一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 直線的斜率等于（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】由直線的斜截式可知的斜率為.
故選：C
2. 若雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
【答案】A
【解析】由題意得,,解得.又，則.
???????故選:A.
3. 若空間向量，則與的夾角的余弦值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意，得.故選:C.
4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn.若，則其公差為（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由，
所以，又，，解得.
故選：D.
5. 如圖，在平行六面體中，記，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由題意可得：.
故選：A.
6. 人們發(fā)現(xiàn)，任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，必會(huì)得到1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：對(duì)于數(shù)列為正整數(shù)），若，則所有可能的取值的和為（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 41
【答案】B
【解析】若，則由遞推關(guān)系只能有，，有或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以所有可能的取值為或，.
故選：B
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為,兩點(diǎn)在拋物線上，并滿足，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】由題意得，
當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，，不合要求，舍去，
當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，
，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
因?yàn)?，所以?br>又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故選：B
8. 在空間四邊形中，，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】依題意，，A正確；
顯然，即，
因此，B正確；
由，同理得，
于是，由，得，
由，得，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，
使，連接，取中點(diǎn)，連接，顯然四邊形為平行四邊形，
則，，
于是，即有，
則，
，而平面，則平面，又平面，
因此，，而為公共邊，所以≌，C正確；

顯然線段不一定相等，而，，
即直角三角形的兩條直角邊不一定相等，與不一定垂直，又，
所以不一定垂直，D錯(cuò)誤.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知數(shù)列an和是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 是等比數(shù)列
B. 一定不是等差數(shù)列
C. 是等比數(shù)列
D. 一定不是等比數(shù)列
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)列an的公比為，
則，
故，
所以是等比數(shù)列，A正確；
BD選項(xiàng)，設(shè)，滿足數(shù)列an和是等比數(shù)列，
所以，
故此時(shí)是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，BD錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)數(shù)列an的公比為，數(shù)列bn的公比為，
則，故是等比數(shù)列，C正確；
故選：AC
10. 已知且，曲線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓
B. 當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線
C. 當(dāng)時(shí)，曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 當(dāng)時(shí)，曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，若，則，
故曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；
對(duì)于B，若，則，，
故曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故B正確；
對(duì)于C，時(shí)，由A可得曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，時(shí)，由B可得曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
曲線，可化為曲線，
雙曲線的半焦距為，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.
故選:ABD.
11. 如圖，在四面體中，分別是的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. 平面
B.
C.
D. 若分別為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；
由A可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.
由題中條件得不到與垂直，所以也得不到與垂直，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
,故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以,
所以為的中點(diǎn)，故D正確.
故選:ACD.
12. 已知，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，有2個(gè)元素
C. 若有2個(gè)元素，則
D. 當(dāng)時(shí)，有4個(gè)元素
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，時(shí)，
表示圓心為，半徑為1的圓位于軸上方的部分（包括軸上的兩點(diǎn)），
由得或，
故，
表示圓心為，半徑為1的圓位于軸上方的部分（包括軸上的兩點(diǎn)），
由，解得或，
同理可得，故表示的部分如圖所示，

表示軸，故，A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于圓心到軸的距離等于2，大于1，
整個(gè)圓位于軸上方，
，由于圓心到軸距離等于2，大于1，整個(gè)圓位于軸下方，
故表示的部分如圖所示，

由于圓心到距離，
故直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，有2個(gè)元素，B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩圓圓心相同，半徑相等，
此時(shí)表示的部分如圖所示，

此時(shí)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，而，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，
，由于圓心到距離為，
，由于圓心到的距離為
，
畫出表示的部分如圖所示，

此時(shí)直線分別與兩圓交于兩點(diǎn)，共4個(gè)交點(diǎn)，
所以有4個(gè)元素，D正確.
故選：ABD
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 點(diǎn)到直線的距離為______．
【答案】1
【解析】點(diǎn)到直線的距離.
故答案為：
14. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率等于______.
【答案】
【解析】由橢圓定義可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得ca=33，故離心率為
故答案為：
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，的最小值是______.
【答案】4
【解析】由于，
故，
由，可得，
即，由于的值隨n的增大而增大，
且時(shí)，，時(shí)，，
故n的最小值為：4，
故答案為：4
16. 已知拋物線和.點(diǎn)在上（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線交于兩點(diǎn)，則的值為______.
【答案】
【解析】依題知直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線，，
聯(lián)立，得，則，
，
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，
則，得，
由，得，
故過點(diǎn)的切線方程為，即，
同理過點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立得，則點(diǎn)，
則，得，
設(shè)，
聯(lián)立，得，
，
，
.
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知圓經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
解：（1）設(shè)原點(diǎn)為，易知，
線段的中點(diǎn)為圓心，圓心坐標(biāo)為.
線段的長(zhǎng)為圓的直徑，，半徑.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
令，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
解得或，則，不符合題意.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
將其轉(zhuǎn)化為一般式方程，
圓心到直線的距離為，則，
得，
化簡(jiǎn)得或，即直線的方程為或.
18. 已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知成等差數(shù)列，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得：
，即，
，得，解得或.
由于不符合題意，因此.
由得，，即.所以.
（2）由題意得，，
則，
則，
則，
則，
.
19. 在長(zhǎng)方體中，.從①②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)解答該題.
①直線與平面所成角的正弦值為；
②平面與平面的夾角的余弦值為.
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）是線段（不含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，若平面平面，求的值.
解：（1）在長(zhǎng)方體中，易知兩兩垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量.
取，則.
若選擇條件①，，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
解得，或（舍去），即.
若選擇條件②，易知平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
解得，或（舍去），即.
（2）由題（1）得:.
設(shè)，則.
設(shè)平面的法向量
所以，即
取，則,又，
設(shè)平面的法向量.
令，則.
平面平面，
即，解得，所以.
20. 如圖，圓的半徑為4，是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)且是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
（1）求點(diǎn)的軌跡；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：直線與點(diǎn)形成的軌跡相切.
解：（1），
因?yàn)?，所以與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于），
由橢圓的定義得，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓；
（2）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)的直線為軸，
以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由橢圓的定義得：，即，即，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為和.
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，直線的斜率為，
直線的方程，聯(lián)立方程，得，
整理得，可得，
所以直線與點(diǎn)形成的軌跡只有1個(gè)交點(diǎn)，即直線與點(diǎn)形成的軌跡相切.
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，
直線的方程，
聯(lián)立方程，
得，
整理得，可得，
所以直線與點(diǎn)形成的軌跡只有1個(gè)交點(diǎn)，即直線與點(diǎn)形成的軌跡相切.
綜上，直線與點(diǎn)形成的軌跡相切.
21. 某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為的筆直公路，其中.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為，圓心到地面的距離為，其最高點(diǎn)為點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)與公路的距離為.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計(jì)算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計(jì)）
（1）如圖所示，甲位于摩天輪的點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
解：（1）如圖所示，設(shè)公路所在直線為，過點(diǎn)作的垂線，垂直為，m.
因?yàn)閳A的半徑為35m，圓心到地面的距離為40m，所以m.
從甲看乙的最大俯角與相等，由題意得，則.

（2）如圖所示，設(shè)甲位于圓上的點(diǎn)處，直線垂直于且交圓于點(diǎn)，射線可以看成是射線繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度得到.
過點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)向作垂線，垂足為.
當(dāng)取得最大值時(shí)，即為從乙看甲的最大仰角.
題意得：,
其中，表示點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的直線的斜率，
當(dāng)直線的斜率取得最小值時(shí)，取最大值.
因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，
所以當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，斜率取得最大值或最小值.
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，
由相切可得，解得，
則直線的斜率最小值為，代入可得取最大值是.
22. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率存在，分別記為.問：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，則求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）由已知得，故.
將代入方程，
得，
由得，.
因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，
則，則.
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的方程為，
則,,
則
.
聯(lián)立方程
可得，
因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，
所以，
即.
則.
故.
令，
整理得.
要使得對(duì)任意的上式恒成立，
則，
解得,
所以，當(dāng)時(shí)，.
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由①得，為定值的必要條件是，即直線過定點(diǎn)1,0，
此時(shí)直線的方程為，易知直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，不符合題意的要求.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，為定值6.

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