滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合，按照交集的定義直接運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所?
故選：B.
2. 已知命題，則的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)含有量詞的命題否定方法來求解.
【詳解】因?yàn)槊}，所以的否定是.
故選：D.
3. 已知,則＝（ ）
A. a+bB. 2a-bC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)換底公式將寫為,再用對數(shù)運(yùn)算法則展開,將代入即可.
【詳解】解:因?yàn)?而.
故選:C
4. 已知角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過三角函數(shù)定義得出角三角函數(shù)值，利用誘導(dǎo)公式化簡表達(dá)式后求出數(shù)值.
【詳解】角終邊與單位圓交于點(diǎn)，則，，.
.
故選：A.
5. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)求出參數(shù)的值，求解不等式.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，所以，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
不等式，即，，，，所以.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的定義列方程，確定各函數(shù)零點(diǎn)的正負(fù)情況，即可比較的大小.
【詳解】顯然：函數(shù)，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，
又，
而中的，
令，
，，的大小順序?yàn)椋海?br>故選：B．
7. 若不等式的解集為則（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由題可得對稱軸在之間,最小值大于-2,且的兩個(gè)根為,列出相應(yīng)不等式,找到關(guān)于的范圍,再根據(jù)韋達(dá)定理解出的值,計(jì)算即可.
【詳解】解:因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?
而開口向上,所以有,
且最小值大于-2,即,解得:,
且的兩個(gè)根為,
所以,解得:,,
當(dāng)時(shí),不符合,故舍,
所以,所以.
故選:C
8. 已知函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合方程問題，換元，作函數(shù)圖象分別看內(nèi)外層分別討論方程根的個(gè)數(shù)情況，即可得答案.
【詳解】設(shè)，則化為，
又，所以，，
如圖為函數(shù)的大致圖象：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，即或，此時(shí)方程最多有5個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，即或或，此時(shí)方程最多有6個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，即或，此時(shí)方程有4個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，即，此時(shí)方程有2個(gè)根；
綜上，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是6個(gè).
故選：B.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知集合,若是的充分條件,則a可以是（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件的概念,得出集合之間的包含關(guān)系,即可得出的范圍,選出選項(xiàng).
【詳解】解:因?yàn)槭堑某浞謼l件,
所以,所以有.
故選:AB
10. 若且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由且，得出，結(jié)合作差比較法和基本不等式可得答案.
【詳解】對于A，因?yàn)榍?，所以，所以，即，A不正確；
對于B，由選項(xiàng)A可知，所以，即，B正確；
對于C，由于異號，所以，所以，由于等號只能在時(shí)取到，所以，即，C正確；
對于D，因?yàn)?，所以，D正確.
故選：BCD.
11. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平方公式、二倍角公式、和差角公式，結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以?br>所以，即，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，
則，故A正確，C正確；
因?yàn)椋裕?br>又函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故B不正確；
因?yàn)椋?，所以?br>所以，又，所以，故D不正確.
故選：AC
12. 已知定義在R上的函數(shù)不恒等于零，，且對任意的∈R，有，則（ ）
A. B. 是偶函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D. 是的一個(gè)周期
【答案】ABC
【解析】
【分析】分別給取適當(dāng)值代入條件，通過代數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)性質(zhì).
【詳解】對于A，令得，又函數(shù)不恒等于零，所以，選項(xiàng)A正確；
對于B，令得，所以，故函數(shù)是偶函數(shù)，選項(xiàng)B正確；
對于C,D，令，得，即，，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；又是偶函數(shù)，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)C正確.
故選：ABC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則______________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式湊項(xiàng)法得的解析式，從而可求的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，則.
故答案為：.
14. 已知扇形的圓心角為,弧長為,則該扇形的面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)圓心角和弧長求得半徑,根據(jù)弧長和半徑利用扇形面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】解:記扇形的半徑為,因?yàn)閳A心角,弧長,
所以即,解得,
所以扇形的面積.
故答案為:
15. 若關(guān)于x的方程有解，則k的取值范圍為 _____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方程，討論，時(shí)，可將方程化為有解，結(jié)合基本不等式及函數(shù)特點(diǎn)，即可求得k的取值范圍.
【詳解】方程轉(zhuǎn)化為，
當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)，，
即方程有解，又，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，
所以函數(shù)，所以k的取值范圍為.
故答案為：.
16. 聲音是由物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).某技術(shù)人員獲取了某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為，部分圖象如圖所示，對該聲波進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由兩種不同的純音合成的，滿足，其中，則＝ _________.(參考數(shù)據(jù)：)
【答案】3
【解析】
【分析】將代入，結(jié)合題干數(shù)據(jù)可得，又，可得或，又1不是的周期，從而可求出滿足題意的的值.
【詳解】由，且，
得
,
因?yàn)?，所以，所?
由圖可知，
故，即.
因?yàn)?，且，所以?
由圖可知，1不是的周期，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
周期為1，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，，易知，滿足題意.
綜上，.
故答案為:3.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù).
（1）若，求的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明.
【答案】（1）；
（2）為奇函數(shù)，證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由可得，解指數(shù)方程即可求解；
（2）求出，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可判斷.
【小問1詳解】
由，可得,即，解得（舍）或，解得.
【小問2詳解】
的定義域?yàn)椋遥?br>故函數(shù)為奇函數(shù).
18. 已知函數(shù)
（1）根據(jù)定義證明函數(shù)在單調(diào)遞減；
（2）若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性步驟取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明即可；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合單調(diào)性求解函數(shù)的最值，即可得的取值范圍.
【小問1詳解】
證明：任取，
則，
因?yàn)椋?，所以?br>即，故函數(shù)在單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，
由（1）知函數(shù)在單調(diào)遞減，
任取，
則，
因?yàn)?，所以，所以?br>即，故函數(shù)在單調(diào)遞增；
所以此時(shí)，又且是方程唯一的根，
所以時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以
不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則
即的取值范圍是.
19. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)做出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像；
（2）將的圖形向右平移個(gè)單位長度，得到的圖像，若的圖像關(guān)于y軸對稱，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】）（1）根據(jù)表格，分別求得，即可得到函數(shù)的解析式，從而得到其函數(shù)圖像；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)圖像變換，列出方程即可求得的最小值.
【小問1詳解】
由表中數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，
當(dāng)時(shí)，，則，所以
【小問2詳解】
由題意可得，，
因?yàn)榈膱D像關(guān)于y軸對稱，
則，，
解得，
且，所以當(dāng)時(shí)，
20. 中國夢蘊(yùn)含航天夢，航天夢助力中國夢.2022年11月29日23時(shí)08分，搭載神舟十五號載人飛船的長征二號遙十五運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點(diǎn)火發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了神舟十五號航天員乘組與神舟十四號航天員乘組太空在軌輪換.已知火箭起飛質(zhì)量（單位：）是箭體質(zhì)量（單位：）和燃料質(zhì)量（單位：）之和.在發(fā)射階段，不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和x的函數(shù)關(guān)系是，其中為常數(shù)，且當(dāng)燃料質(zhì)量為0時(shí)，火箭的最大速度為0.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭最大速度為4.
（1）求該火箭的最大速度與起飛質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的多少倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8？
【答案】（1）
（2）燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8
【解析】
【分析】（1）有題意可得，求得的值，即可得該火箭的最大速度與起飛質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)且，根據(jù)（1）中關(guān)系式，代入即可解得的值，從而得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)榛鸺淖畲笏俣龋▎挝唬海┖蛒的函數(shù)關(guān)系是，
又時(shí)，，；時(shí)，，，
所以，解得，
所以；
【小問2詳解】
設(shè)且，則，又
所以時(shí)可得，即，解得
故燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8.
21. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，對于給定的實(shí)數(shù)，若方程有解，則記該方程所有解的和為，求的所有可能取值.
【答案】（1）
（2）的所有可能取值為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，即可得的值，從而得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)方程的根與函數(shù)對稱性分類討論得所有取值即可.
【小問1詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>所以，則，
則；
【小問2詳解】
當(dāng)，則，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
又，,
則可得函數(shù)的圖象如下：
對于給定的實(shí)數(shù)，若方程有解，
則當(dāng)時(shí)，方程的根為，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，方程的兩根關(guān)于直線對稱，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，方程的根有三個(gè)，關(guān)于直線對稱，此時(shí)；
當(dāng)，方程有四個(gè)根，關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，方程的根有三個(gè)，此時(shí)；
綜上，的所有可能取值為.
22 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)x0，且恒成立.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性直接求解即可；
（2）由在上單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在性定理可知存在唯一的，
由化簡后可得，利用均值不等式及等號成立條件即可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，由可得，
解得，即，
故不等式的解為.
小問2詳解】
因?yàn)榕c均為增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以存在唯一的，使得，
即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
所以，即，
所以，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)與時(shí)等號成立.
當(dāng)時(shí)，由知，即，所以等號不成立，
所以.
0
x
0
2
0
0
0
x
0
2
0
0

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