命題人：宋德霞
考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教B版選擇性必修第一冊第一章~第二章第2節(jié).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知直線的傾斜角為，則（ ）
A. B. C. D.0
2.若，則（ ）
A. B. C.22 D.29
3.如果且，那么直線不經(jīng)過（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，點在側(cè)棱上，且，若，則（ ）
A. B.
C. D.
5.已知為實數(shù)，直線，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.已知空間中三點，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A. B. C.3 D.
7.點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.直線與直線之間的距離為
B.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6
C.將直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，所得到的直線為
D.若直線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則直線的斜率為
10.在正方體中，能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量為（ ）
A. B.
C. D.
11.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A.當(dāng)時，
B.當(dāng)時，若，則
C.當(dāng)時，直線與直線所成角的大小為
D.當(dāng)時，三棱錐的體積的最大值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知直線過點，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為__________.
13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為__________.
14.在棱長為4的正方體中，點分別為棱的中點，分別為線段上的動點（不包括端點），且，則線段的長度的最小值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
如圖，正方體的棱長為2.
（1）用空間向量方法證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16.（本小題滿分15分）
已知點，點，直線過點且與直線垂直.
（1）求直線的方程；
（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
17.（本小題滿分15分）
如圖，已知平行六面體.
（1）若，求的長度；
（2）若，求與所成角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）
如圖，四邊形是直角梯形，為的中點，是平面外一點，是線段上一點，三棱錐的體積是.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小題滿分17分）
如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，側(cè)棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值的最小值.
高二上學(xué)期第一次月考試卷·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評分細則
1.C 由題意知直線的斜率為，所以，解得.故選C.
2.A 由，得，所以.故選A.
3.C 由且，可得同號，異號，所以也是異號.令，得；令，得，所以直線不經(jīng)過第三象限.故選C.
4.A 因為，所以，根據(jù)空間向量的運算法則，可得，所以.故選A.
5.B 易知兩直線的斜率存在，當(dāng)時，則解得，由推不出，充分性不成立；當(dāng)時，可以推出，必要性成立.故選B.
6.D 夾角的余弦值為.因此夾角的正弦值為，故以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選D.
7.B 將直線方程變形為，所以解得由此可得直線恒過點，所以到直線的最遠距離為，此時直線垂直于到直線的最短距離為0，此時直線經(jīng)過點.又，所以到直線的距離的取值范圍是.故選B.
8.D 在正三棱錐中，，所以，又，所以.故選D.
9.ACD 直線與直線之間的距離，故A正確；對0，令，得，令得，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，故B錯誤；的傾斜角為，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得直線的傾斜角為，斜率為，故C正確；設(shè)直線的方程為，向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后得，即，與是同一條直線，所以，所以，故D正確.故選ACD.
10.AC 空間的一組向量可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面.選項A中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，故這組向量可以成為基底，A正確；選項B，滿足，所以這三個向量共面，這組向量不可以成為基底，B錯誤；選項C中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，這組向量可以成為基底，C正確；選項D中，因為，所以共面，這組
向量不可以成為基底，D錯誤.故選AC.
11.ABD 由平行六面體知四邊形是平行四邊形，連接，當(dāng)時，分別是的中點，所以也是的中點，所以，故A正確；當(dāng)時，由A選項可知，又，所以0，故B正確；當(dāng)時，，因為在棱長均為1的平行六面體中，平面，所以，，所以，設(shè)直線與直線所成角為，則，又，所以，即直線與直線所成角為，故C錯誤；過作交于，可證平面，所以三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確.故選ABD.
12.或 設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過原點，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即.綜上所述，直線的方程為，或.
13.2 由題意得，所以的面積為，點都在平面上，點到平面的距離3，所以三棱錐的體積為.
14. 以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，設(shè)，其中，則.又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此時，即線段的長度的最小值為.
15.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，2）.
所以.
（1）證明：設(shè)平面的法向量為，由得
令，得.
因為，所以，
又平面，所以平面.
（2）解：由（1），得平面的法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16.解：（1）因為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，
又直線過點，所以直線的方程為，即.
（2）由解得，故的交點坐標(biāo)為，
因為在直線上，設(shè)關(guān)于對稱的點為，
則
解得
所以直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點，
代入兩點式方程得，即，
所以直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為.
17.解：（1），
因為，
所以，
所以.
（2）因為，
所以
，
10分
因為，所以，
因為
，所以，
設(shè)與所成的角為，則，
即與所成角的余弦值為.
18.（1）證明：如圖，連接交于點，
因為，
所以，所以，
因為，所以，
所以，即.
又因為平面，
所以平面，又平面，所以.
又因為，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：以為原點，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則.
設(shè)，則，即點，
則三棱錐的體積，解得，
所以.
則，設(shè)平面的法向量，
由，令，得平面的一個法向量，
易知，為平面的一個法向量，
所以，
由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是.
19.（1）證明：因為是等邊三角形，點是棱的中點，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在平面中，過點作，所以，又平面平面，所以，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
因為是等邊三角形，，所以，
，因為，所以.
設(shè)，所以，所以
.
設(shè)平面的法向量為，
因為所以令，得，
，所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
因為所以令，得，
所以平面的一個法向量為.
設(shè)平面與平面所成角為，所以
，
設(shè)，則，所以，
所以，
所以當(dāng)，即時，取到最小值.

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