知識清單
知識點1 比例線段的相關概念及性質
線段的比:兩條線段的比是兩條線段的長度之比比例中項:如果ab=bc,即b2=① ,那么我們就把b叫做a,c的比例中項比例的基本性質性質1:ab=cd?② =bc(abcd≠0)性質2:如果ab=cd,那么a±bb=③ 性質3:如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=④ 黃金分割:如圖1,在線段AB上,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果BCAC=ACAB,那么稱線段AB被點C黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比,黃金比為⑤ ,線段AB有⑥ 個黃金分割點C和C'
圖1
知識點2 平行線分線段成比例
基本事實:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段⑦ .如圖2,兩條直線l1,l2被三條相平行互的直線AD,BE,CF所截,則ABBC=DEEF,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例.如圖3和圖4,因為DE∥BC,所以ADDB=AEEC或ADAB=AEAC或BDAB=ECAC,也可以說ADAE=BDEC或ADAE=ABAC或BDEC=ABAC
圖2
圖3
圖4
知識點3 相似多邊形
定義:如果兩個多邊形的對應角相等、對應邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形性質1.相似多邊形的對應角相等,對應邊的比等于⑧ 2.相似多邊形的周長比等于⑨ ,面積比等于⑩
知識點4 相似三角形
性質(1)相似三角形的對應角相等,對應邊成比例(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于? ,相似三角形面積的比等于? 判定(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似(2)三邊成比例的兩個三角形? (3)兩邊成比例且? 相等的兩個三角形相似(4)兩角分別相等的兩個三角形相似(5)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,兩直角三角形相似應用幾何圖形的證明與計算:常見類型是證明線段的數(shù)量關系,求線段的長度及圖形的面積等解決實際問題:常見類型是計算物體的高度和河的寬度等,基本思想是建立相似三角形模型
知識點5 圖形的位似
概念:如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且對應點的連線相交于一點,對應邊互相平行(或在同一條直線上),那么這樣的圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心性質1.位似圖形是相似圖形,具備相似圖形的所有性質2.對應點的連線經(jīng)過同一點3.位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比4.位似圖形中的對應線段平行(或在同一條直線上)位似變化與坐標的關系:圖形的位似在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的坐標的關系點的坐標為(-kx,-ky)或(kx,ky)(注:有兩種情況)作圖方法1.確定位似中心,并在原圖形上取圖形的各頂點為關鍵點2.以位似中心為端點向各關鍵點作射線3.分別在射線上取各關鍵點的對應點,滿足縮放比例4.順次連接各對應點,即可得到要求的新圖形
【參考答案】
①ac ②ad ③c±dd ④ab ⑤5-12 ⑥2 ⑦成比例
⑧相似比 ⑨相似比 ⑩相似比的平方 相似比 相似比的平方 相似 夾角
自我診斷
1.(北師九上P79隨堂練習第2題變式)若3a=4b(b≠0),則ab的值為( )
A.13B.23C.43D.34
2.(北師九上P84第1題(1)變式)如圖,已知AB∥CD∥EF,BD∶DF=1∶2,那么下列結論中,正確的是( )
A.AC∶AE=1∶3B.CE∶EA=1∶3
C.CD∶EF=1∶2D.AB∶EF=1∶2
3.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,點O為位似中心,已知BO∶OE=2∶1,則△ABC與△DEF的面積之比是( )
A.1∶2
B.1∶4
C.2∶1
D.4∶1
4.如圖,在△ABC中,點D在AC邊上,連接BD,若∠ABC=∠ADB,AD=2,AC=6,則AB的長為( )
A.3
B.4
C.3
D.23
【參考答案】
1.C 2.A 3.D 4.D
【真題精粹】
考向 相似三角形的判定與性質
1.(2021·河北8題3分)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時液面AB的長度為( )
A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm
2.(2022·河北18題3分)如圖,這是釘板示意圖,每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點,釘點A,B的連線與釘點C,D的連線交于點E,則
(1)AB與CD是否垂直? (填“是”或“否”).
(2)AE= .
考向2 位似(2020.T8)
3.(2020·河北8題3分)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點O為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是( )
A.四邊形NPMQB.四邊形NPMR
C.四邊形NHMQD.四邊形NHMR
【參考答案】
1.C 2.(1)是 (2)455 3.A
【核心突破】
題型 相似三角形的判定與性質
例 (2023·唐山一模)如圖,在等邊△ABC中,直尺(單位:cm)的一邊與BC重合,另一邊分別交AB,AC于點D,E.點B,C,D,E處讀數(shù)分別為18,14,1,3.
(1)等邊△ABC的邊長為 cm.
(2)直尺的寬為 3 cm.
思維點撥:
(1)觀察圖中數(shù)據(jù),可以得到BC的長度,即為等邊△ABC的邊長.
核心方法
判定兩個三角形相似的思路
(2)作△ABC中BC邊上的高,依據(jù)“相似三角形的高的比等于相似比”,列比例式求解.
變式訓練
(原創(chuàng)·一圖多變)在△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點.
(1)如圖1,當DE∥BC時:
①請寫出圖中的相似三角形: ;
②若ADDB=23,DE=6,則BC= ;
③連接DC,BE交于點O,若D為AB的中點,四邊形DECB的面積等于9,則△ADE的面積為 ,△DOE的面積為 .
(2)如圖2,當DE與BC不平行時:
①請?zhí)砑右粋€條件 (寫一個即可)使得△ADE∽△ACB;
②若△ADE∽△ACB,且ADAC=23,DE=10,則BC= .
(3)如圖3,當點E與點C重合時,若∠ADC=∠ACB, AD=3,BD=2,則△ACD與△ABC的相似比為 .
(4)如圖4,當∠C=90°,且ED⊥AB 時:
①寫出圖中的相似三角形: ;
②如圖5,點E與點C重合,寫出圖中的相似三角形: ; 若AD=9,BD=4,則CD= ,AC= .
【參考答案】例 (1)4 (2)3
變式訓練:
(1)①△ADE∽△ABC ②15 ③3 1
(2)①∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或AD∶AC=AE∶AB ②15
(3)155
(4)①△ADE∽△ACB ②△ADC∽△ACB∽△CDB 6
313序號
已知條件
需尋找條件
1
有一對等角
另一對等角
等角的兩條邊對應成比例
2
有兩邊對應成比例
夾角相等
第三邊也對應成比例
一對直角
3
有直角三角形
一對銳角相等
斜邊、直角邊對應成比例
4
有等腰三角形
頂角相等
一對底角相等
底和腰對應成比例

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