一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）
1. 直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，
由，得，
所以.
故選：B.
2. 雙曲線的焦距為（ ）．
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，，因?yàn)?，所以?br>所以雙曲線的焦距是4.
故選D．
3. 已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A. 10B. 3C. D.
【答案】C
【解析】由題得，
所以到平面的距離為，
故選：C.
4. 已知圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 相離B. 相交C. 外切D. 內(nèi)切
【答案】C
【解析】圓圓心為，半徑，
圓圓心，半徑，
則，
圓心距，
因?yàn)椋?br>所以兩圓位置關(guān)系為外切.
故選：C.
5. 已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且的一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，
則，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)榈囊粋€(gè)方向向量為，
所以直線方程為，即，
故選：C.
6. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，當(dāng)點(diǎn)到漸近線的距離為時(shí)，該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題設(shè)可得雙曲線漸近線為，且，
所以，即，又，所以，
所以.
故選：D
7. 已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)闄E圓，即，
所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)，
又圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)得，
，
因?yàn)椋倪呅蔚拿娣e，
即，
設(shè)Mx,y，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
將代入到中得
，
對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，
所以，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故選：B.
8. 在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，
所以，
，所以，
所以，所以，
所以，
，
設(shè)與所成角為，則，
整理得，所以外接球的表面積為.
故選：A
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面
B. 直線的方向向量，平面的法向量，則
C. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則到的距離為
D. 若，則為鈍角
【答案】AC
【解析】A：對(duì)于空間向量，若，
空間中任意兩個(gè)向量均是共面的，即、均共面，
所以一定共面，故A對(duì)；
B：因?yàn)椋?所以與不平行，
故不成立，故B錯(cuò)；
C：由題設(shè)，，
則直線上的單位方向向量為，
故，
所以到直線的距離，故C對(duì)；
D：當(dāng)反向共線時(shí)，也有，但此時(shí)不是鈍角，故D錯(cuò).
故選：AC
10. 已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)直線與直線平行時(shí)，
B. 當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，
C. 當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線恒過點(diǎn)
D. 直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4
【答案】ACD
【解析】A：由題意，，則，對(duì)；
B：由題意，，則，錯(cuò)；
C：直線可化為，聯(lián)立，直線恒過點(diǎn)，對(duì)；
D：由題意，直線與負(fù)半軸均有交點(diǎn)，
令，則，令，則，易知，
所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4，對(duì).故選：ACD
11. 如圖，在長方體中，，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，（ ）
A. 在底面上的軌跡是一條直線
B. 三棱錐的體積是定值
C. 若角是直線和平面所成角，則的最大值是
D. 不存在點(diǎn)，使得
【答案】ABC
【解析】A：在上取，連接并延長交延長線于，
在和中，且，
所以，則，
所以，由長方體性質(zhì)易得，而都在面內(nèi)，
所以面，面，故，
根據(jù)題設(shè)，易知，，同理可證，
由且都在面內(nèi)，所以面，
即面，又面面，由，
只需在直線，即在底面上的軌跡是一條直線，對(duì)；
B：由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：面，即面，
所以到面的距離恒定不變，即三棱錐的體積是定值，對(duì)；
C：由面，易知是直線和平面所成角的平面角，
所以，要使該值最大，只需最小，顯然當(dāng)時(shí)最小，
而，，且，
所以，則，則，，故，對(duì)；
D：由面，面，則，若存在，使，又且都在面內(nèi)，此時(shí)面，面，只需，顯然，在面上以為直徑的圓與的交點(diǎn)作為點(diǎn)，滿足，故存在點(diǎn)，使得，錯(cuò).
故選：ABC
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 向量與共線，且方向相同，則__________.
【答案】14
【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線，且方向相同，
所以，則，
得到，解得，，
所以，
故答案為：.
13. 設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且,則的面積等于__________.
【答案】24
【解析】由題設(shè)，令且m>0，則，
即，
所以，而，
則，
所以為直角三角形，且，
故其面積為.
故答案為：
14. 圓和圓錐曲線的關(guān)系十分密切，它們有很多相似的結(jié)論.例如，過圓上任意不同兩點(diǎn)作圓的切線，如果切線垂直且相交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓.在橢圓中也有類似的結(jié)論.已知橢圓，過橢圓上任意不同兩點(diǎn)作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是__________.
【答案】
【解析】設(shè)，
若切線的斜率存在且不為0，則過點(diǎn)的切線方程為
，
聯(lián)立方程，
消去y可得，
則，
整理可得，
由題意可知：關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則且，
整理可得；
若切線的斜率不存在或?yàn)?，則點(diǎn)為，滿足；
綜上所述：，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：.
四?解答題（本題共5小題；其中第15小題13分，第16小題15分，第17小題15分，第18小題17分，第19小題17分；共77分）
15. 如圖，在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，為棱（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，設(shè).
（1）用表示；
（2）求的長.
解：（1）連接，
，
則；
（2）由（1）可得，所以
，
因?yàn)槭钦拿骟w，，故夾角均為，
所以，
，所以，即的長為.
16. 在坐標(biāo)平面上有兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.
解：（1）設(shè)Px,y，因?yàn)?，所以?br>平方并整理得，即；
（2）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，
設(shè)，
聯(lián)立，得，
所以，得，
，
所以或，又，則.
17. 如圖，在四棱錐中，平面平面，且，.
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè).若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角夾角余弦值的大小.
解：（1）在四棱錐中，面面，面，面面，
所以面，
又面，
所以面面.
（2）以A為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由，則，
設(shè)，則，所以，
設(shè)面的法向量為n=x,y,z，則，取，
則，
所以，即，
化簡得，解得或（舍），所以，，
設(shè)平面的法向量，且，，
則，取，則，
設(shè)二面角的夾角大小為，則，
所以二面角的夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓焦距為2，離心率e是
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，其中在軸的上方，且在的右側(cè)，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.
①若弦的斜率均存在，求四邊形面積的最小值；
②判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
解：（1）依題意有，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）①設(shè)，則
聯(lián)立，，
由弦長公式可得：
同理可得：，
所以
令，
則
當(dāng)?shù)淖钚≈凳牵?br>②
，由代替m，得，
當(dāng)，即時(shí)，，過點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證直線過點(diǎn)，
綜上，直線恒過點(diǎn).
19. 人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有種.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）若，求之間曼哈頓距離和余弦距離；
（2）若點(diǎn)，求的最大值；
（3）已知點(diǎn)是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）由題可得，
，
；
（2）設(shè)，由題意得：，
即，而表示的圖形是正方形，

其中.
即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，，
可知：當(dāng)最大時(shí)，取到最小值，
相應(yīng)的有最大值，
①點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則，
可得；
②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，取，
則，
因?yàn)?，所以的最大值為?br>（3）易知，設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，
由分段函數(shù)性質(zhì)可知，
又且恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
綜上，滿足條件的直線有且只有兩條，和.

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