1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交運(yùn)算求解.
【詳解】由于，故，
故，
故選：D
2. 已知向量，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)關(guān)系，即可根據(jù)充要條件的定義判斷.
詳解】由，，若，則，解得，
故“”是“”的充要條件，
故選：C
3. 已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)為負(fù)即可求解.
【詳解】的定義域?yàn)?,+∞，
，
令，解得，
故單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，
故選：B
4. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷與的大小關(guān)系，然后計(jì)算即可.
詳解】由題可知，，
故
故選：A
5. 海口市作為首批“國(guó)際濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨(dú)特的生態(tài)環(huán)境，?？谑心持袑W(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組計(jì)劃利用5月1日至5月5日共5天假期實(shí)地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹(shù)林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個(gè)濕地公園，每天考察1個(gè)，其中對(duì)美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（ ）
A. 24種B. 48種C. 98種D. 120種
【答案】B
【解析】
【分析】先排特殊，再一般，最后按照計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時(shí)間，方式有種；
再安排剩下四天的行程有，所以一共有種安排方法.
故選：B
6. 如圖，在平面四邊形中，與交于點(diǎn)，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得兩兩垂直，再補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體求出球的表面積.
【詳解】依題意，在三棱錐中，，
因此三棱錐可以補(bǔ)形成以為共點(diǎn)三條棱的長(zhǎng)方體，
該長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)球半徑為，
則，
所以三棱錐外接球的表面積為.
故選：C
7. 已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得點(diǎn)到直線的距離的最小值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)到直線的距離為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值是.
故選：D.
8. 已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】記，則，
故為的奇函數(shù)，
又，
因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>由可得，進(jìn)而，
故，解得，
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 某校為了解學(xué)生的身體狀況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生測(cè)量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（ ）
A. 頻率分布直方圖中的值為0.04
B. 這50名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5
C. 該校學(xué)生體重的上四分位數(shù)約為61.25
D. 這50名學(xué)生中體重不低于65千克的人數(shù)約為10
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用頻率之和為1可判斷選項(xiàng)A，利用頻率分布直方圖中眾數(shù)的計(jì)算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項(xiàng)B，由分位數(shù)的計(jì)算方法求解，即可判斷選項(xiàng)C，利用頻率即可計(jì)算個(gè)數(shù)求解D.
【詳解】由，解得，故選項(xiàng)A正確；
50名學(xué)生體重的眾數(shù)約為，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)轶w重不低于60千克的頻率為0.3，而體重在,的頻率為，
所以計(jì)該校學(xué)生體重的分位數(shù)約為，故選項(xiàng)C正確．
體重不低于65千克的頻率為，
所以這50名學(xué)生中體重不低于65千克的人數(shù)為人，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A.
B.
C. 關(guān)于對(duì)稱
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)可得，代入最高點(diǎn)可得，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式，即可判斷AB，代入驗(yàn)證即可判斷C，根據(jù)平移即可求解D.
【詳解】由圖象可知，，解得，，
又，所以，即，
結(jié)合，可知，得的表達(dá)式為，故A正確，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由于，即的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，其中，．下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去，兩點(diǎn)
C. 當(dāng)且時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去，兩點(diǎn)
D. 當(dāng)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，顯然，，，然后根據(jù)不同選項(xiàng)的情況判斷即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，顯然，，
當(dāng)時(shí)，得且，，所以有動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；
當(dāng)時(shí)，有，顯然因?yàn)椋?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去，兩點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；
當(dāng)且時(shí)，顯然，，，得
當(dāng)，即時(shí)，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去，兩點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去，兩點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)，時(shí)，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線的方程為，
過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為
設(shè)，
聯(lián)立方程，，化簡(jiǎn)得
得
利用韋達(dá)定理可知
所以，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，則______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】由題可知
故答案為：3
13. 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解.
【詳解】由以及正弦定理可得，
故，即，
故.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，則，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：
且，，，，如圖所示：

要使得存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，即，
只需，即，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，兩個(gè)等式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，
當(dāng)時(shí)，則有，解得；
當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式作差可得，整理得，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
因此，.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，
.
16. 如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)滿足，是的中點(diǎn)．
（1）證明：過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面為梯形；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，利用面面平行的性質(zhì)可得出，根據(jù)求出的值，可得出，由此可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在正四棱柱中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向
分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面交棱于點(diǎn)，
設(shè)，則、、，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面平面，所以，，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，設(shè)，即，
所以，，解得，所以，，即且，
因此，過(guò)、、三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面為梯形.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，則、、、，
，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，
取，則，，所以，，
易知平面的一個(gè)法向量為n=0,1,0，
所以，，
所以，，
因此，二面角正弦值為.
17. 制定適合自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃并在學(xué)習(xí)過(guò)程中根據(jù)自己的實(shí)際情況有效地安排和調(diào)整學(xué)習(xí)方法是一種有效的學(xué)習(xí)策略．某教師為研究學(xué)生制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施和數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施”和“數(shù)學(xué)成績(jī)高于分”有關(guān)聯(lián)？
（2）若該校高三年級(jí)每月進(jìn)行一次月考，該校學(xué)生小明在高三開(kāi)學(xué)初認(rèn)真制定了學(xué)習(xí)計(jì)劃，其中一項(xiàng)要求自己每天要把錯(cuò)題至少重做一遍，做對(duì)為止．以下為小明堅(jiān)持實(shí)施計(jì)劃的月份和他在學(xué)校數(shù)學(xué)月考成績(jī)的校內(nèi)名次數(shù)據(jù)：
參考數(shù)據(jù)：，．
（?。┣笤驴夹?nèi)名次與時(shí)間代碼的線性回歸方程；
（ⅱ）該校老師給出了上一年該校學(xué)生高考（月初考試）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谛?nèi)的名次和在全省名次的部分?jǐn)?shù)據(jù)：
利用數(shù)據(jù)分析軟件，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出了兩個(gè)回歸模型和決定系數(shù)：
在以上兩個(gè)模型中選擇“較好”模型（說(shuō)明理由），并結(jié)合問(wèn)題（?。┑幕貧w方程，依據(jù)“較好”模型預(yù)測(cè)小明如果能堅(jiān)持實(shí)施學(xué)習(xí)計(jì)劃，他在次年高考中數(shù)學(xué)成績(jī)的全省名次（名次均保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）
附：（ii），其中．
（i）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．
【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為“制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施”和“數(shù)學(xué)成績(jī)高于分”有關(guān)聯(lián)
（2）（ⅰ），（ⅱ）模型②較好，全省名次預(yù)測(cè)為
【解析】
【分析】（1）計(jì)算卡方，即可與臨界值比較作答，
（2）根據(jù)最小二乘法即可求解回歸方程，利用決定系數(shù)的大小比較即可選擇模型②，代入方程即可求解名次.
【小問(wèn)1詳解】
零假設(shè)：制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施和數(shù)學(xué)成績(jī)高于分沒(méi)有關(guān)聯(lián)
因?yàn)椋?br>依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為不成立，
即認(rèn)為“制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施”和“數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分”有關(guān)聯(lián)
【小問(wèn)2詳解】
（?。?，
，
，
．
回歸直線方程為，
模型②較好，由于模型②與模型①相比較，模型②決定系數(shù)大于模型①，因此擬合效果更好，
由于回歸直線方程為，當(dāng)六月初月考時(shí)，，小明的月考校內(nèi)名次預(yù)測(cè)值為，
故省內(nèi)排名預(yù)測(cè)為.
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，即可求解，
（2）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，即可利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
故，
故y=fx在處的切線方程為
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，令f′x>0，解得或，令f′x0，解得或，令f′x0，解得，令f′x0恒成立，
要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則由兩個(gè)交點(diǎn)，
故，解得
19. 對(duì)于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動(dòng)圓，點(diǎn)是與在第一象限的交點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)點(diǎn)作動(dòng)圓的切線，經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求與滿足的關(guān)系式；
（3）若，直線與，均相切，切點(diǎn)在上，切點(diǎn)在上，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用橢圓離心率公式計(jì)算即得.
（2）求出切線的方程，將代入即可得解.
（3）分別求出在點(diǎn)處的方程，結(jié)合兩切線重合探討點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合方程組的思想將表示為的函數(shù)，利用基本不等式求出最大值.
【小問(wèn)1詳解】
在橢圓中，由，得，
所以橢圓的離心率.
【小問(wèn)2詳解】
橢圓，由，解得，
而，則，
圓在處切線方程為，又過(guò)焦點(diǎn)，則，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，橢圓，，設(shè)，
橢圓在處切線為，圓在處切線為，
由直線與均相切，得，即，
由，得，解得，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為，所以AB的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第3問(wèn)，利用公切線探求出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
增
極大值
減
成績(jī)分
成績(jī)分
合計(jì)
制定學(xué)習(xí)計(jì)劃并堅(jiān)持實(shí)施
沒(méi)有制定學(xué)習(xí)計(jì)劃
合計(jì)
50
月考時(shí)間
月初
月初
次年月初
次年月初
次年月初
時(shí)間代碼
月考校內(nèi)名次
校內(nèi)名次
全省名次
模型①
模型②

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海南省?？谑?025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題

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海南省海口市2024屆高三上學(xué)期摸底考試（一模）數(shù)學(xué) Word版含答案

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海南省?？谑?024屆高三上學(xué)期1月摸底考試（海口一模）數(shù)學(xué)

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