腰與底不相等的等腰三角形
【變式1】等腰三角形ABC中,∠A=30o,求頂角的度數(shù).
【變式2】等腰三角形ABC中,∠A=30o,求底角的度數(shù).
【變式4】等腰三角形ABC中,∠A=110o,求∠B的度數(shù).
75o或30o或120o
【變式5】等腰三角形ABC中,∠A=x時(shí),∠B只有一個(gè),求x的取值范圍.
90o≤x＜180o或x=60o
【例1】等腰三角形ABC中,∠A=30o,求∠B的度數(shù).
【變式3】等腰三角形ABC中,∠A=110o,求頂角的度數(shù).
在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G,一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放,該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上,另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B.(1)在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度,猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；(2)當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí),一條直角邊仍與AC邊在同一直線上,另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E,此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度,猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想；(3)當(dāng)三角尺在(2)的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置(點(diǎn)F在線段AC上,且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí),(2)中的猜想是否仍然成立?(不用說明理由)
解：(1)BF=CG；證明如下：在△ABF和△ACG中，∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,∴△ABF≌△ACG(AAS),∴BF=CG；(2)DE+DF=CG；證明如下：過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H(如圖)∵DE⊥BA于點(diǎn)E,∠G=90°,DH⊥CG,∴四邊形EDHG為矩形,∴DE=HG，DH∥BG,∴∠GBC=∠HDC,∵AB=AC,∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC，∴△FDC≌△HCD(AAS),∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG；(3)仍然成立.
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)n多題專家分析,試題“在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G,一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上,另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B.(1)…”主要考查了你對【全等三角形的性質(zhì)】等知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用能力.關(guān)于這些知識(shí)點(diǎn)的“檔案”,你可以點(diǎn)擊相應(yīng)的鏈接進(jìn)行查看和學(xué)習(xí).
【相似題】與“在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G,一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放,該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上,另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B.(1)”考查相似的試題有：●△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，則BC和B′C′的關(guān)系是( ) A.BC=B′C′ B.BC＞B′C′ C.BC＜B′C′ D.不確定●如圖,△ABC≌△DCB,若∠1和∠2是對應(yīng)角,當(dāng)∠1=45o,∠ABC=60o時(shí),求∠ACD的度數(shù)．●如圖,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30o,則∠ACA′的度數(shù)為______o.●如圖,△ABC≌△EDF,DF=BC,AB=ED,EF=15,EC=10,則AE的長是______.●如圖,△ABC≌△ADE,∠D=22o,∠C=125o,∠DAC=20o,則∠DAB等于( ) A.33o B.42o C.55o D.53o
【例3】如圖,在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EF⊥AC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為　 __．
等邊三角形的判定方法.
3.有一個(gè)角為60o的等腰三角形；
2.三角相等都等于60o；
【例4-1】在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中,我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖所示的圖形來驗(yàn)證著名的勾股定理,這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法,簡稱為“無字證明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù),圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律,它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是( ) A.統(tǒng)計(jì)思想 B.分類思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想
2.等面積法求斜邊上的高:如圖,S=0.5ab=0.5ch,其中a,b為兩個(gè)直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高.
【例4-1】《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會(huì).問甲乙行各幾何”譯文：已知甲,乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲,乙的速度比為7:3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又沿北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí),甲,乙各走了多遠(yuǎn)?設(shè)甲走了7x步后與乙相遇,根據(jù)題意,可列方程__________________.
(3x)2+102=(7x-10)2
1.若實(shí)數(shù)m、n滿足等式 ,且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長,則△ABC的周長是(　 )A.12 B.10 C.8 D.62.如圖,AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線.若∠CAD=20o,AB=AC,則∠ACE的度數(shù)是( 　) A.20o B.35o C.40o D.70o3.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為____.
4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90o,AD⊥BC,垂足為D,E是邊BC的中點(diǎn),AD=ED=3,則BC的長為_____. 5.如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為___.6.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=70o.若以點(diǎn)C為圓心,CA的長為半徑作弧,交直線BC于點(diǎn)P,則∠BAP的度數(shù)為__________.
7.已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且PA=PB=PC=a.若AB=3,∠C=45o,則a=___8.定義:等腰三角形的底邊與腰的長度的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”.若等腰△ABC的周長為13cm,AB=5cm,則它的“優(yōu)美比”k=______.9.在△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分線與AC邊所夾的銳角為60o,則∠A的度數(shù)為___________.
10.如圖,已知∠AOB=60o,點(diǎn)P在OA上,OP=8,點(diǎn)M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=____.11.如圖,Rt△ABC中,∠B=90o,AB=4,BC=3,AC的垂直平分線DE分別交AB,AC于D,E兩點(diǎn),則CD的長為____.
12.如圖,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于點(diǎn)F,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),連接DF并延長交AC于點(diǎn)E,若AB=8,BC=12,則線段EF的長為____.13.如圖，在Rt△ABC中，AB=8,AC=6,∠BAC=90o,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，P為DE上一點(diǎn)，且滿足∠EAP=∠ABP,則PE=_____.

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