解決此類問題要抓住其中的等量關(guān)系和各個元素的變化情況,并特別關(guān)注一些不變的量、不變的關(guān)系或特殊關(guān)系,善于化動為靜,由特殊情形(特殊點(diǎn),特殊值,特殊位置,特殊圖形等)逐步過渡到一般情形,即選取動點(diǎn)運(yùn)動路徑中任意一位置形成靜態(tài)圖形,再由靜態(tài)圖形的性質(zhì)得出題設(shè)變量間的關(guān)系.
類型一　幾何圖形中動點(diǎn)型問題
例1 如圖Z6-1①,矩形ABCD中,AB=7 cm,AD=4 cm,點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn),點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn),且DF=a cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動,連接PE,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t s,△PAE的面積為y cm2,當(dāng)0≤t≤1時,△PAE的面積y(cm2)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)圖象如圖②所示,連接PF,交CD于點(diǎn)H.(1)t的取值范圍為　　　　,AE=　　　　cm.?(2)如圖③,將△HDF沿線段DF進(jìn)行翻折,與CD的延長線交于點(diǎn)M,連接AM,當(dāng)a為何值時,四邊形PAMH為菱形?并求出此時點(diǎn)P的運(yùn)動時間t.
解:(1)0≤t≤3.5　1 　
例1 如圖Z6-1①,矩形ABCD中,AB=7 cm,AD=4 cm,點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn),點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn),且DF=a cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動,連接PE,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t s,△PAE的面積為y cm2,當(dāng)0≤t≤1時,△PAE的面積y(cm2)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)圖象如圖②所示,連接PF,交CD于點(diǎn)H.(2)如圖③,將△HDF沿線段DF進(jìn)行翻折,與CD的延長線交于點(diǎn)M,連接AM,當(dāng)a為何值時,四邊形PAMH為菱形?并求出此時點(diǎn)P的運(yùn)動時間t.【分層分析】(2)證明∠MAD=∠MFD=30°即可.
例1 如圖Z6-1①,矩形ABCD中,AB=7 cm,AD=4 cm,點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn),點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn),且DF=a cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動,連接PE,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t s,△PAE的面積為y cm2,當(dāng)0≤t≤1時,△PAE的面積y(cm2)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)圖象如圖②所示,連接PF,交CD于點(diǎn)H.
1. [2019·菏澤]如圖Z6-2,正方形ABCD的邊長為2 cm,動點(diǎn)P,Q同時從點(diǎn)A出發(fā),在正方形的邊上,分別按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)C運(yùn)動終止,連接PQ.設(shè)運(yùn)動時間為x s,△APQ的面積為y cm2,則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是(　　)
2. [2019·威海]如圖Z6-4,在正方形ABCD中,AB=10 cm,E為對角線BD上一動點(diǎn),連接AE,CE,過E點(diǎn)作EF⊥AE,交直線BC于點(diǎn)F.E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā),沿著BD方向以每秒2 cm的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時,運(yùn)動停止,設(shè)△BEF的面積為y cm2,E點(diǎn)的運(yùn)動時間為x秒.(1)求證:CE=EF;(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量x的取值范圍;(3)求△BEF面積的最大值.
解:(1)證明:過點(diǎn)E作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,如圖①,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB⊥AD,∴MN⊥AD,MN⊥BC,∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°,∴∠AEM=∠NFE.∵∠DBC=45°,∠BNE=90°,∴BN=EN=AM.∴△AEM≌△EFN(AAS).∴AE=EF.∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴AE=CE.∴CE=EF.
2. [2019·威海]如圖Z6-4,在正方形ABCD中,AB=10 cm,E為對角線BD上一動點(diǎn),連接AE,CE,過E點(diǎn)作EF⊥AE,交直線BC于點(diǎn)F.E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā),沿著BD方向以每秒2 cm的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時,運(yùn)動停止,設(shè)△BEF的面積為y cm2,E點(diǎn)的運(yùn)動時間為x秒.(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量x的取值范圍;
2. [2019·威海]如圖Z6-4,在正方形ABCD中,AB=10 cm,E為對角線BD上一動點(diǎn),連接AE,CE,過E點(diǎn)作EF⊥AE,交直線BC于點(diǎn)F.E點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā),沿著BD方向以每秒2 cm的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時,運(yùn)動停止,設(shè)△BEF的面積為y cm2,E點(diǎn)的運(yùn)動時間為x秒.(3)求△BEF面積的最大值.
3. [2019·青島]已知:如圖Z6-5,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,OD垂直平分AC,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向勻速運(yùn)動,速度為1 cm/s;同時,點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DC方向勻速運(yùn)動,速度為1 cm/s;當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動,另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)P作PE⊥AB,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF∥AC,分別交AD,OD于點(diǎn)F,G.連接OP,EG,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0

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