯誤；
對于C：已知直線，則直線的傾斜角為滿足，故傾斜角，故C正確；
對于D：若兩直線與平行，
所以，解得或，
當時，兩直線重合，故舍去，故D正確．
故選：CD．
10．【正確答案】BCD
【詳解】由原方程可得橢圓標準方程為，
，，故A錯誤；
由橢圓定義可知，故B正確；
由橢圓的性質知，故C正確；
易知以線段為直徑的圓（因為）與C有4個交點，故滿足為直角的點有4個，故D正確.
故選：BCD
11．【正確答案】ACD
【詳解】依題意，正方形的對角線，則，
所以，，，，
對于A，，故A正確；
對于B，由，得，故B錯誤；
對于C，，
于是，又為三個向量的公共起點，因此四點共面，故C正確；
對于D，，，
所以直線與直線所成角的余弦值為，故D正確.
故選：ACD.
12．【正確答案】2
【詳解】因雙曲線的焦點在軸上，且，
故其漸近線方程為，依題意，易得.
故2.
13．【正確答案】
【分析】兩圓方程作差得公共弦所在直線方程，利用點到直線的距離公式可得到直線的距離，最后由即可得解.
【詳解】記圓，圓，
兩個方程作差可得，，
所以兩圓公共弦所在直線方程為，
圓心到直線的距離為，
所以公共弦長為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】當，表示橢圓第一象限的部分；
當，表示雙曲線第四象限的部分；
當，表示雙曲線第二象限的部分；
當，不表示任何圖形；
當時，，當時，，所以曲線經(jīng)過兩點，
作出大致圖象如圖，
曲線上的點到的距離為，
根據(jù)雙曲線方程可得第二、四象限雙曲線的漸近線方程都是，
直線與距離為，
曲線第二、四象限上的點到的距離為小于且無限接近1，
聯(lián)立，消得，
，且，
所以方程有兩個正根，
所以直線與橢圓第一象限的部分有兩個交點，
考慮到曲線第一象限的點到距離的最小值為，
當與橢圓部分在第一象限相切時，
聯(lián)立可得，
令，解得，
因為切點在第一象限，所以，
此時與的距離為，
所以，所以的取值范圍是，
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)2或
【詳解】（1）由點，得，，
所以，
所以和夾角的余弦值為.
（2）由（1）可得，，
因為向量與互相垂直，則，
由整理可得，解得或，
所以的值為2或.
16．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由垂直關系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標即得.
（2）設出點的坐標，利用中點坐標公式求出點坐標，再利用兩點式求出直線方程.
【詳解】（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，
直線方程為，即，
由，解得，
所以點的坐標是.
（2）由點在直線上，設點，于是邊的中點在直線上，
因此，解得，即得點，直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
17．【正確答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用焦點坐標和離心率可求得橢圓方程；
（2）分別討論直線斜率是否存在，聯(lián)立直線和拋物線方程利用焦點弦公式可得，即得直線方程.
【詳解】（1）拋物線的焦點坐標為，所以橢圓中，
因為橢圓的離心率為，即，
所以，，
所以橢圓方程為
（2）當直線斜率不存在時，易知此時，不合題意；
所以直線斜率存在，設過拋物線焦點的直線方程為，如下圖所：
聯(lián)立得，
設，則，
根據(jù)焦點弦公式可得，
解得，，
所以直線方程為或
18．【正確答案】(1)
(2)2
(3).
【詳解】（1）如圖所示：

由題知，，
因為，所以，
，
而，
，
，
所以，即的長度為.
（2）因為，所以，
所以，
在中，，
所以，即，又因為，平面，
所以平面，
而平面，所以，即為到直線的距離，
而，所以三角形為等邊三角形，即，
即到直線的距離為.
（3）設，則
，
當時，這時的最小，且為.
19．【正確答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【詳解】（1）由題意可知橢圓滿足，
故.
（2）（i）由測量數(shù)據(jù)可得，，
故，，墻壁所在直線，
易知直線斜率存在，設，可得，
設切線，聯(lián)立，
則，
相切可得，
則，
則，
切點，
，
故，，，，
故，則.
（ii）設動點Px0,y0，則，不妨設過Px0,y0點的兩條切線法向量為，
過點的兩條切線法向量為，均為非零向量，
故切線方程為和，
則滿足和.
由此可知兩組切線分別對應平行，四邊形是平行四邊形，過圓心做一組鄰邊的垂線，垂足為,
由于關于原點對稱，故也關于原點對稱，又,
故故，故平行四邊形是菱形.
下面研究菱形的面積：
過作PR的垂線GH，則，由（i）可知,故，
設，則有：，解得，則，
其中的取值范圍是，
設，在上是單調(diào)函數(shù)，
故的取值范圍是.

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