黑龍江省哈爾濱市第三中學2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

考試說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘；
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求得答案.
【詳解】.
故選：A
2. 已知扇形的圓心角為，面積為25，則該扇形的弧長為（）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出半徑，再根據(jù)弧長公式求出弧長.
【詳解】已知扇形圓心角，面積.
由扇形面積公式，可得，即，解得或（半徑不能為負舍去），所以.
由弧長公式，已知，，可得弧長.
故選：C.
3. 方程的零點所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【詳解】令，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，，則，
所以，方程零點所在的區(qū)間為.
故選：B.
4. 若，，則的值為（）
A. B. C. D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得，根據(jù)即可求得結(jié)果.
【詳解】將兩邊同時平方可得，，
可得，
又，所以；
易知，
可得；
又，所以.
故選：B
5. 函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）
A
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
C. 函數(shù)的圖象的對稱軸為直線
D. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的圖象，求出函數(shù)的解析式，再逐項分析求解即可.
【詳解】觀察函數(shù)圖象，，函數(shù)的最小正周期,解得，
，由，得，
，則，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，由，得，
函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，C錯誤；
對于D，由，得，
因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.
故選：D
6. 在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性列式求解.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
7. 已知角的終邊經(jīng)過點，則角的值可能為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函數(shù)符號確定點角終邊所在象限，再利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出角的值可能.
【詳解】由，則，點在第三象限，
，，可以是，A是；
對于B，，B不是；
對于C，，C不是；
對于D，，D不是.
故選：A
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程只有個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，可得出，令，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，分三種情況討論：（i），；（ii），；（iii），.前兩種情況直接求出的值，檢驗即可，在第三種情況中，根據(jù)二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】當時，，
設(shè)，則，令，
設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為、、、，
因為關(guān)于的方程只有個不相等的實數(shù)根，分以下幾種情況討論：
（i），，則，可得，
則關(guān)于的方程為，解得，，不合乎題意；
（ii），，則，解得，
由韋達定理可得，解得，不合乎題意；
（iii），，由二次函數(shù)的零點分布可得，
解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】思路點睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：
（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；
（2）確定外層函數(shù)的零點；
（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.
二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）
A. 的最小正周期為
B. 的定義域為
C. 的圖象關(guān)于點對稱
D. 將的圖象向左平移個單位，所得函數(shù)的解析式為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正切函數(shù)的周期公式求出周期判斷A；求出定義域判斷B；驗證判斷對稱性判斷C；利用平移變換求出解析式判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；
對于B，由，得，的定義域為，B正確；
對于C，當時，函數(shù)無意義，則的圖象關(guān)于點對稱，C正確；
對于D，將的圖象向左平移個單位，得，D正確.
故選：BCD
10. 設(shè)正實數(shù)m，n，滿足，則下列說法正確的是（）
A. 的最小值為B. 的最大值為
C. 的最大值為D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐項分析計算即可.
詳解】對于A，，
當且僅當，即時取等號，A正確；
對于B，，當且僅當時取等號，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，，
當且僅當時取等號，D正確.
故選：ABD
11. 已知，在上是單調(diào)函數(shù)，對任意滿足，且.則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B. 若函數(shù)在上有最小值無最大值，則實數(shù)的取值范圍為
C. 若時函數(shù)不單調(diào)，且至多有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為
D. 方程在上恰有3個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用給定條件得到對稱軸和對稱中心，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用排除法判斷B，D，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C即可.
【詳解】因為，所以是的一條對稱軸，
因為，所以是的一個對稱中心，
因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以和一定相鄰，
由余弦函數(shù)性質(zhì)得，解得，故，
此時，將代入解析式，
得到，由題意得，故解得，
故，下面分析各個選項，
對于A，，
，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故A正確，
對于B，令，此時，
當時，取得了最大值，與題意不符，故B錯誤，
對于C，對于，令，
所以，解得，
當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，
若時，函數(shù)不單調(diào)，則，
令，得到，
化簡得，解得，
當時，，當時，，當時，，
若至多有2個零點，則，
綜上，，故C正確，
對于D，令，此時區(qū)間為，
令，解得，
當時，，解得，，解得，
當時，有，解得，
此時方程在上恰有3個不同的實根，但，故D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用給定條件得到解析式，然后巧妙運用排除法判斷選項，得到所要求的結(jié)果即可．
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 若，則的值為________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：.
13. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，列式求出.
【詳解】由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
得，解得，
所以實數(shù).
故答案為：2
14. 若，，且，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式化簡可得，再利用平方關(guān)系及基本不等式求出最小值.
【詳解】由，得，由，得，，
由，得，
則，
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用二倍角的正余弦公式變形，把用的正余弦表示是求解問題的關(guān)鍵.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）作圖見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“列表描點連線”可作出函數(shù)在一個周期上的圖象；
（2）由已知條件可得出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出，再利用兩角和的正弦公式可求得的值.
【小問1詳解】
列表如下：
作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如下圖所示：
【小問2詳解】
因為，且，所以，，
所以，，
因此，
.
16. 哈爾濱冰雪大世界的雪花摩天輪總高120米，轉(zhuǎn)輪直徑約為106米，共有48個月冕型轎廂，每個轎廂可容納10人.雪花摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈時間約是24分鐘，開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙
轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，設(shè)開始轉(zhuǎn)動t（單位；min）后距離地面的高度為H（單位：m）
（1）求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）若甲、乙兩人進艙時間相差4分鐘，從第一個人進倉開始記時，則在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）第一次達到最大時所需要的時間t，并求該最大值.
【答案】（1），.
（2）分鐘時，第一次達到最大值53米.
【解析】
【分析】（1）摩天輪的運動可以看作是一個圓周運動，其高度隨時間的變化可以用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)來表示.我們需要根據(jù)摩天輪的相關(guān)參數(shù)確定函數(shù)的各項參數(shù).
（2）在求出（1）中函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，根據(jù)甲、乙進艙時間差，分別寫出兩人距離地面高度的表達式，然后求高度差的表達式，再通過分析這個表達式來找出高度差第一次達到最大時的時間和最大值.
【小問1詳解】
摩天輪轉(zhuǎn)輪直徑約為米，那么半徑米，摩天輪總高米.
摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈時間約是分鐘，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式（這里），可得.
游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，設(shè).
因為，，.
所以，.
【小問2詳解】
設(shè)甲進艙時間為，則乙進艙時間為.
甲距離地面高度.乙距離地面高度
.
高度差.
根據(jù)兩角和的余弦公式，.
則進一步化簡.
根據(jù)兩角差的余弦公式，.
當，即分鐘時，第一次達到最大值53米.
17. 已知函數(shù)，（）的周期是.
（1）求函數(shù)的解析式并求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）解不等式；
（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化簡，結(jié)合周期求出確定，根據(jù)的范圍確定的范圍，即可確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）將看成整體，解不等式，即可求解.
（3）根據(jù)的范圍確定的范圍，由此確定的范圍，得到不等式，解不等式即可.
【小問1詳解】
因為
，
因為，所以，所以，
因為，所以，
當時，即時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.
【小問2詳解】
因為，即，
所以，，
解得：，，
所以不等式的解集為：.
【小問3詳解】
當時，，此時，
因為不等式恒成立，
所以，解得：.
18. 已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù).
（1）求實數(shù)k的值；
（2）解關(guān)于m的不等式；
（3）設(shè)，若函數(shù)恰有三個零點，求k的值及該函數(shù)的三個零點.
【答案】（1）；
（2）；
（3），3個零點為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義列式求出值.
（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解不等式.
（3）由（2）求出的值域，令并確定其根的情況，再將函數(shù)恰有3個零點轉(zhuǎn)化為方程有1和大于1的兩個根，進而求出及3個零點.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，
即，則，
而不恒為0，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，
因此在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，
不等式，
則，整理得，解得或，
所以原不等式的解集為.
【小問3詳解】
由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
函數(shù)的值域為，令，當且僅當時，；當時，有2個不等根，
函數(shù)，則，
由函數(shù)恰有三個零點，得關(guān)于的方程有1和大于1的兩個根，
于是，解得，此時的兩根為，
顯然0是函數(shù)的一個零點，由，即，
解得，，
所以，該函數(shù)的3個零點為.
19. 定義在上的函數(shù)滿足：①；②，.
（1）求的值；
（2）若（，），試求的最大值；
（3）在（2）條件下，已知函數(shù)，，其中，實數(shù)m，n為與x無關(guān)的常數(shù)，記函數(shù)的最大值為M，試求M的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，進行計算即可求出；
（2）由函數(shù)的定義可以求得的周期為3，從而求得的值，根據(jù)的值建立方程，可以求得的解析式.
（3）由絕對值三角不等式先求出，再求的最小值.
【小問1詳解】
由，，得，
所以，，.
【小問2詳解】
由（1）得，，
所以的周期為3，即，所以.
所以.
又，
解得，
所以，.
【小問3詳解】
由（2）知，
又當時，，
函數(shù)，此時，或，或，
故可得，，
當時，，
所以函數(shù)的最大值M的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點點睛：
第二問的關(guān)鍵是由（1）確定的周期為3，再利用的值求出
；第三問的關(guān)鍵是利用絕對值不等式求出.

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