考生須知：
1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€，即
所以，且
所以
故選:D.
2. 已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】設(shè)直線的方向向量，直線的方向向量，
由于，所以，因此可得：，解得：.
故選：A
3. 若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，
所以，即，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A.
4. 空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的空間四邊形

由圖可知
故選：B
5. 已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓心為，
由題意得，即，
解得，故圓心，
半徑為，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C
6. 方程表示橢圓的充要條件是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】方程表示橢圓，則，解得，且，
反之，當(dāng)，且時(shí)，方程表示橢圓，
所以方程表示橢圓的充要條件是或.
故選：D
7. 如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線與直線垂直
B. 三棱錐的體積為
C. 直線與平面平行
D. 直線與平面所成的角為
【答案】C
【解析】在棱長(zhǎng)為的正方體中，建立為原點(diǎn)，以，，所在的直線為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
因?yàn)?，，分別為、、的中點(diǎn)，
則A1,0,0，，，，，；
對(duì)于A選項(xiàng)，，，由于，
因此直線與直線不垂直，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)橹本€在平面外，
所以直線與平面平行，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)直線與平面所成的角為，
，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
又因?yàn)樵谡襟w中，底面，
所以，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
8. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)F1Q的延長(zhǎng)線交F2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則由題意知
∵
∴
由題意知OQ是△F1F2M的中位線,∴
∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓
∴當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，Q與短軸端點(diǎn)取最近距離
故選：C．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0,0，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B. 向量與的夾角的余弦值為
C. 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 直線的一個(gè)方向向量
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于，，根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式可得：
.故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，設(shè)向量與向量的夾角為，
則，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，易知，由于，得：，因此是直線的一個(gè)方向向量，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
10. 已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 的一個(gè)方向向量為
B. 在軸上的截距等于
C. 與直線垂直
D. 點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離是1
【答案】BCD
【解析】由題意得直線的斜率，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以直線方程為，化簡(jiǎn)得；
對(duì)于A，直線的一個(gè)方向向量為，則與不平行，
所以不是直線的方向向量，故A不正確；
對(duì)于B，令，則，解得，
所以直線在軸上的截距等于，故B正確；
對(duì)于C，直線的斜率為，因?yàn)?，所以直線與直線垂直，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離是1，故D正確；
故選：BCD.
11. 已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則
B. 的最小值為
C. 若、、、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則
D. 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過(guò)直線與圓的交點(diǎn)
【答案】AD
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
對(duì)于A選項(xiàng)，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過(guò)圓心，則，解得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，直線的方程可化為，
由得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，
則，
當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，且最大值為，
因?yàn)?，則，
則，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若、、、四點(diǎn)共圓，
設(shè)此圓為圓，圓的圓心，
的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，所以，
圓的方程為，整理為，
直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得
所以直線的方程是，
將直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，得，
所以直線，即直線的斜率為，即，則，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線，
曲線，即，
所以曲線為過(guò)直線與圓交點(diǎn)的曲線方程，D對(duì).
故選：AD.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率是________.
【答案】
【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以，
因?yàn)?，，所以，，所以離心率，
故答案為：.
13. 直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】聯(lián)立，解得，所以是直線和直線的交點(diǎn)，
取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，所以，
所以直線的方程為，
即直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程為；
故答案為：.
14. 已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】等式可化為，
令，整理可得，
所以，直線與圓有公共點(diǎn)，
且圓心為，半徑為，
則，整理可得，
解得或，因此，的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或測(cè)算步驟.
15. 求經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：
（1）與直線平行；
（2）與直線垂直.
解：（1）由，解得，即點(diǎn)，
由于所求直線與直線平行，
所以設(shè)所求直線方程為，
代入，得：，解得，
所以所求直線方程為.
（2）由（1）知，點(diǎn)，
由于所求直線與直線垂直，
設(shè)所求直線方程為，
代入，得：，解得，
所以所求方程為.
16. 如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長(zhǎng)為的正方形，，底面，、分別為、的中點(diǎn)，.
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，底面，所以、、兩兩相互垂直?br>如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A0,0,0、、、、、，、、，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，故，
即，則，
令，則，，
所以為平面a的一個(gè)法向量，
所以，
所以，
又平面，所以平面.
（2）由平面的一個(gè)法向量為，.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
17. 已知直線及圓.
（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出圓心到直線距離最大時(shí)的值；
（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求的值.
解：（1）因?yàn)橹本€，得，
由，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn).
圓，所以定點(diǎn)在圓上，
圓心，半徑為.
當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)直線與圓相切，此時(shí)有：，所以.
（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，利用勾股定理得：.
同時(shí)利用圓心到直線的距離：，解得.
18. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合）.

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1）因?yàn)槠矫?，所以，?br>又，則以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，
令，則，，所以，
所以，
又由圖可知二面角的平面角為銳角，
所以二面角的平面角的余弦值為.
（3）由（1）得，，，，
設(shè)，則，可得，
所以，
由（2）知是平面的一個(gè)法向量，
若平面，可得，則，該方程無(wú)解，
所以直線不能與平面垂直.
19. 已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，焦距為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、的圓交直線于、兩點(diǎn)，直線、分別交橢圓于、.
（1）求橢圓的方程；
（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；
（3）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
解：（1）由已知得，，則，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）法一：設(shè)，則圓的方程為：，
圓過(guò)，代入圓的方程得，
故；
法二：設(shè)，圓半徑為r，則圓方程為：，
圓過(guò)，，由題意可設(shè)，
則；
（3）由題意知，當(dāng)圓的圓心不在x軸上時(shí)，直線PQ斜率存在，
設(shè)直線，，
則，需滿足，
則，，
則，
結(jié)合第一問(wèn)知，即，
即得，
化簡(jiǎn)得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線PQ方程為，直線PQ過(guò)點(diǎn)A-2,0，不合題意，
當(dāng)時(shí)，直線PQ方程為，
故直線PQ過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)圓圓心在x軸上時(shí)，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)直線PQ斜率不存在，
圓G方程為，
令，則，此時(shí)不妨設(shè)，
則的方程為，即，
聯(lián)立，得，解得或，
即P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則直線PQ此時(shí)也過(guò)點(diǎn)，
故直線PQ過(guò)定點(diǎn)

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