一、單選題
1. 直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題知：，
設(shè)直線的傾斜角為，
故，
所以傾斜角.
故選：C
2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】拋物線方程可轉(zhuǎn)化為：，
故焦點(diǎn)在軸正半軸，且，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：D.
3. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故選:C
4. 已知分別是空間四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題知：.
故選：D
5. 若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由方程可得，
所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.
故選：D.
6. 在正方體中，過作一垂直于的平面交平面于直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則直線與所成角余弦值的最大值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由正方體性質(zhì)可知，，，，
平面，平面，
易知平面，平面平面，
故動(dòng)點(diǎn)在直線上，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，并如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)兩直線所成角為，，
故，即，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.
故選：A
7. 已知等腰直角的斜邊分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)均在球的球面上，則球表面積的最小值為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由點(diǎn)均在球的球面上，且共圓（不與重合），
所以（不與重合），
又為等腰直角三角形，為斜邊，即有，
如上圖，△、△、△都為直角三角形，且，
由平面圖到立體圖知：，，
又面面，面面，面，
所以面，同理可得面，
將翻折后，的中點(diǎn)分別為△，四邊形外接圓圓心，
過作面，過作面，它們交于，即為外接球球心，如下圖示，
再過作面，交于，連接，則為矩形，
綜上，，，則為中點(diǎn)，
所以，而，，
令且，則，故，，
所以球半徑，
當(dāng)時(shí)，，故球表面積的最小值為.
故選：D
8. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，，
所以，
如圖所示，由余弦定理知：，
整理得，又，
解得：離心率.
故選：B.
二、多選題
9. 對(duì)于兩條不同直線和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則或
C. 若，則或
D. 若，則或
【答案】AD
【解析】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，
則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；
若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯(cuò)；
若，則或或相交，C錯(cuò)誤；
若，則或，D正確.
故選：AD
10. 已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（ ）
A. 圓和圓有兩條公切線
B. 直線的方程為
C. 圓上存在兩點(diǎn)和使得
D. 圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；
對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，
即得公共弦的方程為，
故B正確；
對(duì)于C，直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.
故選：ABD.
11. 兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個(gè)不過圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線
B. 若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓
C. 若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線
D. 若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線
【答案】BD
【解析】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，
∴在平面內(nèi)，P到距離與P到直線的距離相等，又，
∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯(cuò)誤；
B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，
同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，
∴P的軌跡為橢圓，正確；
C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，
∴時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，
而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤；
D：同C分析：時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，
而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.
故選：BD.
12. 如圖，直平面六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是四邊形（包括邊界）內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 過點(diǎn)的截面是直角梯形
B. 若直線面，則直線的最小值為
C. 存在點(diǎn)使得直線面
D. 點(diǎn)到面的距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，過點(diǎn)的截面即為平面，建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，故，，
故，故，所以四邊形直角梯形，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，如圖分別為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
所以平行且等于，，
又平行且等于，
所以平行且等于，即四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平行且等于，平行且等于，
所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，面?br>故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
易知，故，
故，故的最小值即為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，故，
令，則，故，設(shè)，而，
故，要使得面，故，
解得：，因點(diǎn)在四邊形（包括邊界）內(nèi)，
故須滿足且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故，
故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.
三、填空題
13. 經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
【答案】
【解析】雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)方程為，
將代入可得，
即，
故方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
14. 設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且,則_____.
【答案】
【解析】由題意可得和均為等差數(shù)列,
所以.
故答案為:
15. 已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)______.
【答案】
【解析】由拋物線的對(duì)稱性，如圖，不妨設(shè)交點(diǎn)為，
且滿足，則切線斜率，
故由題知：，故解得：，
代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.
16. 正三棱錐，,點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn),分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.
【答案】
【解析】如圖所示，過點(diǎn)作于，則，
中，，故，
，
設(shè)，，則，
故，所以，
，，故，
故，
故，
而
，（），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以；
故答案為：.
四、解答題
17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）若，求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.
由得：，解得（舍去），，于是.
（2）由得，解得或.
當(dāng)時(shí)，由得，∴；
當(dāng)時(shí)，由得，∴，
綜上所述，故或21.
18. 已知圓過點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在直線上.
（1）求圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.
解：（1）設(shè)圓的方程為，則，
解得，
所以圓的方程為：，
圓心為，半徑為；
（2）由（1）知，圓心到直線的距離為，
于是當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，
即，令，
解得，直線方程是，
綜上所述，直線的方程是：或.
19. 如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線和平面所成的角的正弦值.
解：（1）設(shè)為中點(diǎn)，由題意得平面，所以.
因?yàn)?，所?所以平面.
由，分別為的中點(diǎn)，得且，從而且，所以是平行四邊形，所以.
因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）作，垂足為，連結(jié).
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)椋云矫?
所以平面.
所以為直線與平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
20. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為4，軸于點(diǎn)，且.
（1）求的值；
（2）已知點(diǎn)，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且滿足.證明：直線恒過定點(diǎn).
解：（1）顯然點(diǎn)，
由拋物線定義可知，，解得，
所以拋物線方程為：；
（2）點(diǎn)在拋物線上，設(shè)直線，
點(diǎn)，
聯(lián)立，得，
在下，，
所以
，
整理，得，將代入直線，得，
即，所以直線恒過定點(diǎn).
21. 在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面平面.

（1）證明：；
（2）若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值的最小值.
解：（1）取中點(diǎn)，連接，
由題可知正和，， ，
又∵，平面，∴平面，又平面，
∴；
（2）因?yàn)閭?cè)面平面，側(cè)面平面?zhèn)让?，故平?
分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，
，
設(shè)，
∴
，
∴，
又，設(shè)面的法向量是，
則，
令，則，
又，設(shè)面的法向量是，
則，令，則，
設(shè)平面與平面夾角為，
故，
因?yàn)椋_口向上，且對(duì)稱軸為，
故的最小值為，則，
所以平面與平面夾角的正弦值的最小值為.
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）因?yàn)?，所以，于?
設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，橢圓方程為，，=
①當(dāng)，即時(shí)，（此時(shí)舍去；
②當(dāng)即時(shí)，
綜上橢圓C的方程為．
（2）圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，
所以的面積為
點(diǎn),
當(dāng)時(shí)，由得
綜上所述，橢圓上存在四個(gè)點(diǎn)、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大，且最大值為.

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