1．直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后所對應(yīng)的直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
2．橢圓的兩個焦點分別為，，長軸長為10，點P在橢圓C上，則的周長為（ ）
A．16B．18C．D．20
3．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，定點，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（ ）
A．9B．1C．1或9D．11或9
5．如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，，，三棱錐的外接球為球，則平面截球所得截面圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．圓冪是指平面上任意一點到圓心的距離與半徑的平方差.在平面上任給兩個不同圓心的圓，則兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線被稱為這兩個圓的根軸.已知圓與圓，是這兩個圓根軸上一點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線，直線，圓，則下列選項正確的是（ ）
A．若，則
B．若為圓上一點，則的最小值為
C．若與圓相交于，兩點，則
D．過上一點向圓作切線，切點為，則
10．過雙曲線的右焦點作直線l與該雙曲線交于A、B兩點，則（ ）
A．僅存在一條直線l，使
B．存在直線l，使弦AB的中點為
C．與該雙曲線有相同漸近線且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
D．若A，B都在該雙曲線的右支上，則直線l斜率的取值范圍是
11．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，為線段上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．一定是異面直線
B．存在點，使得
C．直線與平面所成角的正切值的最大值為
D．過M，N，P三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，則在上的投影向量的模為 .
13．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為 .
14．已知拋物線的焦點為F，現(xiàn)有不同的三點A，B，C在拋物線E上，且，，則p的值是 ；若過點的直線PM，PN分別與拋物線E相切于點M，N，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知△中，頂點，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．
(1)求頂點的坐標(biāo)；
(2)求邊所在直線的一般式方程．
16．年月日是鄭和下西洋周年紀(jì)念日，也是第個中國航海日.設(shè)立“航 海日”對于我國開發(fā)海洋、維護海權(quán)、加強海防、實現(xiàn)建 設(shè)航天強國和海洋強國的目的，有著十分深遠(yuǎn)的戰(zhàn)略意義. 在某次任務(wù)中，為了保證南沙群島附近海域航行的安全， 我國航海部門在南沙群島的中心島嶼正西與正北兩個方 向，分別設(shè)立了觀測站，它們與南沙群島中心島嶼 的距離分別為海里和海里.某時段，為了檢 測觀察的實際范圍（即安全預(yù)警區(qū)），派出一艘觀察船，始終要求巡視行駛過程中觀察船 的位置到觀測站的距離與南沙群島中心島嶼的距離之商為.

(1)求小船的運動軌跡方程；
(2)為了探查更遠(yuǎn)的范圍，航海部門又安排一艘巡艇，從觀測站出發(fā)，往觀測站方向直線行駛，規(guī)定巡艇不進入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍.
17．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點，長軸長為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點且斜率為1的直線l與橢圓C交于兩點，求弦長；
(3)若直線l與橢圓相交于兩點，且弦的中點為，求直線l的方程.
18．如圖，且，，且，且，平面，.
(1)設(shè)面BCF與面EFG的交線為，求證：；
(2)證明:
(3)在線段BE上是否存在一點P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出P點的位置，若不存在，說明理由.
19．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知過點的直線，交C的左、右兩支于D，E兩點（異于A，B）.
（i）求m的取值范圍；
（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由，得，則斜率，
因為繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后所對應(yīng)的直線與原直線垂直，
所以，所求直線的斜率為，
故選：D.
2．【正確答案】B
【詳解】

因為長軸長為10，即，
所以長半軸長，
則由題可知,短半軸長，
半焦距，
故的周長為.
故選：B.
3．【正確答案】C
【詳解】因為等于點到準(zhǔn)線的距離，作垂直于準(zhǔn)線于,根據(jù)拋物線的定義可知，
所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時交準(zhǔn)線于,，有最小值，,最小值為.
當(dāng)且僅當(dāng)在與拋物線的交點時取得等號.
故選：C.
4．【正確答案】A
【詳解】根據(jù)雙曲線定義可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故選：A.
5．【正確答案】B
【詳解】由題意
，
又，
.
故選：B
6．【正確答案】C
【詳解】由題意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：C.
7．【正確答案】A
【詳解】如圖1，分別取的中點為,的中點為，則,，連接 ，
因為底面為直角梯形，，，，
所以四邊形為正方形，,
因為平面，，
所以平面，平面，
所以；
所以，
而平面，平面，則,
所以,
又為的中點，所以 ，
所以點到三棱錐各個頂點的距離均為，
故為三棱錐的外接球球心；
如圖2，以為原點，所在直線分別作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為平面，平面，則,
與底面所成的角為 ，則為等腰直角三角形，,
則，，，.
設(shè)平面的法向量為，
因為，，
所以 令，得.
因為，
所以點到平面的距離.
設(shè)截面圓的半徑為，則，
所以截面圓的面積為.
故選：A.
8．【正確答案】A
【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑.
設(shè)點為圓與圓的根軸上的任意一點，
則，
所以，
整理得，即圓與圓的根軸為直線.
取關(guān)于對稱的點，則.因為，所以在上，
所以當(dāng)，，三點共線時，取得最大值.
因為到的距離為，到的距離為，
所以，即的最大值為.
故選：A.
9．【正確答案】ABD
【詳解】對于選項A，若，則，得，故選項A正確．
對于選項B，設(shè)，可得，
當(dāng)直線與圓有公共點時，則，解得，
所以的最小值為，故選項B正確．
對于選項C，因為，化簡可得，
令，解得，故過定點，
當(dāng)時，取最小值，則，故選項C不正確．
對于選項D，因為，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，
而當(dāng)時，取得最小值為圓心到直線的距離，
故當(dāng)時，取得最小值為，故選項D正確，
故選：ABD.
10．【正確答案】CD
【詳解】對于A，通徑，實軸，則有四條直線l，使，故A錯誤；
對于B，假設(shè)存在直線l，使得弦AB的中點為，
設(shè)，，則，
兩式相減得，
又，則，故直線的斜率，
此時直線方程為，即，由于右焦點不在直線上，
故不存在這樣的直線l，故B錯誤；
對于C，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，
代入點可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；
對于D，設(shè)直線l方程為.
聯(lián)立，得，
則，恒成立.
所以，，則，.
若A、B都在該雙曲線的右支上，則，
即，解得，又斜率，
所以，故D正確.
故選：CD.
11．【正確答案】AD
【分析】
對ABC選項，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解和判斷即可；對D選項，由正方體的性質(zhì)可得截面面積最大的狀態(tài)，畫出截面圖，求得面積即可判斷.
【詳解】以為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
設(shè)，則點坐標(biāo)為；
對A：設(shè)平面的法向量為，，
則，即，取，解得，故；
又，，
考慮到，則，故，
故一定是異面直線，A正確；
對B：，，
若，則，即，
解得，又，故不存在這樣的點，使得，B錯誤；
對C： ，取平面的法向量，
則，
設(shè)直線與平面的夾角為
則，則，
，又，故，
即直線與平面所成角的正切值的最大值為，C錯誤；
對D：在正方體中，過的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時面積最大.
此時過的截面經(jīng)過對稱中心，
設(shè)截面交于中點，也為中點，
所以為的中點時，過三點的平面截正方體所得截面面積最大，
取的中點為，連接，如下所示：
故此時截面為正六邊形，
其面積，故D正確.
故選AD.
12．【正確答案】/
【分析】利用向量的數(shù)量積公式及投影向量的模即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以在方向上的投影向量的模為.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】因為，
所以，其表示為圓的上半部分.
設(shè)半圓上一動點Px,y，
表示的幾何意義為點與點連接的直線的斜率，
當(dāng)直線和半圓相切時，直線的斜率取最大值，
設(shè)直線的方程為，即，
所以，解得或（舍去），
則直線的斜率的最大值為；
當(dāng)點為2,1時，則直線的斜率取最小值，為，
綜上，的取值范圍為.
故答案為.

14．【正確答案】 4 /8.5
【詳解】設(shè)，
則,
，即，
又，解得.
則拋物線.
設(shè)，由可得，則，
所以直線PM的方程為，即①，
同理直線PN的方程為②
由直線均過點P可得，，
即直線的方程為，過焦點，
聯(lián)立，消元得，
所以，
，
故4；
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，
則將代入得，則邊所在直線的方程為，
，則頂點的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則
，所以．直線的方程即為直線的方程.
因為，所以，即為，
則直線的一般式方程為．
16．【正確答案】(1)．
(2)．
【詳解】（1）根據(jù)已知條件設(shè)以為坐標(biāo)原點，為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件設(shè)且，

由有
，
；
，
即，
整理得，它是以為圓心，為半徑的圓．
所以小船的運動的軌跡方程為：．
（2）由（1）可知，過的直線不過坐標(biāo)原點且不與坐標(biāo)軸垂直，
所以直線截距式方程為
化為一般式方程為，
根據(jù)題意，，解得，所以綜上可知的取值范圍為．
17．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的長軸長及所經(jīng)過點直接求出，得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）直線l與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式得出結(jié)果.
（3）設(shè)，根據(jù)“點差法”求出直線的斜率，由點斜式即可求解.
【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為，
因為橢圓經(jīng)過點0,1且長軸長為，
所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由已知設(shè)直線l的方程為，設(shè)，.
將直線代入，
得，
所以，，
.
（3）設(shè)，則中點是，
于是，即，
由于在橢圓上，故，
兩式相減得到，即，
故，于是，
故直線的方程是，
整理得
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)線段BE上存在點P，且時使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為
【詳解】（1）因為，，所以，
又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以.
（2）因為且，所以四邊形ADGE為平行四邊形，
又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.
因為平面，平面，所以，
又，平面，所以CD⊥面，
又面，所以，又，
平面，所以面，又面，
所以.
（3）由于，，，平面，，
則以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖，
于是，，設(shè)平面ABE的法向量為，
則，，令，得，
假設(shè)線段BE上存在點P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.
設(shè)，，
，
解得.
所以線段BE上存在點P，且時,使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為.
19．【正確答案】(1)；
(2)（i）或；（ii）證明見解析
【詳解】（1）
由題意可知，因為，所以.
設(shè)，則，所以，
又，所以.
所以雙曲線C的方程為.
（2）（i）由題意知直線l的方程為.
聯(lián)立，化簡得，
因為直線l與雙曲線左、右兩支相交，所以，
即滿足，所以或；
（ii），
直線AD的方程為直線BE的方程為.
聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，
所以，
所以，
所以.
所以點Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點Q在定直線上.

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