一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 函數(shù)的定義域為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，解得且，所以函數(shù)的定義域為.
故選：B.
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命題“”的否定是“”.
故選：D.
3. 對數(shù)與互為相反數(shù)，則有（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因為對數(shù)與互為相反數(shù)，可得，即，
所以.
故選：C.
4. 下面四個條件中，使成立的一個必要不充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】對于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故滿足題意；
對于B，“”不能推出“”，故選項B不是“”的必要條件，不滿足題意；
對于C，“”不能推出“”，故選項B不是“”的必要條件，不滿足題意；
對于D，“”不能推出“”，故選項C不是“”的必要條件，不滿足題意.
故選：A.
5. 已知函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)的圖象如下圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由圖可知，由表格可知．
故選：B.
6. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】D
【解析】因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為3.
故選：D.
7. 一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知可知，所以要一元二次不等式對一切實數(shù)恒成立，
則，即，解得，
所以的取值范圍為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，，的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函數(shù)解析式可知三個函數(shù)在定義域上均為單調(diào)遞增函數(shù).
∵，，故，
∵，，故，
，故，∴.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 與表示同一個函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】定義域為，且.
對于A：，定義域也為，故A正確；
對于B：的定義域為，定義域不一樣，故B錯誤；
對于C：，定義域與解析式都相同，故C正確；
對于D：的定義域為，定義域不一樣，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知，則滿足的關(guān)系式有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因為，
所以.
觀察可得，.
故選：AD.
11. 設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，.則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A.
B. 在R上單調(diào)遞增
C. 對任意，，都有
D. 對于任意實數(shù)x，y，是成立的充分不必要條件
【答案】ACD
【解析】對于A，因為表示不超過x的最大整數(shù)，
所以，則，即，故A正確；
對于B，由，，故B錯誤；
對于C，對任意，，
不妨令，則，所以，
此時，故C正確；
對于D，當(dāng)時，即，設(shè)r，q分別為x，y的小數(shù)部分，
可得，，
則；
當(dāng)時，取，，
可得，，此時不滿足，
故是成立的充分不必要條件，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 根式寫成指數(shù)冪形式為_________．
【答案】
【解析】.
13. 冪函數(shù)y=fx的圖像經(jīng)過點，則的值為______.
【答案】2
【解析】設(shè)冪函數(shù)，將代入，可得：，
所以，所以.
14. 已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的定義域是___________，值域是___________.
【答案】
【解析】由函數(shù)圖像可知，函數(shù)的定義域為，值域為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，，.
（1）求，；
（2）若集合，是否存在實數(shù)a，使得？若存在，試求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.
解：（1），，，
，，
，.
（2）存在或5，理由如下，
，
若存在實數(shù)a，使得，則，
因為，所以或5.
16. 已知函數(shù)經(jīng)過，兩點.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進行證明；
（3）當(dāng)時，，求實數(shù)m的最小值.
解：（1），，
，解得，.
（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：
任取，，且，
則，
，，且，，，，
，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上的最大值為，
由知，，
所以m的最小值為.
17. 某地區(qū)在政策指導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂?土質(zhì)等條件，推廣種植某種市場暢銷水果果樹.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)該果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施肥量（單位：千克）滿足函數(shù)關(guān)系：，且單株果樹的肥料成本投入為元，其他成本投入（如培育管理?施肥人工費等費用）為元.已知這種水果的市場售價為21元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該果樹的單株利潤為（單位：元）.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)單株施肥量為多少千克時，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
解：（1）根據(jù)題意知
，
整理得.
（2）當(dāng)時，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在時，取得最大值，
當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
，的最大值是，
當(dāng)單株施肥量為5千克時，該果樹的單株利潤最大，最大利潤是325元.
18. 設(shè)函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并討論函數(shù)的單調(diào)性（不需證明單調(diào)性）；
（2）求證：；
（3）若在區(qū)間上的最小值為，求t的值.
解：（1）由題意可知，的定義域為R，定義域關(guān)于原點對稱
又，所以為奇函數(shù)；
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以，在上單調(diào)遞增.
（2），
.
（3）由
，
令，由，則，
又，
則令，對稱軸，
當(dāng)，即時，
，解得；
當(dāng)，即時，
，解得，
又，因此不符合題意，舍去，
當(dāng)，即時，
，解得，綜上知，.
19. 已知有限實數(shù)集，若，則稱A為“和積平衡集”.
（1）分別判斷集合、集合是否為“和積平衡集”；
（2）已知集合M為“和積平衡集”，且，請用列舉法表示集合M（不需要說明理由）；
（3）已知實數(shù)，若集合為“和積平衡集”，是否存在實數(shù)z滿足，并且使得為“和積平衡集”？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)，若不存在，請說明理由.
解：（1），集合P不是“和積平衡集”，
，
集合Q是“和積平衡集”.
（2）根據(jù)“和積平衡集”的定義可知，，
所以符合題意的集合.
（3）若存在符合題意的實數(shù)z，則，
，即，解得或或，
當(dāng)時，則，，不符合題意.
當(dāng)時，，，
由此可得是方程的實數(shù)解.
但此時，方程無實數(shù)解，所以不符合題意.
同理，當(dāng)時，不符合題意，綜上，不存在符合題意的實數(shù).0

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