特殊四邊形與常見(jiàn)輔助線(xiàn)
特殊四邊形與直角三角形
【例1】正方形ABCD與正方形CEFG的位置如圖甲所示,點(diǎn)G在線(xiàn)段CD或CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,分別連接BD,BF,FD.得到△BFD (1)在圖1,圖2,圖3中,若正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別為1,3,4,且正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為3,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算填寫(xiě)右表：(2)若正方形CEFG的邊長(zhǎng)為a,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b,猜想S△BFD的大小,并結(jié)合圖3證明你的猜想.
【例2】如圖,在矩形ABCD中,若AB=6,BC=8,EF=4,∠E=∠F=90o,則a+b的長(zhǎng)為_(kāi)____.
1.如圖,在正方形ABCD中,AE⊥EF,EF⊥FC,且AE=9,EF=5,FC=3,則正方形ABCD的面積為_(kāi)___.2.如圖,在正方形ABCD內(nèi)有一條折線(xiàn)段,其中AE⊥EF,EF⊥FC,已知AE=6，EF=8,FC=10,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________.
3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,以其三邊為邊向外作三個(gè)正方形,過(guò)點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R,再過(guò)點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長(zhǎng)為_(kāi)____.
【例3】P是邊長(zhǎng)為4的正△ABC內(nèi)一點(diǎn),PE⊥AC,PF⊥AB,PD⊥BC,則PE+PF+PD=_____.
1.如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)P在AD上,PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分別為E、F,則PE+PF的長(zhǎng)為_(kāi)_____.2.如圖,菱形ABCD中,AB=4,∠B=45o,點(diǎn)P在AC上,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分別為E、F,則PE+PF的長(zhǎng)為_(kāi)_____.3.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____.
利用面積求DE的長(zhǎng)0.5AC·BD=AB·DE
【例4】如圖,ABCD是正方形,E是CD邊上任意一點(diǎn),連接AE,作BF⊥AE于G,DG⊥AE于G,求證：BF-DG=FG.
1.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A直線(xiàn)l可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF作CF⊥l于點(diǎn)F,試判斷BE,CF和EF的數(shù)量關(guān)系,并證明.
2.如圖,四邊形ABCD是正方形,E是BC的中點(diǎn),∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分線(xiàn)于點(diǎn)F,連接DF,求證：△DFC是等腰直角三角形.
取AB的中點(diǎn),連接ME,證△AME≌△ECF
過(guò)F作FN⊥CD于點(diǎn)N,證△BME≌△NCF
1.如圖,在□ABCD中,F是AD的中點(diǎn),作CE⊥AB,垂足E在線(xiàn)段AB上,連接EF,CF,則EF:CF=_____.2.如圖,□ABCD的頂點(diǎn)C在等邊三角形BEF的邊BF上,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,G為DE的中點(diǎn),連接CG,若AD=3,AB=CF=2,則CG的長(zhǎng)為_(kāi)____.3.三個(gè)全等的菱形按如圖方式擺放,已知∠AOB=∠AOE=90o,菱形的較短的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2cm.若點(diǎn)C落在AH的延長(zhǎng)線(xiàn)上,則△ABE的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm
先證△AFM≌△DFC ∴MF=CF 利用直角三角形 斜邊的中線(xiàn)等于 斜邊的一半 得出EF=CF.
1.如圖,在正方形ABCD中,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o得到線(xiàn)段AE,CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F,則∠DFC的度數(shù)為_(kāi)____.
【例2】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,將該矩形沿AE折疊,使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處,過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD,交AE于點(diǎn)G,連接DG.(1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)若CD=8,CF=4,求四邊形DEFG的面積．
將矩形ABCD沿折痕EF對(duì)折后鋪平,再沿BG折疊,使點(diǎn)A落在EF上的A′處.求：(1)∠A′BC的度數(shù)； (2)延長(zhǎng)GA交BC于點(diǎn)H,判斷△GBH的形狀.
(1)∠A′BC=30°；
8.如圖①,將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在AB、CD上),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處,點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與CD交于點(diǎn)P,連接EP.(1)如圖②,若M為AD邊的中點(diǎn), ①△AEM的周長(zhǎng)=_____cm； ②求證:EP=AE+DP；(2)①當(dāng)M不與點(diǎn)AD重合時(shí),設(shè)AM=x,MP=y,求y與x的解析式. ②隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合),△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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