二次函數(shù)背景下的線段、周長的最值問題是常考題型,此類問題主要有兩種形式:(1)平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題:此類問題常常通過線段兩端點的坐標(biāo)差表示出線段長的函數(shù)關(guān)系式,然后運用二次函數(shù)性質(zhì)求最值;(2)“將軍飲馬”型問題或其變形問題:此類問題一般是已知兩個定點和一條定直線,然后在定直線上確定一點,使得這個點到兩定點距離和最小.其變形問題有三角形周長最小或四邊形周長最小等.這類問題的解決方法是:作其中一個定點關(guān)于已知直線的對稱點,連接對稱點與另一個定點,它們與已知直線的交點即為所求的點,然后通過求直線解析式及直線交點坐標(biāo),計算最小值或點坐標(biāo).
類型一　二次函數(shù)與線段、周長有關(guān)的問題
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0).(1)求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo).(2)若拋物線與y軸交于點D(0,3),求此拋物線的解析式.(3)若第二象限內(nèi)的點E在(2)中的拋物線上,到x軸,y軸的距離比為5∶2,且點E與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),求E點的坐標(biāo).(4)在y軸上是否存在點M,使MA+ME的和最小?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
圖Z7-1①圖Z7-1②
(5)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最小?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. (6)在y軸上是否存在一點S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出點S的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. (7)若點H是拋物線上位于AD下方的一點,過點H作y軸的平行線,交AD于點K,設(shè)點H的橫坐標(biāo)為h,線段HK=d.①求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式;②求d的最大值及此時H點的坐標(biāo).
圖Z7-1 ③ 圖Z7-1 ④圖Z7-1⑤
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0).(2)若拋物線與y軸交于點D(0,3),求此拋物線的解析式.
(2)∵A(-1,0),B(-3,0)在拋物線上,∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x+1),∵點D(0,3)在拋物線上,∴3=3a,解得a=1,∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3.
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0).(3)若第二象限內(nèi)的點E在(2)中的拋物線上,到x軸,y軸的距離比為5∶2,且點E與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),求E點的坐標(biāo).
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0).(4)在y軸上是否存在點M,使MA+ME的和最小?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0).(5)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最小?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0). (6)在y軸上是否存在一點S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出點S的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
例1[2018·天水改編]已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個交點為A(-1,0). (7)若點H是拋物線上位于AD下方的一點,過點H作y軸的平行線,交AD于點K,設(shè)點H的橫坐標(biāo)為h,線段HK=d.①求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式;②求d的最大值及此時H點的坐標(biāo).
1. [2018·自貢]如圖Z7-2,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為-2,點P(m,n)是線段AD上的動點(點P不與點A,D重合).(1)求直線AD及拋物線的解析式.(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長?
1. [2018·自貢]如圖Z7-2,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為-2,點P(m,n)是線段AD上的動點(點P不與點A,D重合).(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長?
3. [2019·深圳]如圖Z7-4所示,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),點C(0,3),且OB=OC.(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;(2)如圖①,點D,E為直線x=1上的兩個動點,且DE=1,點D在點E的上方,求四邊形ACDE的周長的最小值;(3)如圖②,點P為拋物線上一點,連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5兩部分,求點P的坐標(biāo).
3. [2019·深圳]如圖Z7-4所示,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),點C(0,3),且OB=OC.(2)如圖①,點D,E為直線x=1上的兩個動點,且DE=1,點D在點E的上方,求四邊形ACDE的周長的最小值;
3. [2019·深圳]如圖Z7-4所示,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),點C(0,3),且OB=OC.(3)如圖②,點P為拋物線上一點,連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5兩部分,求點P的坐標(biāo).
二次函數(shù)與面積的結(jié)合問題一般涉及求三角形、四邊形的面積,求四邊形的面積一般是利用割補法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和差.求三角形的面積時,若三角形有一邊在坐標(biāo)軸上,則以此邊為底邊,過其對應(yīng)頂點作底邊垂 線,利用三角形面積公式求得面積;若三角形的三邊均不在坐標(biāo)軸上,則一般過一個頂點作平行于坐標(biāo)軸的直線,利用鉛錘法求面積.如圖Z7-6,如果是面積的倍數(shù)關(guān)系,一般需要用等積變形來解決,即過三角形的一個頂點作它對邊的平行線或從圖形中尋找出這樣的直線,利用等底同高來進行等積變形,從而實現(xiàn)三角形頂點的轉(zhuǎn)移;如果過某個頂點的線段平分三角形的面積,則該線段一定過該頂點對邊的中點.
類型二　二次函數(shù)與面積的結(jié)合問題
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);(2)在拋物線上存在點M,使得△MAB的面積與△ABC的面積相等,求點M的坐標(biāo);(3)連接CD,AC,BD,求四邊形ACDB和△CBD的面積;(4)在直線BC上方的拋物線上求一點N,使△NBC面積為1;
(5)在直線BC上方的拋物線上求一點P,使△PBC的面積最大;(6)點E是直線BC上方的拋物線上一點,過點E作x軸的垂線,垂足為F,求△BEF的面積被直線CB平分時點E的坐標(biāo);(7)點R是直線BC上方的拋物線上一點,過點R作x軸的垂線,垂足為S,試確定點R的位置,使△BSR的面積被直線CB分為1∶2的兩部分.
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(2)在拋物線上存在點M,使得△MAB的面積與△ABC的面積相等,求點M的坐標(biāo);
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(3)連接CD,AC,BD,求四邊形ACDB和△CBD的面積;
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(4)在直線BC上方的拋物線上求一點N,使△NBC面積為1;
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(5)在直線BC上方的拋物線上求一點P,使△PBC的面積最大;
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(6)點E是直線BC上方的拋物線上一點,過點E作x軸的垂線,垂足為F,求△BEF的面積被直線CB平分時點E的坐標(biāo);
例2 [2018·日照改編]如圖Z7-7①,已知點A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(7)點R是直線BC上方的拋物線上一點,過點R作x軸的垂線,垂足為S,試確定點R的位置,使△BSR的面積被直線CB分為1∶2的兩部分.
2. [2018·徐州]如圖Z7-9,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2+6x-5的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其頂點為P,連接PA,AC,CP,過點C作y軸的垂線l.(1)求點P,C的坐標(biāo).(2)直線l上是否存在點Q,使△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴頂點P的坐標(biāo)為(3,4),令x=0,得y=-5,∴C的坐標(biāo)為(0,-5).
2. [2018·徐州]如圖Z7-9,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2+6x-5的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其頂點為P,連接PA,AC,CP,過點C作y軸的垂線l.(2)直線l上是否存在點Q,使△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
3. [2019·畢節(jié)]已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.(1)拋物線的解析式為　　　　,拋物線的頂點坐標(biāo)為　　　　.?(2)如圖Z7-10①,連接OP交BC于點D,當(dāng)S△CPD∶S△BPD=1∶2時,請求出點D的坐標(biāo).(3)如圖②,點E的坐標(biāo)為(0,-1),點G為x軸負(fù)半軸上的一點,∠OGE=15°,連接PE,若∠PEG=2∠OGE,請求出點P的坐標(biāo).(4)如圖③,是否存在點P,使四邊形BOCP的面積為8?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)y=-x2-2x+3　(-1,4)　[解析]函數(shù)的解析式為:y=a(x-1)(x+3),∴-3a=3,解得:a=-1,故拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3,頂點坐標(biāo)為(-1,4).
3. [2019·畢節(jié)]已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.(2)如圖Z7-10①,連接OP交BC于點D,當(dāng)S△CPD∶S△BPD=1∶2時,請求出點D的坐標(biāo).
3. [2019·畢節(jié)]已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.(3)如圖②,點E的坐標(biāo)為(0,-1),點G為x軸負(fù)半軸上的一點,∠OGE=15°,連接PE,若∠PEG=2∠OGE,請求出點P的坐標(biāo).
3. [2019·畢節(jié)]已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.(4)如圖③,是否存在點P,使四邊形BOCP的面積為8?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
二次函數(shù)與三角形考查最多的考點主要是直角三角形、等腰三角形及相似三角形的存在性問題.1.求解直角三角形的存在性問題的常用方法有兩種:(1)代數(shù)法:設(shè)出一個點的坐標(biāo),表示出AB2,BC2,CA2,分三種情況:①AB2=BC2+ CA2;②BC2=CA2+AB2;③CA2=AB2+BC2,根據(jù)不同的情況建立方程求解.(2)幾何法:把∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程求解.
類型三　二次函數(shù)與三角形的結(jié)合問題
2.求解等腰三角形的存在性問題有兩種方法:(1)代數(shù)法:適用于三角形的邊長容易由勾股定理求解的情況.步驟如下:①根據(jù)點的坐標(biāo),表示出AB2,BC2,CA2;②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),可得到三個方程:AB2=BC2,BC2=CA2,CA2=AB2;③分別解這三個方程,若能得到方程有解,則這個解即為所求;若方程無解,則不存在這樣的三角形.(2)幾何法(兩圓一線法):利用數(shù)形結(jié)合,先找點,再計算.已知線段AB,在平面內(nèi)找一線,使得△ABC為等腰三角形,滿足條件的點C在如圖Z7-11所示的以點A,B為圓心,以線段AB長為半徑的圓上(除圓上與AB在一條直線上的兩點),或在線段AB的垂直平分線.
例3 [2017·攀枝花改編]如圖Z7-12①,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3).(1)求拋物線的解析式,并求A點的坐標(biāo).(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求證:△CFE是等腰直角三角形.(3)在第(2)問的條件下求PE+EF的最大值.
(4)點D為拋物線對稱軸上一點.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標(biāo).
例3 [2017·攀枝花改編]如圖Z7-12①,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3).(2)點P在x軸下方的拋物線上,過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求證:△CFE是等腰直角三角形.
(2)證明:由題意OB=OC,∴∠OCB=45°,∵F,E在直線y=x+m上,∴∠CFE=45°,∠CEF=90°,即 在△CFE中,∠BCO=∠CFE=45°,∴△CFE為等腰直角三角形.
例3 [2017·攀枝花改編]如圖Z7-12①,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3).(3)在第(2)問的條件下求PE+EF的最大值.
例3 [2017·攀枝花改編]如圖Z7-12①,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,B點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,3).(4)點D為拋物線對稱軸上一點.當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時,求點D的坐標(biāo).
1. [2019·宜賓]已知拋物線y=x2-1與y軸交于點A,與直線y=kx(k為任意實數(shù))相交于B,C兩點,則下列結(jié)論不正確的是(　　)A.存在實數(shù)k,使得△ABC為等腰三角形B.存在實數(shù)k,使得△ABC的內(nèi)角中有兩角分別為30°和60°C.存在任意實數(shù)k,使得△ABC為直角三角形D.存在實數(shù)k,使得△ABC為等邊三角形
[答案]D　[解析]如圖①,可以得△ABC為等腰三角形,選項A正確;如圖②,∠ACB=30°,∠ABC=60°,可以得△ABC的內(nèi)角中有兩角分別為30°和60°,選項B正確;如圖②和③,∠BAC=90°,可以得△ABC為直角三角形,選項C正確;不存在實數(shù)k,使得△ABC為等邊三角形,選項D不正確.故選D.
2. [2019·鹽城節(jié)選]如圖Z7-13所示,二次函數(shù)y=k(x-1)2+2的圖象與一次函數(shù)y=kx-k+2的圖象交于A,B兩點,點B在點A的右側(cè),直線AB與x軸交于C點,其中k

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