1.向量a=(x,1,3)，b=(2,?y,6)，若a//b，則( )
A. x=y=1B. x=?1，y=?2
C. x=1，y=?2D. x=?1，y=2
2.已知P(A)=14,P(B)=16,P(AB)=112，則P(A∪B)=( )
A. 512B. 13C. 14D. 16
3.若直線ax+y?2=0經(jīng)過兩直線5x?3y?17=0和x?y?5=0的交點，則a=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.已知點A(3,1,4)，則點A關于x軸對稱的點的坐標為( )
A. (3,?1,?4)B. (1,?3,4)C. (?3,?1,?4)D. (4,?1,3)
5.從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，給出以下事件：
①兩球都不是白球；
②兩球中恰有一白球；
③兩球中至少有一個白球．
其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
6.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，AA1= 2，AB=2，則點C到直線AB1的距離為( )
A. 63
B. 233
C. 303
D. 153
7.如圖，二面角α?l?β等于120°，A、B是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，則CD的長等于( )
A. 2 3 B. 2 2
C. 4 D. 2
8.在古裝電視劇《知否》中，甲、乙兩人進行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場比賽得籌數(shù)最多者獲勝．假設甲投中“有初”的概率為13，投中“貫耳”的概率為16，投中“散射”的概率為19，投中“雙耳”的概率為112，投中“依竿”的概率為136，乙的投擲水平與甲相同，且甲、乙投擲相互獨立．比賽第一場，兩人平局；第二場，甲投了個“貫耳”，乙投了個“雙耳”，則三場比賽結束時，甲獲勝的概率為( )
A. 85432B. 527C. 19D. 83432
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)=12,P(B)=13，則下列說法正確的是( )
A. 若A與B互斥，則P(A+B)=23
B. 若A與B相互獨立，則P(A+B)=23
C. 若P(AB?)=13，則A與B相互獨立
D. 若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則P(AB)=16
10.下列說法正確的是( )
A. “a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件
B. “a=?2”是“直線ax+2y+a2=0與直線x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要條件
C. 直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)
D. 若點A(1,0)，B(0,2)，直線l過點P(2,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是?12≤k≤1
11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列結論正確的是( )
A. 三棱錐P?A1C1D的體積為定值
B. 異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是[π4,π2]
C. 平面ADP與平面ABCD所成夾角的余弦值取值范圍是[ 22,1]
D. 直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為 63
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若直線(k+1)x?y+2=0的傾斜角為135°，則k= ______．
13.已知平面α的一個法向量為n=(2,3,5)，點A(?1,?3,0)是平面α上的一點，則點P(?3,?4,1)到平面α的距離為______．
14.甲、乙兩隊進行答題比賽，每隊3名選手，規(guī)定兩隊的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對一題得1分，答錯一題得0分.已知甲隊中每名選手答對題的概率都為12，乙隊中3名選手答對題的概率分別為23,13,14.在第一輪比賽中，甲隊得x分，乙隊得y分，則在這一輪中，滿足00)如圖所示．
(1)求證：A1C⊥平面BCDE；
(2)當λ=12時，求二面角C?MB?E的正弦值；
(3)設直線BM與平面A1BE所成線面角為θ，求sinθ的最大值．
參考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.BCD
11.ACD
12.?2
13. 3819
14.79288
15.解：(1)因為點A(2,1)，B(0,3)，C(?1,2)，
所以kAB=3?10?2=?1，kBC=2?3?1?0=1，
所以直線AB的傾斜角為135°，
直線BC的點斜式方程為y?3=x?0，或寫成y?2=x+1(注：寫一個即可)．
(2)由(1)可得直線BC的一般式方程為x?y+3=0，
所以點A到直線BC的距離d=|2?1+3| 12+12=2 2．
16.解：基本事件總數(shù)為C42=6，
(1)甲被選中包含的基本事件數(shù)為C31=3，
∴甲被選中的概率為36=12；
(2)丁沒被選中包含的基本事件數(shù)為C32=3，
∴丁沒被選中的概率為36=12；
(3)甲、丁至少有1人被選中包含的基本事件數(shù)為6?C22=6?1=5，
∴甲、丁至少有1人被選中的概率為56．
17.解：(1)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C1(0,3,2)，C(0,3,0)，B1(2,3,2)，
可得A1E=(0,1,?2)，BC1=(?2,0,2)，EC=(?2,2,0)，
設平面A1EC的法向量為n=(x,y,z)，
則n?A1E=y?2z=0n?EC=?2x+2y=0，
令z=1，則x=y=2，可得n=(2,2,1)，
可得|cs|=|n?BC1||n||BC1|=|?4+2|3×2 2= 26，
所以直線BC1與平面A1EC所成角的正弦值為 26；
(2)由(1)可得：EB1=(0,2,2)，
所以B1到平面A1EC的距離為|n?B1E||n|=63=2..
18.解：(1)BD1=AD1?AB=AD+AA1?AB，
因為AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以AD?AB=0，AD?AA1=AA1?AB=1×2×csπ3=1，
所以|BD1|2=(AD+AA1?AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD?AA1?2AD?AB?2AA1?AB=12+22+12+2×1?2×0?2×1=6，
所以|BD1|= 6．
(2)由(1)知，BD1=AD+AA1?AB，|BD1|= 6，
而AC=AB+AD，|AC|= 2，
所以BD1?AC=(AD+AA1?AB)?(AB+AD)=AD?AB+AD2+AA1?AB+AA1?AD?AB2?AB?AD=0+12+1+1?12?0=2，
所以cs?BD1,AC?=BD1?AC|BD1|?|AC|=2 6× 2= 33．
19.(1)證明：翻折前，由∠C=90°，DE/?/BC，知DE⊥CD，DE⊥AD，
翻折后，DE⊥CD，DE⊥A1D，
因為CD∩A1D=D，CD、A1D?平面A1CD，
所以DE⊥平面A1CD，
又A1C?平面A1CD，所以DE⊥A1C，
因為A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE?平面BCDE，
所以A1C⊥平面BCDE．
(2)解：因為DE經(jīng)過△ABC的重心，且BC=3，AC=6，
所以DE=2，CD=2，AD=4，
由(1)知A1C⊥平面BCDE，
所以A1C⊥CD，A1C⊥BC，
所以A1C= A1D2?CD2= AD2?CD2=2 3，
以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C(0,0,0)，B(0,3,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，A1(0,0,2 3)，
當λ=12時，點M是A1D的中點，所以M(1,0, 3)，
所以CB=(0,3,0)，BM=(1,?3, 3)，BE=(2,?1,0)，
設平面BCM的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則n1?BM=x1?3y1+ 3z1=0n1?CB=3y1=0，
令z1=1，則x1=? 3，y1=0，所以n1=(? 3,0,1)，
設平面BEM的法向量為n2=(x2,y2,z2)，則n2?BM=x2?3y2+ 3z2=0n2?BE=2x2?y2=0，
令x2= 3，則y2=2 3，z1=5，所以n2=( 3,2 3,5)，
設二面角C?MB?E的夾角為α，
則|csα|=|cs|=|n1?n2||n1|?|n2|=?3+52×2 10= 1020，
所以sinα= 1?|csα|2= 1?( 1020)2= 39020，
故二面角C?MB?E的正弦值為 39020．
(3)解：由(2)知，A1D=(2,0,?2 3)，BE=(2,?1,0)，A1B=(0,3,?2 3)，
所以A1M=λA1D=(2λ,0,?2 3λ)，
所以BM=BA1+A1M=(0,?3,2 3)+(2λ,0,?2 3λ)=(2λ,?3,2 3?2 3λ)，
設平面A1BE的法向量為m=(a,b,c)，則m?BE=2a?b=0m?A1B=3b?2 3c=0，
令a=1，則b=2，c= 3，所以m=(1,2, 3)，
所以sinθ=|cs|=|BM?m||BM|?|m|=|2λ?6+6?6λ| 4λ2+9+(2 3?2 3λ)2×2 2= 2λ 16λ2?24λ+21= 2 21λ2?24λ+16，
當1λ=47，即λ=74時，sinθ取得最大值 148．

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