折疊即軸對(duì)稱,解決此類問題要抓住折疊的本質(zhì),充分利用軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)和折痕的雙線作用:①對(duì)應(yīng)線段夾角的角平分線;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.求解時(shí)注意從中提煉基本圖形,如折疊會(huì)產(chǎn)生角平分線,角平分線+平行線可得等腰三角形等,進(jìn)而結(jié)合圖形本身的性質(zhì)借助邊角關(guān)系、相似等尋找解題途徑.
例1 如圖Z5-1,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點(diǎn),連接EF.(1)如圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長.(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;②求EF的長.
例1 如圖Z5-1,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點(diǎn),連接EF.(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;②求EF的長.
(2)①四邊形AEMF是菱形.證明:∵折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,∴∠CAB=∠EMF,AE=ME.又∵M(jìn)F∥CA,∴∠CEM=∠EMF.∴∠CAB=∠CEM,∴ME∥AF,∴四邊形AEMF是平行四邊形.而AE=ME,∴四邊形AEMF是菱形.
【方法點(diǎn)析】折疊前后的兩個(gè)圖形是全等形,圖形在變換前后的形狀、大小都不發(fā)生改變,如線段的長度、角的大小保持不變;折疊后的圖形再展開,則所得的整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形,折痕是它的對(duì)稱軸.
2. [2019·汕頭潮南區(qū)一模]如圖Z5-3,把長方形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)D落在點(diǎn)H的位置上,點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)G處.(1)△GEF是等腰三角形嗎?請(qǐng)說明理由.(2)若CD=4,GD=8,求HF的長度.
解:(1)是,理由:在長方形紙片ABCD中,AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,由折疊可得∠FEC=∠GEF,∴∠GFE=∠GEF,∴GE=GF,∴△GEF是等腰三角形.(2)設(shè)HF長為x,則FD長為x,GF長為(8-x),在Rt△FGH中,GH=CD=4,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴HF的長為3.
解:(1)由折疊可知DC=EC,∠DCG=∠ECG.∵EG∥CD,∴∠DCG=∠EGC,∴∠EGC=∠ECG,∴EG=EC,∴EG=DC,又∵EG∥CD,∴四邊形ECDG是平行四邊形.∵EG=EC,∴平行四邊形ECDG是菱形.
4. [2019·山西]綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作:第一步:如圖Z5-5①,正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在的直線折疊,展開鋪平,再沿過點(diǎn)C的直線折疊,使點(diǎn)B,點(diǎn)D都落在對(duì)角線AC上.此時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,記為點(diǎn)N,且點(diǎn)E,點(diǎn)N,點(diǎn)F三點(diǎn)在同一條直線上,折痕分別為CE,CF.如圖②.第二步:再沿AC所在的直線折疊,△ACE與△ACF重合,得到圖③.第三步:在圖③的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合,得到圖④,展開鋪平,連接EF,FG,GM,ME,如圖⑤.圖中的虛線為折痕.
(3)答案不唯一,畫出正確的圖形(一個(gè)即可).這個(gè)菱形是菱形FGCH(或菱形EMCH).
5. [2019·齊齊哈爾]折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一,通過折紙我們可以得到許多美麗的圖形,同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折:如圖Z5-6①,把邊長為4的正方形紙片ABCD對(duì)折,使邊AB與CD重合,展開后得到折痕EF.如圖②,點(diǎn)M為CF上一點(diǎn),將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處,展開后連接DN,MN,AN.(一)填一填,做一做:(1)圖②中,∠CMD=　　　　°;?線段NF=　　　　;?(2)圖②中,試判斷△AND的形狀,并給出證明.
5. [2019·齊齊哈爾]折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一,通過折紙我們可以得到許多美麗的圖形,同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折:如圖Z5-6①,把邊長為4的正方形紙片ABCD對(duì)折,使邊AB與CD重合,展開后得到折痕EF.如圖②,點(diǎn)M為CF上一點(diǎn),將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處,展開后連接DN,MN,AN.(一)填一填,做一做:(2)圖②中,試判斷△AND的形狀,并給出證明.
5. [2019·齊齊哈爾]折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一,通過折紙我們可以得到許多美麗的圖形,同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).
(3)∵將圖②中的△AND沿直線GH折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,∴A'G=AG,A'H=AH,∴圖③中陰影部分的周長=△ADN的周長=3×4=12.故答案為:12.
(4)∵將圖②中的△AND沿直線GH折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,∴∠AGH=∠A'GH,∠AHG=∠A'HG.∵∠A'GN=80°,∴∠AGH=50°,∴∠AHG=∠A'HG=70°,∴∠A'HD=180°-70°-70°=40°.故答案為:40.
(5)如圖,設(shè)A'G與ND的交點(diǎn)為P,A'H與ND的交點(diǎn)為Q.∵∠N=∠D=∠A'=60°,∠NPG=∠A'PQ,∠A'QP=∠DQH,∴△NPG∽△A'PQ∽△DHQ,∵△AGH≌△A'GH,∴題圖③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4對(duì).故答案為:4.
6. [2019·郴州]如圖Z5-7①,矩形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),把△ADE沿DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,延長EA1交直線DC于點(diǎn)F,再把∠BEF折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上,折痕EH交直線BC于點(diǎn)H.(1)求證:△A1DE∽△B1EH;(2)如圖②,直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸,若點(diǎn)A1恰好落在直線MN上,試判斷△DEF的形狀,并說明理由;(3)如圖③,在(2)的條件下,點(diǎn)G為△DEF內(nèi)一點(diǎn),且∠DGF=150°,試探究DG,EG,FG的數(shù)量關(guān)系.
解:(1)證明:由于△ADE沿DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,∴∠AED=∠A1ED.∵把∠BEF折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上,折痕EH交直線BC于點(diǎn)H,∴∠BEH=∠FEH.又∠AED+∠A1ED+∠BEH+∠FEH=180°,∴∠A1ED+∠FEH=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DA1E=∠A=90°,∴∠EDA1+∠A1ED=180°-90°=90°,∴∠EDA1=∠FEH.又∠DA1E=∠HBE=∠HB1E=90°,∴△A1DE∽△B1EH.
6. [2019·郴州]如圖Z5-7①,矩形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),把△ADE沿DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,延長EA1交直線DC于點(diǎn)F,再把∠BEF折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上,折痕EH交直線BC于點(diǎn)H.(2)如圖②,直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸,若點(diǎn)A1恰好落在直線MN上,試判斷△DEF的形狀,并說明理由;
6. [2019·郴州]如圖Z5-7①,矩形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),把△ADE沿DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,延長EA1交直線DC于點(diǎn)F,再把∠BEF折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上,折痕EH交直線BC于點(diǎn)H.(3)如圖③,在(2)的條件下,點(diǎn)G為△DEF內(nèi)一點(diǎn),且∠DGF=150°,試探究DG,EG,FG的數(shù)量關(guān)系.
(3)DG,EG,FG所滿足的數(shù)量關(guān)系為:DG2+FG2=EG2.理由如下:將△EDG繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則旋轉(zhuǎn)后的ED將會(huì)和EF重合,同時(shí)G點(diǎn)落在了G1的位置,連接GG1,如圖.∵△EFG1是由△EDG旋轉(zhuǎn)得到的,∴FG1=DG,EG=EG1,∠GEG1=60°,∴△EGG1為等邊三角形,∴GG1=EG.又∠GFG1=∠G1FE+∠GFE=∠GDE+∠GFE=(60°-∠GDF)+(60°-∠GFD)=120°-(∠GDF+∠GFD)=120°-(180°-∠DGF)=120°-(180°-150°)=90°,∴△GFG1是直角三角形,∴GF2+G1F2=G,∴DG2+GF2=GE2.
解決此類問題時(shí),需仔細(xì)觀察圖形旋轉(zhuǎn)前后相關(guān)的線段之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系,相關(guān)的角的變化及角與角之間的關(guān)系,從中提煉出基本圖形和常用模型,如旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的等腰三角形等,進(jìn)而借助全等(相似)三角形,結(jié)合勾股定理、基本圖形的性質(zhì)等其他知識(shí)求解.
例2 [2019·張家口一模]如圖Z5-8①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A,C分別在DG和DE上,連接AE,BG.(1)線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是　　　　.?(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°

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