1.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (12,0)B. (0,12)C. (14,0)D. (0,14)
2.與雙曲線y2?x23=1有公共焦點(diǎn)，且長軸長為6的橢圓方程為( )
A. y29+x27=1B. y29+x25=1C. x29+y25=1D. x29+y27=1
3.在等差數(shù)列{an}中，a2+a6=6，a5=2，則a3=( )
A. ?4B. ?1C. 1D. 4
4.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A，左、右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若△AF1F2為等邊三角形，則橢圓C的離心率為( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
5.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2?8x+6y+m=0相內(nèi)切，則C1與C2的公切線方程為( )
A. 3x?4y?5=0B. 3x?4y+5=0C. 4x?3y?5=0D. 4x?3y+5=0
6.過點(diǎn)P(2,1)的直線l與雙曲線x2?y23=1相交于A，B兩點(diǎn)，若P是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是( )
A. 6x?y?11=0B. 6x+y?13=0C. 2x?3y?1=0D. 3x?2y?4=0
7.已知雙曲線C：x24?y212=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,m)，若直線AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，則m=( )
A. ±2B. ±4 3C. ±2 3D. ±4
8.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=6，深度MO=2，信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，若P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q(158,2)，則|PF|+|PQ|的最小值為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知曲線C1：4x2+3y2=48，C2：x2?y23=1，則( )
A. C1的長軸長為4B. C2的漸近線方程為y=± 3x
C. C1與C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D. C1與C2的離心率互為倒數(shù)
10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S23>0，S240
C. 當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n=13D. |a13|>|a12|
11.過拋物線C：y2=2px上一點(diǎn)A(1,2)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則( )
A. C的準(zhǔn)線方程是x=?1
B. 過C的焦點(diǎn)的最短弦長為2
C. 直線MN過定點(diǎn)(5,?2)
D. 若直線MN過點(diǎn)(1,?1)，則△AMN的面積為24
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若拋物線C：x2=2py(p>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為p2，到x軸的距離為3，則p= ______．
13.公差為d的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2a5=a3+5，則S13= ______．
14.如圖，我們把由半橢圓y216+x29=1(x≤0)和半橢圓x225+y216=1(x>0)合成的曲線稱作“果圓”.F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，則△F1F2F3的周長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在等差數(shù)列{an}中，a3=7，a9=?5，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求Sn的最大值和Sn取得最大值時(shí)n的值．
16.(本小題15分)
已知點(diǎn)P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6，且過(5,0)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動(dòng)直線l過F2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF1的周長．
17.(本小題15分)
已知拋物線C：x2=?2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x0,?9)是拋物線C上的點(diǎn)，且|AF|=15．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(6,?4)，求直線l的方程．
18.(本小題17分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為2，且離心率為2 33．
(1)求C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)設(shè)C的右焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求|AB|．
19.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e= 22，且點(diǎn)(4,1)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若經(jīng)過定點(diǎn)(0,?1)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為M，當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求△MPQ面積的最大值．
參考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.BD
10.ABC
11.AC
12.2
13.65
14.8+2 7
15.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a1+2d=7a1+8d=?5，解得a1=11，d=?2，
所以an=11+(n?1)×(?2)=?2n+13．
(2)由(1)知，Sn=n(a1+an)2=n(11?2n+13)2=?n2+12n=?(n?6)2+36，
所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取得最大值S6=36．
16.解：(1)由2c=6，得c=3，
又橢圓過(5,0)，∴a=5，
得b2=a2?c2=25?9=16，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+y216=1；
(2)動(dòng)直線l過F2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
∴|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20，
∴△ABF1的周長為20．
17.解：(1)因?yàn)閨AF|=9+p2=15，所以p=12，
故拋物線C的方程為x2=?24y．
(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
則x12=?24y1,x22=?24y2,
兩式相減得x12?x22=?24(y1?y2)，整理得y1?y2x1?x2=?x1+x224．
因?yàn)镸N的中點(diǎn)為(6,?4)，所以k=y1?y2x1?x2=?1224=?12，
所以直線l的方程為y+4=?12(x?6)，即x+2y+2=0．
18.解：(1)因?yàn)镃的離心率為e=ca=2 33，又C的虛軸長為2，
所以2b=2，又c2=a2+b2，
解得a2=3，b2=1，c2=4，
所以C的方程為x23?y2=1，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(?2,0)，(2,0)；
(2)由(1)知F(2,0)，根據(jù)題意易得過F的直線斜率存在，
設(shè)為y=k(x?2)，A(xA,yA)，B(xB,yB)，
聯(lián)立y=k(x?2),x2?3y2=3,化簡得(1?3k2)x2+12k2x?12k2?3=0，
則Δ=144k4+4(1?3k2)(12k2+3)>0，
所以xA+xB=12k23k2?1,xAxB=12k2+33k2?1，
因?yàn)锳B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以xA+xB=12k23k2?1=6，
解得k2=1，所以xAxB=152，
則(xA?xB)2=(xA+xB)2?4xAxB=62?4×152=6，
則|AB|= (1+k2)(xA?xB)2= 2×6=2 3．
19.解：(1)橢圓C的離心率e= 22，則 22=ca= 1?b2a2，即b2a2=12，
故a= 2b= 2c，橢圓方程為x22b2+y2b2=1，
將點(diǎn)(4,1)代入方程得b2=9，
故所求方程為x218+y29=1．
(2)點(diǎn)(0,?1)在橢圓C內(nèi)，直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx?1，
由x218+y29=1,y=kx?1,得(2k2+1)x2?4kx?16=0，
設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1+x2=4k2k2+1,x1x2=?162k2+1,Δ>0，
|PQ|= (k2+1)[(x1+x2)2?4x1x2]=4 (k2+1)(9k2+4)2k2+1，
點(diǎn)M(0,3)到l的距離d=4 k2+1,S△MPQ=12|PQ|?d=8 9k2+42k2+1，
令t=2k2+1(t≥1)，則k2=t?12，則S△MPQ=8 9(t?1)2+4t2=8 818?12(1t?92)2，
因?yàn)?

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