廣西“貴百河—武鳴高中”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份廣西“貴百河—武鳴高中”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共18頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知直線l過原點且與直線垂直，求直線l一個方向向量是( )
A.B.C.D.
2．設(shè)向量，，若，則( )
A.2B.1C.-1D.-2
3．已知點，，向量，求向量與夾角的余弦值( )
A.B.C.D.
4．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍( )
A.B.C.D.
5．2024年10月22日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號運載火箭，成功將天平三號,,衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功.該衛(wèi)星主要用于地面雷達(dá)設(shè)備標(biāo)校和測量，為地面光學(xué)設(shè)備成像試驗和低軌空間環(huán)境探測監(jiān)視試驗提供支持，為大氣空間環(huán)境測量和軌道預(yù)報模型修正提供服務(wù).假設(shè)天平三號衛(wèi)星運動的軌道是以地球的球心為一個焦點的橢圓，已知地球的直徑約為1.3萬千米，衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，運動至遠(yuǎn)地點距離地球表面高度約3.35萬千米，求天平三號衛(wèi)星運行的軌跡方程可為( )
A.B.C.D.
6．如圖，在直三棱柱中，,,E,F分別為,的中點，則直線到平面的距離為( )
A.B.C.D.
7．若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則( )
A.B.C.D.1
8．設(shè)，過定點M的動直線和過定點N的動直線交于點，則的最大值是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．直線l的方向向量為，平面的法向量，則下列命題為真命題的是( )
A.若，則直線平面
B.若，則直線平面
C.若，則直線l與平面所成角的大小為
D.若，則直線l與平面所成角的大小為
10．已知圓，直線，則( )
A.當(dāng)時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1
B.圓C與圓恰有三條公切線
C.直線l恒過定點
D.直線l與圓C有兩個交點
11．已知方程表示的曲線為E，則( )
A.當(dāng)時，曲線E為焦點在x軸上的橢圓
B.當(dāng)時，曲線E為焦點在x軸上的橢圓
C.當(dāng)時，曲線E為焦點在y軸上的雙曲線
D.當(dāng)時，曲線E為焦點在y軸上的雙曲線
三、填空題
12．過拋物線的焦點F的直線交于A,B兩點，則拋物線的方程為____.
13．如圖，已知E、F分別是四面體的棱、的中點，點G在線段上，且，設(shè)向量，，，則____.（用表示）
14．已知點,，若圓上存在點P滿足，則實數(shù)m的取值范圍是____.
四、解答題
15．2024年7月11日是鄭和下西洋620周年紀(jì)念日，也是第20個中國航海日.設(shè)立“航海日”對于我國開發(fā)海洋、維護(hù)海權(quán)、加強(qiáng)海防、實現(xiàn)建設(shè)航天強(qiáng)國和海洋強(qiáng)國的目的，有著十分深遠(yuǎn)的戰(zhàn)略意義.在某次任務(wù)中，為了保證南沙群島附近海域航行的安全，我國航海部門在南沙群島的中心島嶼O正西與正北兩個方向，分別設(shè)立了觀測站A,B，它們與南沙群島中心島嶼O的距離分別為15海里和海里.某時段，為了檢測觀察的實際范圍（即安全預(yù)警區(qū)），派出一艘觀察船M，始終要求巡視行駛過程中觀察船M的位置到觀測站A的距離與南沙群島中心島嶼O的距離之商為4.
(1)求小船M的運動軌跡方程；
(2)為了探查更遠(yuǎn)的范圍，航海部門又安排一艘巡艇，從觀測站A出發(fā)，往觀測站B方向直線行駛，規(guī)定巡艇不進(jìn)入預(yù)警區(qū)，求a的取值范圍.
16．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.
(1)若焦距為，點P的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，且長軸長為，的面積為，求b的值.
17．如圖，已知在四棱錐中，平面平面，在四邊形ABCD中，，，在中，,，點E是棱上靠近S端的三等分點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知點N的坐標(biāo)為，過點N的直線l與拋物線C：交于A,B兩點，且，連接，直線l斜率與直線的斜率之積為-2.
(1)求p的值；
(2)若線段的垂直平分線與拋物線C交于E，F(xiàn)兩點，求的面積.
19．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，與x軸分別交于點A，B，它的一條漸近線的斜率為，且右焦點到該漸近線的距離為.
(1)求雙曲線M的方程；
(2)若過的直線與曲線M交于C，D兩點（C，D不與兩個頂點重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值.
(3)若動點H在曲線M的左支上，定點，點P為圓上一動點，則求的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：由題可知，直線l過原點與直線垂直，
則直線l的斜率為，
所以直線l的方程為=0，
故其中一個方向向量.
故選：D
2．答案：C
解析：因為，可得，解得
故選：C.
3．答案：B
解析：由題可知，
所以.
故選：B.
4．答案：D
解析：根據(jù)題意，直線的斜率為，由此得，
又因為，所以結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，可得.
故選：D
5．答案：A
解析：根據(jù)橢圓的定義，設(shè)長軸長為2a，焦距為2c，
由題可知，，即萬千米，
因為天平三號衛(wèi)星，運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，地球半徑為0.65萬千米，
則，可得萬千米，因此，
所以橢圓的方程為.
故選：A.
6．答案：B
解析：在直三棱柱中，，
如圖所示，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，E、F分別為,的中點，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，取，則，，
所以是平面的一個法向量，
又因為，
所以點F到平面的距離為.
因為在直三棱柱中，E,F分別為,的中點，
則且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
則點F到平面的距離即為直線到平面的距離.
故選：B.
7．答案：A
解析：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，
所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）.
所以.
故選：A.
8．答案：B
解析：對于動直線可知其過定點，
動直線，即，可知其過定點，
且，因此兩條動直線相互垂直，
可知點Q的軌跡是以為直徑的圓，且，
則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，所以的最大值為.
故選：B.
9．答案：BD
解析：對于A，若，則直線平面或直線平面，A錯；
對于B，若，則直線平面，B對；
對于C，若，可知直線l與平面所成角的正弦值為，
則直線l與平面所成角的大小為，C錯；
對于D，若，則，
可知直線l與平面所成角的正弦值為，
則平行直線l與平面所成角的大小為，D對.
故選：BD.
10．答案：BCD
解析：對于A，當(dāng)時，直線，
圓心到直線的距離為，
而圓C半徑為6，因此只有4個點到直線l的距離等于1，故A錯誤；
對于B，圓的方程化為，
其圓心為，半徑為4，
兩圓的圓心距為，
兩圓外切，因此它們有三條公切線，故B正確；
對于C，直線l的方程為，
由，，直線l恒過定點，故C正確；
對于D，，即定點在圓C內(nèi)，
則直線l與圓C相交且有兩個交點，故D正確；
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：對于A，根據(jù)題意知，可化為，
當(dāng)時，則，曲線E為焦點在x軸上的橢圓，故A正確；
對于B，根據(jù)題意知可化為，
當(dāng)時，，曲線E為焦點在y軸上的橢圓，故B錯誤；
對于C，根據(jù)題意知可化為，
當(dāng)時，則，曲線E為焦點在y軸上的雙曲線，故C正確；
對于D，根據(jù)題意知可化為，
當(dāng)時，則1，曲線E為焦點在y軸上的雙曲線，故D正確.
故選：ACD
12．答案：.
解析：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以,，，故拋物線的方程為.
故答案為：
13．答案：.
解析：因為E、F分別是棱、的中點，且，
所以
.
故答案為：.
14．答案：
解析：由題意可知：圓的圓心為，
半徑，設(shè)，則，，
因為，整理可得，
即點P在以為圓心，半徑的圓上，
可知兩圓有公共點，則，即，
整理可得，解得或，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)根據(jù)已知條件設(shè)以O(shè)為坐標(biāo)原點，,為x,y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件設(shè)且,，
由有
，
；
，
即，
整理得，它是以為圓心，4為半徑的圓.
所以小船M的運動的軌跡方程為：.
(2)由(1)可知，過的直線不過坐標(biāo)原點且不與坐標(biāo)軸垂直，
所以直線截距式方程為
化為一般式方程為，
根據(jù)題意，，解得，
所以綜上可知a的取值范圍為.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)已知，因為，所以，
點在橢圓上，將其代入橢圓的，
可得，即①，
又因為，即②，
聯(lián)立①②，整理得，解得或，
因為，所以，
所以，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)因為，所以的面積，
則，
因為長軸長為，即，
根據(jù)橢圓的定義得，
所以，即③，
由余弦定理可得，
整理得④，
聯(lián)立③④得：，即，
則，所以，
在橢圓中有，即，
解得.
17．答案：(1)證明見解析;
(2)
解析：(1)取中點O，連接，過O點作，交于點M，
由題可知，，，則，，且，
因為，即，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
在四邊形中，，則，
且，則，
以點O為坐標(biāo)原點，,,分別為x,y,z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,,,,，
可得，且點E是棱上靠近S端的三等分點，
則，可知.
且,，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則,，可得.
又因為，則，
可得，且平面，所以平面.
(2)由(1)易知,，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則,，可得.
設(shè)平面與平面夾角的為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18．答案：(1);
(2)27
解析：(1)設(shè),，直線l斜率為k，
由題可知：點,，
則直線的斜率為：；
因為直線l斜率與直線的斜率之積為-2，
則，解得，
又因為點，過點N的直線l與拋物線C交于A,B兩點，
故直線l的方程為，即，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，可得,，
因為，則，
整理可得，即，解得.
(2)由題可知，直線垂直平分線段AB，
設(shè)線段AB的中點為，直線的斜率為，
由(1)知，則，即，
且，所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程，消去y可得，
可得，
設(shè),，則,，
所以，
且點O到直線的距離為，
所以的面積為.
19．答案：(1).
(2)證明見解析;
(3)7
解析：(1)因為雙曲線M的一條漸近線的斜率為，
所以，，
則雙曲線M的一條漸近線的方程為，
因為，
所以右焦點到漸近線的距離為，
所以，則，，
所以雙曲線M的方程為.
(2)
依題意可知，A，B表示雙曲線M的兩個頂點，由(1)可知，，
設(shè)，.
因為C,D不與A,B重合，所以可設(shè)直線.
聯(lián)立消x得：，
故，，
所以，，，
所以.
(3)
由(1)可知，設(shè)，為曲線M的左右焦點，
圓Q半徑為，圓心，
，
，
(當(dāng)且僅當(dāng)H，Q，P共線且P在H，Q之間時取等號)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)H是線段與雙曲線的交點時取等號.
的最小值是7.