一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，則，
所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
2. 已知向量，滿(mǎn)足，，，則（ ）
A. 7B. C. D. 4
【答案】C
【解析】.
故選：C.
3. 在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，，那么這個(gè)三角形是（ ）
A. 等邊三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
當(dāng)時(shí)，∵，
∴，是直角三角形.
當(dāng)時(shí)，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形.
故選：D.
4. 已知向量，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量，，得，
由，得，
所以.
故選：B.
5. 如圖，是水平放置的的直觀(guān)圖，則的面積為（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】由直觀(guān)圖可得如下平面圖形，其中，，
所以.
故選：C.
6. 已知，，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，得，
因此，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故選：A.
7. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，
為半徑的圓上，
表示上述圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以.
故選：D.
8. 正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，，是該正五角星的中心，則（ ）
A. B. 32C. D. 64
【答案】A
【解析】作，垂足，如下圖所示：
則為的中點(diǎn)，
故
.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 兩個(gè)非零向量，，若，則與共線(xiàn)且反向
C. 若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
D. 若是三角形的重心，則
【答案】BD
【解析】若可滿(mǎn)足“，”，但不一定成立，A錯(cuò)；
根據(jù)向量減法幾何意義，當(dāng)，則與共線(xiàn)且反向，B對(duì)；
若可滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足存在唯一實(shí)數(shù)使得，C錯(cuò)；
如圖所示：
，D對(duì)．
故選：BD．
10. 如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底面邊長(zhǎng)和上面正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為10cm，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. 該幾何體的高為
B. 該幾何體的表面積為
C. 該幾何體的體積為
D. 一只小螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的最短路程為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，正四棱錐底面半徑，
高，因此該幾何體的高為，A正確；
對(duì)于B，幾何體的表面積為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，該幾何體的體積為，C正確；
對(duì)于D，觀(guān)察圖形知，小螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)的最短路徑為沿表面越過(guò)棱或，
由對(duì)稱(chēng)性，不妨取長(zhǎng)方形及正，將它們置于同一平面內(nèi)，連接，如圖，
取中點(diǎn)，連接，則，而，
所以最短路程為，D正確.
故選：ACD.
11. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 面積的最大值為
C. 若為邊的中點(diǎn)，則的最大值為3
D. 若為銳角三角形，則其周長(zhǎng)的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由題意可知，
利用余弦定理得，，因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)于B，由上述可知，的面積，
且易知，解出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在和中，對(duì)和利用余弦定理，，化簡(jiǎn)后有，
由B知，的最大值為12，因此最大為3，故C正確；
對(duì)于D，利用正弦定理，，則，
于是的周長(zhǎng)，
由于是銳角三角形，因此即解出，
則，則，則，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)的虛部為.
13. 已知向量、滿(mǎn)足，，且，則與的夾角為_(kāi)_______.
【答案】.
【解析】∵；
∴＝0；
∴；
∵與夾角的取值范圍為[0，π]，
∴的夾角為．
14. 如圖1，這是清風(fēng)樓，位于河北省邢臺(tái)市，始建于唐、宋年間，是邢臺(tái)市地標(biāo)性建筑之一，也是邢臺(tái)歷史人文的一個(gè)縮影．某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量清風(fēng)樓的高度，在與樓底位于同一水平面上共線(xiàn)的，，三處進(jìn)行測(cè)量，如圖2．已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，米，則清風(fēng)樓的高度______．
【答案】米
【解析】依題意，，，，設(shè)米，
在中，米，
在中，米，
在中，米，
在中，由余弦定理得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
即，即，
因此，而，解得，
所以清風(fēng)樓的高度為米.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù).
（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中，，求的值．
解：（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得.
（2）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則也是方程的根，所以，
所以.
16. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
解：（1）在中，由，
得，
整理得，而，解得，而，
所以.
（2）依題意，，而，解得，
由余弦定理得，即，則，
于是，解得，所以的周長(zhǎng)為.
17. 陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成（如圖）.已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上.
（1）若圓柱的高為，求該陀螺的體積及表面積；
（2）規(guī)定陀螺圓錐的頂點(diǎn)S到圓柱中離它遠(yuǎn)的底面距離為陀螺的高，要使陀螺的圓柱的側(cè)面積最大.此時(shí)陀螺的高是多少呢？
解：（1）令陀螺外接球半徑為，則，可得，
由題意，圓柱的矩形軸截面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，又圓柱的高為，
所以圓柱底面直徑，則底面半徑，
綜上，圓錐的高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，
所以陀螺的體積為，
陀螺表面積為.
（2）令圓柱的高為，由（1）知陀螺外接球半徑，
所以圓柱底面直徑為，圓錐的高為，
所以陀螺的高為，
由圓柱體側(cè)面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以陀螺的高是()時(shí)，圓柱體側(cè)面積最大.
18. 如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作.在此坐標(biāo)系中，若，分別是的中點(diǎn)，分別與交于兩點(diǎn).
（1）求：；
（2）求的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，求的最大值.
解：（1）依題意，得是單位向量，且?jiàn)A角為，
所以，
而，
，
則.
（2）因，
所以，，
所以，則四邊形是平行四邊形，
所以，
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，
所以，，
因?yàn)?br>，
則，
所以，.
（3）由（2）知，，
因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)，其中，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椴还簿€(xiàn)，則，解得，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值3.
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面的問(wèn)題：
（1）若是邊長(zhǎng)為的6等邊三角形，求該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和；
（2）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．
（i）若，求；
（ii）求最小值．
解：（1）由等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角均小于，得費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，
滿(mǎn)足，且，如圖：
過(guò)作于，則，，，
所以該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
則，即，得，則的三個(gè)角都小于，
由費(fèi)馬點(diǎn)定義知，，
設(shè)，，
由得：，
整理得，則
．
（ii）由（i）知，點(diǎn)在內(nèi)部，且，
設(shè)，，
則，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.

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