新定義型問題常見的有新定義運算問題和新定義概念問題.求解新定義運算問題的關(guān)鍵是弄清新定義中的運算法則,并能將其轉(zhuǎn)化為數(shù)與式的運算、方程與方程組、不等式與不等式組等問題;求解新定義概念型問題的關(guān)鍵是弄清新概念的本質(zhì),將其與已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系,并應(yīng)用相關(guān)知識解決問題.
例1 [2019·遂寧]閱讀材料:定義:如果一個數(shù)的平方等于-1,記為i2=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位,把形如a+bi(a,b為實數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a叫做這個復(fù)數(shù)的實部,b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部,它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如計算:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;(2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i;(4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17;(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.根據(jù)以上信息,完成下面計算:(1+2i)(2-i)+(2-i)2=　　　　.?【分層分析】直接利用完全平方公式、多項式乘法運算求解即可.
[答案]7-i　[解析]由題意知(1+2i)(2-i)+(2-i)2 =2+4i-i-2i2+4-4i+i2=6-i-i2=6-i+1=7-i.
5. [2019·棗莊]對于實數(shù)a,b,定義關(guān)于“?”的一種運算:a?b=2a+b.例如3?4=2×3+4=10.(1)求4?(-3)的值;(2)若x?(-y)=2,(2y)?x=-1,求x+y的值.
解:(1)①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似,是假命題,角不一定相等;②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似,是假命題,邊不一定成比例;③兩個大小不同的正方形相似,是真命題.故答案為:假,假,真.
解:(1)證明:由尺規(guī)作圖痕跡得:AC=CD,AB=BD,CB是∠FCE的平分線,∴∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB.又∵AC=CD,AB=BD,∴AC=CD=AB=BD,∴四邊形ACDB為菱形.又∵∠ACD與△FEC中的∠FCE重合,它的對角∠ABD的頂點B在重合角的對邊FE上,∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.
解決閱讀理解題的關(guān)鍵是把握問題的實質(zhì),求解時首先仔細閱讀信息,收集處理信息,以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識或感悟數(shù)學(xué)思想方法;然后運用新知識解決新問題,或運用范例形成科學(xué)的思維方式和思維策略,或歸納與類比作出合情判斷和推理,進而解決問題.
類型二　閱讀理解型問題
例2 [2018·南京]結(jié)果如此巧合!下面是小穎對一道題目的解答.題目:如圖Z4-3,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x.根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎?(1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.倒過來思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求證:∠C=90°.改變一下條件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面積.
【分層分析】(1)根據(jù)題目中所給的方法由切線長定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根據(jù)勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面積公式計算;
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎?(2)若AC·BC=2mn,求證:∠C=90°.改變一下條件……【分層分析】(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求證;
(2)證明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根據(jù)勾股定理的逆定理,得∠C=90°.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎?(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面積.
1. [2019·鎮(zhèn)江]【材料閱讀】地球是一個球體,任意兩條相對的子午線都組成一個經(jīng)線圈(如圖Z4-4①中的☉O).人們在北半球可觀測到北極星,我國古人在觀測北極星的過程中發(fā)明了如圖②所示的工具尺(古人稱它為“復(fù)矩”),尺的兩邊互相垂直,角頂系有一段棉線,棉線末端系一個銅錘,這樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測點,當(dāng)工具尺的長邊指向北極星時,短邊與棉線的夾角α的大小是變化的.【實際應(yīng)用】觀測點A在圖①所示的☉O上,現(xiàn)在利用這個工具尺在點A處測得α為31°,在點A所在子午線往北的另一個觀測點B,用同樣的工具尺測得α為67°.PQ是☉O的直徑, PQ⊥ON.
解:(1)設(shè)過點B的切線CB交ON延長線于點E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于點C,如圖所示.則∠DHC=67°,∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°,∴∠HBD=∠DHC=67°,∵ON∥BH,∴∠BEO=∠HBD=67°,∴∠BOE=90°-67°=23°.∵PQ⊥ON,∴∠POE=90°,∴∠POB=90°-23°=67°.
2. [2019·山西]閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):萊昂哈德·歐拉(Lenhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則OI2=R2-2Rr.如圖Z4-6①,☉O和☉I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,☉I與AB相切于點F,設(shè)☉O的半徑為R,☉I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點)與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點)之間的距離OI=d,則有d2=R2-2Rr.
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):IM=R+d,IN=　　　　(用含R,d的代數(shù)式表示);?(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5 cm,內(nèi)切圓的半徑為2 cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為　　　　cm.?
任務(wù):(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)BD=ID.理由如下:∵點I是△ABC的內(nèi)心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI.∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI,∴BD=ID.
任務(wù):(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(3)由(2)知:BD=ID,∴IA·ID=DE·IF,又∵IA·ID=IM·IN,∴DE·IF=IM·IN,∴2R·r=(R+d)·(R-d),∴R2-d2=2Rr,∴d2=R2-2Rr.
任務(wù):(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5 cm,內(nèi)切圓的半徑為2 cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為　　　　cm.?
　 探究題是近年中考比較常見的題目,難度較大,解題時要仔細分析題目中的有關(guān)信息,并運用歸納、類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問題,同時注意借助圖形、實際操作等打開思路.
類型三　類比探究型問題
例3 [2019·吉林]性質(zhì)探究如圖Z4-7①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,則底邊AB與腰AC的長度之比為　　　　.?理解運用(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為8+4 ,則它的面積為　　　　;?(2)如圖②,在四邊形EFGH中,EF=EG=EH.①求證:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在邊FG,GH上分別取中點M,N,連接MN,若∠FGH=120°,EF=10,直接寫出線段MN的長.
① ②圖Z4-7
類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為　　　　(用含α的式子表示).?
例3 [2019·吉林]理解運用(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為8+4 ,則它的面積為　　　　;?
例3 [2019·吉林]理解運用(2)如圖②,在四邊形EFGH中,EF=EG=EH.①求證:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在邊FG,GH上分別取中點M,N,連接MN,若∠FGH=120°,EF=10,直接寫出線段MN的長.
例3 [2019·吉林]類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為　　　　(用含α的式子表示).?
[答案] 2sinα∶1　[解析]如圖,等腰三角形ABC中,過點C作CD⊥AB于點D,∵∠ACB=2α,∴∠ACD=α,AB=2AD,Rt△ACD中,AD∶AC=sinα,∴AB∶AC=2sinα∶1.
1. [2019·嘉興]小波在復(fù)習(xí)時,遇到一個課本上的問題,溫故后進行了操作、推理與拓展.(1)溫故:如圖Z4-8①,在△ABC中,AD⊥BC于點D,正方形PQMN的邊QM在BC上,頂點P,N分別在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的邊長.(2)操作:能畫出這類正方形嗎?小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作:如圖②,任意畫△ABC,在AB上任取一點P',畫正方形P'Q'M'N',使Q',M'在BC邊上,N'在△ABC內(nèi),連接BN'并延長交AC于點N,畫NM⊥BC于點M,NP⊥NM交AB于點P,PQ⊥BC于點Q,得到四邊形PQMN.小波把線段BN稱為“波利亞線”.(3)推理:證明圖②中的四邊形PQMN是正方形.
① ② ③圖Z4-8
1. [2019·嘉興]小波在復(fù)習(xí)時,遇到一個課本上的問題,溫故后進行了操作、推理與拓展.(3)推理:證明圖②中的四邊形PQMN是正方形.
2. [2019·赤峰] 【問題】如圖Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點D在直線l上移動,角的一邊DE始終經(jīng)過點B,另一邊DF與AC交于點P,研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系.【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖②,某數(shù)學(xué)興趣小組運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點D移動到使點P與點C重合時,通過推理就可以得到DP=DB,請寫出證明過程;【數(shù)學(xué)思考】(2)如圖③,若點P是AC上的任意一點(不包括端點A,C),受(1)的啟發(fā),這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G,就可以證明DP=DB,請完成證明過程;
【拓展引申】(3)如圖④,在(1)的條件下,M是AB邊上任意一點(不包括端點A,B),N是射線BD上一點,且AM=BN,連接MN與BC交于點Q,這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取M點反復(fù)進行實驗,發(fā)現(xiàn)點M在某一位置時BQ的值最大.若AC=BC=4,請你直接寫出BQ的最大值.
解:(1)證明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°.∵CD∥AB,∴∠CBA=∠DCB=45°,∵BD⊥CD,∴∠DCB=∠DBC=45°,∴DB=DC,即DB=DP.
2. [2019·赤峰] 【問題】如圖Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點D在直線l上移動,角的一邊DE始終經(jīng)過點B,另一邊DF與AC交于點P,研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系.【數(shù)學(xué)思考】(2)如圖③,若點P是AC上的任意一點(不包括端點A,C),受(1)的啟發(fā),這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G,就可以證明DP=DB,請完成證明過程;
(2)證明:∵DG⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DCG=∠DGC=45°,∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°,∴∠CDP=∠BDG,∴△CDP≌△GDB(ASA),∴BD=DP.
2. [2019·赤峰] 【問題】如圖Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點D在直線l上移動,角的一邊DE始終經(jīng)過點B,另一邊DF與AC交于點P,研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系.【拓展引申】(3)如圖④,在(1)的條件下,M是AB邊上任意一點(不包括端點A,B),N是射線BD上一點,且AM=BN,連接MN與BC交于點Q,這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取M點反復(fù)進行實驗,發(fā)現(xiàn)點M在某一位置時BQ的值最大.若AC=BC=4,請你直接寫出BQ的最大值.
(3)BQ的最大值為2
①② ③圖Z4-10
解:(1)AD=AB+AC　[解析]延長CA至E,使AE=AB,連接BE,∵∠BAC=120°,∴∠BAE=60°,∴△AEB為等邊三角形,∴EB=AB,∠EBA=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DBC=∠DAC=60°,∠BCD=∠BAD=60°,∴△BCD為等邊三角形,∴BC=BD.又∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC=∠ABD,∴△EBC≌△ABD,∴AD=EC=AB+AC.故填A(yù)D=AB+AC.
3. [2019·仙桃]已知△ABC內(nèi)接于☉O,∠BAC的平分線交☉O于點D,連接DB,DC.(2)如圖②,當(dāng)∠BAC=90°時,試探究線段AB,AC,AD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

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