數(shù) 學 試 題
本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：1． 答題前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2． 作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3． 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4． 考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1．已知復數(shù)z滿足z+4i=6+3i，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．現(xiàn)從中小學生中抽取部分學生進行一次肺活量調(diào)查，據(jù)了解，某地小學?初中?高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男?女學生的肺活量差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）
A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層隨機抽樣
C.按學段分層隨機抽樣 D.按肺活量分層隨機抽樣
3. 從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
4．在平行四邊形 ABCD 中， E 是 BC 的中點， DE 交 AC 于 F ，則DF→=（ ）
A. -13AB→+23AD→ B. -23AB→+13AD→
C. 13AB→-23AD→ D. 23AB→-13AD→
5. 某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生10組隨機數(shù)：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估計3例心臟手術(shù)全部成功的概率為（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
6．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°.以 D1 為球心，5為半徑的球面與側(cè)面 BCC1B1 的交線長為（ ）
A. π2 B. 22π C. π D.2
7.已知不重合的平面α、β、γ和直線l，則“α//β”的充分不必要條件是（ ）
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)的任何直線都與β平行
C.α⊥γ且 γ⊥β D.l⊥α且 l⊥β
8．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，Q為AD的中點，P為正方體內(nèi)部及其表面上的一動點，且PQ⊥BD1，則滿足條件的所有點P構(gòu)成的平面圖形的面積是（ ）
A. 332 B. 23 C. 4 D. 33
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全得3分，有選錯的得0分.
9．下列說法不合理的是（ ）
A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)為6的概率是16，意即每擲6次就有一次擲得點數(shù)6．
B.拋擲一枚硬幣，試驗200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率．
C.某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為80%，是指明天本地有80%的區(qū)域下雨．
D.隨機事件 A ， B 中至少有一個發(fā)生的概率一定比 A ， B 中恰有一個發(fā)生的概率大．
10. 在△ABC中， D ， E 分別是 BC ， AC 的中點，且BC=6,AD=2，則（ ）
A.△ABC面積最大值是6 B.△ABC周長可能是14
C.|AD→+BE→|不可能是5 D. BE→?AC→∈112,352
11 . 如圖所示，圓錐 PO 中， PO 為高， AB 為底面圓的直徑，圓錐的軸截面是面積等于4的等腰直角三角形， C 為母線 PA 的中點，點 M 為底面上的動點，且OM⊥AM，點 O 在直線 PM 上的射影為 H ．當點 M 運動時，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.三棱錐P-BCM體積的最大值為 43 B.線段 PB 長度是線段 CM 長度的兩倍
C.直線 CH 一定與直線 PA 垂直 D. H 點的軌跡長度為 2π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知復數(shù) z 滿足z=1，則z-2-5i的取值范圍為 ．
13．在銳角△ABC中，角A , B , C的對邊分別為a , b , c，若b2+c2-a2=2bc，c=4，則邊a的取值范圍是 ．
14．傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，如圖是一個圓柱容球，O1、O2為圓柱兩個底面的圓心， O 為球心， EF 為底面圓O1的一條直徑，若球的半徑R=2，則 ①平面 DEF 截得球的截面面積最小值為 ；②若 P 為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知非零向量a→，b→夾角為θ，且a→=1,0．
(1)當b→=-1,3時，求θ；
(2)若θ=60°，且a→+b→⊥a→-b→，求a→-2b→．
16.（15分） 如圖，一塊正方體形木料 ABCD — A1B1C1D1 的上底面有一點 M 。
(1)問：經(jīng)過點 M 在上底面上能否畫一條直線，使其與 CM 垂直，若可以，該怎么畫，寫出作圖過程并加以證明，若不能，說明理由.
(2)若正方體棱長為2， F 為線段 BC 的中點，求 AF 與面 A1BC 所成角的正弦值.
17．（15分）雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽. A 、 B 、 C 、 D 四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.
(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%，求：
① A 獲得季軍的概率；② D 在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；
(2)若 A 的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當，求 D 進入決賽且先前與對手已有過招的概率.
18．（17分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對的邊分別為a，b，c，
若sin2?A+3sin2?B=5sin2?C．
(1)求cs?C的最小值；
(2)若△ABC的面積為a2，求tan?C的值．
19．（17分）如圖，已知矩形ABCD，BC=2AB=4， M 是 AD 的中點，現(xiàn)將△ABM沿著 BM 翻折至△PBM．
(1)若PC=23，求證：平面PBM⊥平面BCDM；(2)求二面角P-CD-B的正弦值的最大值．

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