2023屆上海市青浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．直線a、b確定一個(gè)平面，則a、b的位置關(guān)系為 __．【答案】平行或相交【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€a，b確定一個(gè)平面，所以a，b的位置關(guān)系為平行或相交，故答案為：平行或相交2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則_______________.【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求得結(jié)果．【詳解】，，故答案為：．3．已知向量，，則在方向上的投影是_______________.【答案】【分析】根據(jù)向量投影的知識(shí)求得正確答案.【詳解】在方向上的投影是.故答案為：4．過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程為_______________.【答案】【分析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得出所求直線的方程.【詳解】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程可得，解得，故所求直線方程為.故答案為：.5．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】求函數(shù)的定義域求得集合，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于，所以，所以的取值范圍是.故答案為：6．已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為，則球的表面積為______．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為,根據(jù)圓柱的體積可求得，利用球的表面積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面直徑和高皆為，故圓柱的體積為，故球的表面積為 ，故答案為：7．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是_______________.【答案】【分析】根據(jù)圖像判斷出的關(guān)系，進(jìn)而求得不等式的解集.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像可知：，即，不等式可化為，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足， ，則________.【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，求出、、、，結(jié)合周期性可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，因?yàn)?/span>，即，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，則，在等式中，令，可得，所以，，因?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，所以，.故答案為：.9．如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測(cè)量?jī)缮巾?/span>間的距離.已知兩山的海拔高度分別是米和米，現(xiàn)選擇海平面上一點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，則等于_________米.【答案】【分析】先求得，再利用余弦定理求得.【詳解】，，在三角形中，由余弦定理得米.故答案為：10．已知數(shù)列滿足，若滿足且對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意數(shù)列的通項(xiàng)公式為，,滿足，且對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓C的離心率為________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，設(shè)可得，在中，用余弦定理可得到，繼而得到，即可求解【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，由，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，，設(shè)，則，，從而，故，在中，，所以，在中，，即，所以，所以，所以離心率，故答案為：12．已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則可取值的集合為________.【答案】【分析】題中函數(shù)為圓的一段劣弧，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，只需根據(jù)函數(shù)的定義考慮一個(gè)只有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，即圖形與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度符合題意.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖1所示：圓弧所在的圓方程為，，，在圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程所得的圖形均為函數(shù)的圖象，如圖2所示：此時(shí)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度為；若函數(shù)圖象在圖2位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形不是函數(shù)的圖象，如圖3所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，不滿足題意；若函數(shù)的圖象在圖3位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)整個(gè)圖象都在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形是函數(shù)的圖象，如圖4所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為；故答案為：. 二、單選題13．設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（   ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)基底的知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，不共線，A選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.B選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.C選項(xiàng)，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項(xiàng)，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C14．已知為正整數(shù)，則“是3的倍數(shù)”是“的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（   ）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式以及充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以，若的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則是的倍數(shù).所以“是3的倍數(shù)”是“的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的充要條件.故選：C15．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）4235銷售額（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為A．63.6萬(wàn)元 B．65.5萬(wàn)元 C．67.7萬(wàn)元 D．72.0萬(wàn)元【答案】B【詳解】試題分析：，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為9．4×6+9．1=65．5【解析】線性回歸方程 16．已知數(shù)列滿足，存在正偶數(shù)使得，且對(duì)任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用累加法求出，對(duì)分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合能成立與恒成立的處理方法求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，易得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，又當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，存在，即，所以，此時(shí)有，所以，又對(duì)于任意的正奇數(shù)，，即，所以或恒成立，所以或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D． 三、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱軸方程(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先利用倍角公式及輔助角公式變形化簡(jiǎn)，然后利用周期公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）通過(guò)的范圍求出的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，則在上的值域可求.【詳解】（1）由已知則函數(shù)的最小正周期為，令，得，即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為；（2）由（1），，，，，即在上的值域?yàn)?/span>.18．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，為側(cè)棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)徐，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，且，則，因?yàn)樵谥比庵?/span>中，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，因?yàn)?/span>，、平面，故平面.（2）解：因?yàn)?/span>平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，，則，因此，二面角的正弦值為.19．在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電舌訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)(3)分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的知識(shí)求得.（2）根據(jù)古典概型的知識(shí)求得所求概率.（3）根據(jù)超幾何分布的的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）.，解得.（2）已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為.（3）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生比例為，所以在的學(xué)生中抽取人，在的學(xué)生中抽取人.再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)的取值為，，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望.20．如圖，已知是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，且直線分別與拋物線相切，為拋物線的焦點(diǎn)．(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用表示線段的長(zhǎng)；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)證明：直線與拋物線相切．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)詳解 【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義將的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即可；（2）設(shè)與直線，根據(jù)直線直線分別與拋物線相切，可將直線與拋物線方程聯(lián)立得到判別式為0，進(jìn)而得出的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理與可得即可求解；（3）根據(jù)題設(shè)，直線分別與拋物線相切，可將直線分別與拋物線聯(lián)立得到等量關(guān)系，要證明直線與拋物線相切，最后再將直線與拋物線聯(lián)立證明判別式為0即可．【詳解】（1）設(shè)，且在拋物線上，故滿足為拋物線的焦點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線為 ，線段的長(zhǎng)等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即．（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，直線與拋物線相切，，即 ①，又直線均與拋物線相切，為方程①的兩根，且有，，，解得，將代入得：，故的坐標(biāo)為．（3）設(shè)，，，，直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得：，又直線與拋物線相切，，即 ②，同理，直線與拋物線相切，可得③，由方程②③可得，為方程的兩根，，，又，，故直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，，直線與拋物線相切，故得證．21．設(shè)是定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)已知在區(qū)間上嚴(yán)格增，且對(duì)任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；(2)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合（1），利用極值的定義進(jìn)行求解即可；（3）利用題目條件，代入，分情況進(jìn)行討論即可證明.【詳解】（1）不妨設(shè)，在區(qū)間上嚴(yán)格增，對(duì)任意，有，又，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）由（1）可知：在區(qū)間上嚴(yán)格增時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增，當(dāng)在區(qū)間上嚴(yán)格減時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也取得極值，可得，當(dāng)時(shí)，，在左右附近兩側(cè)異號(hào)，滿足條件，所以.（3）當(dāng)時(shí)，由條件知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，即，又的值域是，，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，，又的值域是，，綜上可知，任意，. 

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