1.已知集合A={x|01”是“x>1”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3.若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是( )
A. α內(nèi)的所有直線與a異面B. α內(nèi)存在唯一的直線與a平行
C. α內(nèi)的所有直線與a相交D. α內(nèi)不存在與a平行的直線
4.已知關(guān)于x的函數(shù)y=ln(x?a)在[1,2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. a2
5.已知點(diǎn)P(3,1)是角α終邊上的一點(diǎn)，則cs2α的值為( )
A. 35B. 45C. ?35D. ?45
6.已知|a|=|b|=1,|2a+b|= 2，則a在b上的投影向量為( )
A. 32bB. ? 32bC. 34bD. ?34b
7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是( )
A. 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C. 平均數(shù)為2，方差為2.4D. 中位數(shù)為3，方差為2.8
8.設(shè)函數(shù)f(x)= 2sin(ωx+φ)?1(ω>0)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)φ，f(x)在區(qū)間[π4,3π4]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是( )
A. [83,5)B. [4,5)C. [4,203)D. [83,203)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是( )
A. 必然事件和不可能事件相互獨(dú)立
B. 若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差s2=0，則所有的xi(i=1,2,…,n)都相同
C. 若P(A)>0，P(B)>0，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥不能同時(shí)成立
D. 數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是sx2，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的方差是sy2，若yn=2xn+1，則sy2=2sx2+1
10.已知a，b，c∈R，且a2+b2+c2=3，以下說(shuō)法正確的是( )
A. a，b，c中至少有一個(gè)不大于1B. ab+bc+ca≤3
C. (ac+bc)max=2D. 若a+b+c=0，則c≤ 2
11.已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為1，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，P是AC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. A1C= 2
B. 若AP=12PC1，則A1P/?/面EFC
C. 若AP=3PC1，則A1C⊥面EFP
D. 若M是線段A1D的中點(diǎn)，N是線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是3 34
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知z=(1+i)2?1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．
13.甲乙丙三位同學(xué)之間相互踢毽子.假設(shè)他們相互間傳遞毽子是等可能的，并且由甲開(kāi)始傳，則經(jīng)過(guò)3次傳遞后，毽子仍回到甲處的概率為_(kāi)_____．
14.已知函數(shù)f(x)=x? x2?3x+3，若對(duì)于?yi∈{y|y=f(x),x≥2}(i=1，2，?，n)，不等式i=1n?1yi≥2024yn恒成立，則正整數(shù)n的最小值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 3asinB=c?bcsA．
(1)求角B的大??；
(2)若c= 3,b=1，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=x2(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
(1)求a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的最小值．
17.(本小題15分)
今年6月我校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試.從參加考試的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)分成六組：第1組[40,50)，第2組[50,60)，第3組[60,70)，第4組[70,80)，第5組[80,90)，第6組[90,100]，得到頻率分布直方圖(如下圖)，觀察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)從頻率分布直方圖中，估計(jì)第65百分位數(shù)是多少；
(2)已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí).若從成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率．
18.(本小題15分)
如圖，三棱錐P?ABC，∠C=90°，AC=BC，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，且VP?ABC=4，S△PEF=3．
(1)求點(diǎn)B到平面PEF的距離；
(2)若面PEF⊥面ABC，求平面PAC與平面PEF夾角的余弦值．
19.(本小題17分)
已知正實(shí)數(shù)集A={a1,a2,?,an}，定義：A2={aiaj|ai,aj∈A}稱(chēng)為A的平方集.記n(A)為集合A中的元素個(gè)數(shù)．
(1)若A={1,2,3,4}，求集合A2和n(A2)；
(2)若n(A2)=2016，求n(A)min；
(3)求證：n(A2)≥2n(A)?1，并指出取等條件．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因?yàn)锳={x|01可得x>0，{x|x>1}≠?{x|x>0}，
則2x>1是x>1的必要不充分條件．
故選：B．
根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明充分性，必要性，從而得出答案．
本題主要考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：若直線a不平行于平面α，且a?α，則線面相交
A選項(xiàng)不正確，α內(nèi)存在直線與a相交；
B選項(xiàng)不正確，α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；
C選項(xiàng)不正確，α內(nèi)只有過(guò)直線a與面的交點(diǎn)的直線與a相交；
D選項(xiàng)正確，因?yàn)棣羶?nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行．
綜上知，D選項(xiàng)正確
故選：D．
直線a不平行于平面α，且a?α，則線面相交，四個(gè)選項(xiàng)都是研究α內(nèi)的直線與a的位置關(guān)系，故由線面位置關(guān)系結(jié)合線線位置關(guān)系進(jìn)行判斷找出正確選項(xiàng)
本題考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線平行與垂直的判斷條件以及具有較強(qiáng)的空間想像能力．
4.【答案】A
【解析】解：由于y=ln(x?a)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以x?a>0在[1,2]上恒成立，即a15(6?2)2=3.2>2.4，
∴平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為3，
平均數(shù)為：x?=15(1+2+3+3+6)=3
方差為S2=15[(1?3)2+(2?3)2+(3?3)2+(3?3)2+(6?3)2]=2.8，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項(xiàng)．
本題考查命題真假的判斷，考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．
8.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，
則sin(ωx+φ)= 22，
令t=ωx+φ，
則sint= 22，
則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sint在區(qū)間[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得y=sint= 22，求ω的取值范圍，
作出y=sint與y= 22的圖象，如圖所示：
由圖知，滿(mǎn)足條件的最短區(qū)間長(zhǎng)度為9π4?π4=2π，
最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為11π4?π4=5π2，
所以2π≤(3π4ω+φ)?(π4ω+φ)3，矛盾，
所以a，b，c中至少有一個(gè)不大于1，A正確．
對(duì)于B，ab+bc+ca≤a2+b22+b2+c22+c2+a22=3，
當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=c=1“時(shí)，等號(hào)成立，B正確．
對(duì)于C，3=a2+b2+c2≥2 a2?12c2+2 b2?12c2= 2(ac+bc)．
所以ac+bc≤3 22，當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=12c2=34，即a=b= 32,c= 62時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，∵c2=(?b?a)2=b2+a2+2ab≤2(b2+a2)，
∴c2≤2(3?c2)，∴3c2≤6，即? 2≤c≤ 2，則c≤ 2，D正確．
故選：ABD．
利用假設(shè)法可以判斷A，利用基本不等式的性質(zhì)可判斷B，由3=a2+b2+c2≥2 a2?12c2+2 b2?12c2= 2(ac+bc)可以判斷C，c2=(?b?a)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)可以判斷D．
本題考查了基本不等式和a2+b2≥2ab的運(yùn)用，是中檔題．
11.【答案】ACD
【解析】解：由題設(shè)可知，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的六個(gè)面均為一個(gè)角是60°的菱形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，
在菱形ABB1A1，ADD1A1中易得A1B=A1D=1，又O為BD中點(diǎn)，則A1O⊥BD，
在直角三角形A1OB中有A1O= A1B2?OB2= 32，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cs∠ABC，
解得AC= 3，則OA= 32，
在△A1OA中，由余弦定理得cs∠A1OA=A1O2+AO2?AA122?AO?A1O=13，
則cs∠A1OC=?cs∠A1OA=?13，
在△A1OC中，余弦定理可得A1C2=A1O2+OC2?2A1O?OC?cs∠A1OC，
解得A1C= 2，A正確；
連接EF交A1C1于G，連接CG交AC1于H，由于E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)，
可得EF/?/B1D1，且EF//12B1D1，
連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，
則有C1G=14A1C1，故A 1G=3C1G，
若A1P/?/平面EFC，A1P?平面A1B1C1D1，平面EFC∩平面A1B1C1D1=CG，則A1P//CG，故C1H=13PC1，
易得△A1PA≌△CHC1，故AP=C1H=13PC1，與題設(shè)不符，B錯(cuò)誤；
設(shè)AC1與A1C交于點(diǎn)O2，連接O2B1，因?yàn)镻，E分別是O2C1，B1C1的中點(diǎn)，則O2B1//EP，
在菱形B1C1CB中易得B1C=1，則B1C=A1B1，
又O2是A1C中點(diǎn)，則A1C⊥O2B1，則A1C⊥EP，
過(guò)點(diǎn)C作CI//BD，使CI=BD，連接A1I，易得BD/?/EF，
在平面ABB1A1內(nèi)由余弦定理得A1I2=AI2+A1A2?2AI?A1A?cs∠A1AB，
解得A1I= 3，又A1C= 2，CI=1，則A1I2=A1C2+CI2，
則A1C⊥CI，又CI//BD//EF，則A1C⊥EF，
因?yàn)镋P∩EF=E，EF?平面EFP，EP?平面EFP，
所以A1C⊥面EFP，C正確；
由平行六面體的對(duì)稱(chēng)性可得△MPA≌△OPA，則MP=OP，
當(dāng)MP+PN最小時(shí)，可知OP+PN最小，故此時(shí)O，P，N三點(diǎn)共線，
此時(shí)易得N為EF的中點(diǎn)，
由A1C1/?/AC可得cs∠C1A1O=cs∠A1OA=13，
由B選項(xiàng)可知A1N=3C1N，又A1C1= 3，則A1N=3 34，
在△A1ON中，由余弦定理易得ON=3 34，
故MP+PN的最小值是3 34，D正確．
故選：ACD．
A選項(xiàng)，在△ABC，△A1OA，△A1OC中依次使用余弦定理，即可解得A1C，判斷出A的真假；
B選項(xiàng)，假設(shè)A1P/?/平面EFC成立，由線面平行的性質(zhì)可知A1P//CG，由平行線分線段成比例可知C1H=13PC1，找出全等三角形△A1PA≌△CHC1，可得AP=C1H=13PC1；判斷出B的真假；
C選項(xiàng)，分別證明A1C⊥EP，A1C⊥EF，由線面垂直的判定，可得A1C⊥平面EFP，判斷出C的真假；
D選項(xiàng)，找出全等三角形△MPA≌△OPA，可知當(dāng)MP+PN最小時(shí)，OP+PN最小，此時(shí)O，P，N三點(diǎn)共線，利用余弦定理求ON的長(zhǎng)度，即MP+PN的最小值．
本題考查余弦定理的應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
12.【答案】二
【解析】解：由題意得z=(1+i)2?1=?1+2i，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,2)，
故對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限．
故答案為：二．
先由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示可直接得答案．
本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
13.【答案】14
【解析】解：
根據(jù)題意可得樹(shù)狀圖：121233123123213，
設(shè)甲乙丙分別為1，2，3，列樹(shù)狀圖得3次傳遞基本事件是8種，滿(mǎn)足條件的基本事件是2種，
所以P=28=14．
故答案為：14．
列舉法求古典概型的概率即可．
本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】3037
【解析】解：設(shè)2≤x1 (x2?32)2=x2?32，
同理 x12?3x1+3>x1?32，
∴ x22?3x2+3+ x12?3x1+3?(x2+x1?3)>0，
∴(x2?x1) x22?3x2+3+ x12?3x1+3?(x2+x1?3) x22?3x2+3+ x12?3x1+3>0，即f(x2)?f(x1)>0，
∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，
又∵f(2)=0，∴當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥0；
又∵x≥2時(shí)，f(x)=x? x2?3x+3=x2?(x2?3x+3)x+ x2?3x+3=3x?3x+ x2?3x+3
=31+1x?1+ 1?1x?1+3(x?1)2

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