1.已知m為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z=m2?4+m+2i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為( )
A. 2B. ?2iC. 4D. ?4i
2.已知向量a=?1,3，b=2,4，則2a?b的坐標(biāo)為( )
A. 6,8B. ?4,2C. ?6,12D. 4,18
3.已知β是第三象限角，且sinβ=?13，則tanβ=( )
A. ? 24B. 24C. ? 22D. 22
4.月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是?ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若∠ACB=2π3，南北距離AB的長大約60 3m，則該月牙泉的面積約為( )(參考數(shù)據(jù)：π≈3.14, 3≈1.73)
A. 572m2B. 1448m2C. 1828m2D. 2028m2
5.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且AE=2EO，則ED=( )
A. 13AD?23ABB. 23AD+13ABC. 23AD?13ABD. 13AD+23AB
6.已知α為鈍角，β為銳角，且sinα=45，sinβ=1213，則csα?β2的值為( )
A. 7 6565B. ?7 6565C. 4 315D. ?4 315
7.棣莫弗公式(csx+i?sinx)n=cs(nx)+i?sin(nx)(其中i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667?1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)csπ3+i?sinπ32在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
8.已知sinα+csα=3 55，α∈0,π4，sinβ?π4=35，β∈π4,π2，則csα+2β的值為( )
A. ?11 525B. ?1125C. 1125D. 11 525
二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)z是2?i2+i的共軛復(fù)數(shù)，則( )
A. z=35+45iB. z=1C. z2=?725?2425iD. z=35+45i
10.已知m=(2,?3),n=(2,1)，則下列說法正確的有( )
A. (m?2n)⊥nB. m與n可以作為一組基底向量
C. cs?m,n?= 6565D. m在n方向上的投影向量的坐標(biāo)為(23.13)
11.已知α，β均為銳角，2csα=sinα+β，則下列說法正確的是( )
A. 若β=π6，則α=π3B. 若α+2β=π2，則sinβ=12
C. 若β>π6，則α+β>π2D. α的最小值為π3
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知a=1,?1，b=?2,t，若a與b共線，則t= ．
13.已知θ∈3π4,π，tan2θ=?4tanθ+π4，則1+sin2θ2cs2θ+sin2θ= ．
14.在?ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90 °，D，E為邊BC上兩點，且∠DAE=45 °，則AD?AE的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知復(fù)數(shù)z=51?i1+2i+2+i，i為虛數(shù)單位．
(1)求z；
(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x 2+mx+n=0的一個根，求實數(shù)m，n的值．
16.(本小題12分)
已知向量k=(1,?2),j=(1,λ)．
(1)若k?j=?5，求實數(shù)λ的值以及k在j方向上的投影數(shù)量；
(2)若f(x)=j2?x2+(λ+2)x+1對?x∈R有fx≥0恒成立，求實數(shù)λ取值范圍．
17.(本小題12分)
函數(shù)fx=sinωxcsωx+cs2ωx,ω>0，函數(shù)fx的最小正周期為π．
(1)求函數(shù)fx的遞增區(qū)間，對稱軸以及對稱中心；
(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π4個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，再將gx函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)?x的圖象，求函數(shù)?x在區(qū)間?π2,π2上的值域．
18.(本小題12分)
請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①(a+c)(sinA?sinC)+(b?a)sinB=0；②2sinB?sinA=2sinCcsA；③ccs(π2?A)= 3asin(C+5π2)，在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若____________．
(1)求角C；
(2)若c=4，求?ABC周長的取值范圍．
19.(本小題12分)
在?ABC中，已知tanA+tanB= 3tanAtanB?1．
(1)求C；
(2)設(shè)AB= 3，點P為?ABC外接圓O上的一個動點．
(ⅰ)求PA?PB的取值范圍；
(ⅱ)若CO=λCA+μCB，且λ+μ=23，求?ABC的周長．
參考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.BD
10.BC
11.ACD
12.2
13.14或0.25
14.4 2?4
15.解：(1)因為51?i1+2i=51?i1?2i1+2i1?2i=51?3i+2i21?4i2=?1?3i
所以z=51?i1+2i+2+i=?1?3i+2+i=1?2i
所以z= 12+?22= 5
(2)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=1+2i
復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x 2+mx+n=0的一個根，所以z=1+2i也是方程x 2+mx+n=0的一個根，
所以由韋達定理可得，z+z=?mz?z=n?1?2i+1+2i=?m1?2i?1+2i=n?m=?2n=5

16.解：(1)因k=(1,?2),j=(1,λ)，則k?j=1?2λ=?5，解得λ=3；
則j=1,3，于是，k在j方向上的投影數(shù)量為k?jj=?5 12+32=? 102．
(2)依題意，f(x)=(1+λ2)x2+(λ+2)x+1≥0在R上恒成立，
因1+λ2>0，故有Δ=(λ+2)2?4(1+λ2)≤0，解得λ≥43或λ≤0，
即實數(shù)λ的取值范圍為：?∞,0∪43,+∞．

17.解：(1)fx=sinωxcsωx+cs2ωx=12sin2ωx+1+cs2ωx2=12sin2ωx+12cs2ωx+12= 22sin2ωx+π4+12
因為函數(shù)fx的最小正周期為π，所以T=2π2ω=π，即ω=1
所以fx= 22sin2x+π4+12，
令?π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，解得?3π8+kπ≤x≤π8+kπk∈Z
所以fx的遞增區(qū)間為?3π8+kπ,π8+kπk∈Z，
令2x+π4=π2+kπ，解得x=π8+k2πk∈Z，
所以fx的對稱軸為x=π8+k2πk∈Z，
令2x+π4=kπ，解得x=?π8+k2πk∈Z，
所以fx的對稱中心為?π8+k2π,12k∈Z，
(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π4個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，則
gx=fx+π4= 22sin2x+π4+π4+12= 22sin2x+3π4+12
再將gx函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)?x的圖象，則
?x=g12x= 22sin2×12x+3π4+12= 22sinx+3π4+12，
因為x∈?π2,π2，所以x+3π4∈π4,5π4，
所以sinx+3π4∈? 22,1，
所以?x= 22sinx+3π4+12∈0, 2+12
即函數(shù)?x在區(qū)間?π2,π2上的值域為0, 2+12．

18.解：(1)選擇①，(a+c)(sinA?sinC)+(b?a)sinB=0，由正弦定理，(a+c)(a?c)+(b?a)b=0，即a2+b2?c2=ab，
由余弦定理，csC=a2+b2?c22ab=12，因0

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