本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
第I卷選擇題
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 將集合且用列舉法表示正確的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合條件逐一列舉合乎題意的元素，即得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榍?br>故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查列舉法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
2. 命題“”的否定是（）
AB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可.
【詳解】解：命題“”為全稱量詞命題，
其否定為：；
故選：D
3設(shè)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指數(shù)冪公式化簡，進(jìn)而判斷大小即可.
【詳解】由，，，
所以.
故選：C.
4. 若a、b、c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值可判斷AB，利用不等式的性質(zhì)可判斷CD.
【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，故A錯誤；
對于B選項(xiàng)，取，，滿足，但此時(shí)，故B錯誤；
對于C選項(xiàng)，∵，在不等式同時(shí)乘以，得，
另一方面在不等式兩邊同時(shí)乘以b，得，∴，故C正確；
對于D選項(xiàng)，，則，所以，即，故D錯誤.
故選：C.
5. 已知，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
6. 對任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.
【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，都有恒成立?br>∴對任意的恒成立．
設(shè)，
，，
當(dāng)，即時(shí)，，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
7. 函數(shù)的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對函數(shù)分離常數(shù)，借助基本不等式，分三種情況討論即可.
【詳解】結(jié)合題意：，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，
即，原式取得最小值；
另一方面，因?yàn)?，所以，?
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，原式取得最大值;
另一方面因?yàn)椋?br>令，則，所以，所以
所以，即;
綜上所述：函數(shù)的值域是.
故選：A
8. 已知，設(shè)函數(shù)，，，若的最大值為M，最小值為m，那么M和m的值可能為（）
A. 4與3B. 3與1C. 5和2D. 7與4
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)得為偶數(shù)，由此可得出答案．
【詳解】解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，且，
∴為偶數(shù)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的的概念相互轉(zhuǎn)化.
【詳解】對于A，（），故A錯誤；
對于B，（），故B正確；
對于C，（），故C正確；
對于D，，而無意義，故D錯誤.
故選：BC
10. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】由必要條件、充分條件的定義即可得出結(jié)果．
【詳解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，
∴{x|－1＜x＜4}?{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，
∴實(shí)數(shù)a的值可以是4，5，6．
故選：BCD．
11. 已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為（）
A-2B. -3C. -4D. -5
【答案】BC
【解析】
【分析】
設(shè)，利用已知條件得到，求解即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由，
可得，
解得：，
又因?yàn)椋?br>得或，
故選：BC.
12. —般地,若函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則稱為的“倍跟隨區(qū)間”;特別地,若函數(shù)的定義域?yàn)?值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是
A. 若為的跟隨區(qū)間,則
B. 函數(shù)不存在跟隨區(qū)間
C. 若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則
D. 二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對A, 若為的跟隨區(qū)間,因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù),故其值域?yàn)?根據(jù)題意有,解得或,因?yàn)楣?故A錯誤.
對B,由題,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,即為的兩根.
即,無解.故不存在.故B正確.
對C, 若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因?yàn)闉闇p函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,
即,因?yàn)?所以.
易得.
所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實(shí)數(shù)根.
故,解得,故C正確.
對D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設(shè)定義域?yàn)?值域?yàn)?當(dāng)時(shí),易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí)易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域?yàn)?
故D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最大值時(shí)的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.
第II卷非選擇題
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 設(shè)集合，，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由補(bǔ)集和并集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】∵，，
∴，
又∵，∴.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)(且)的圖象過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】令，解得，此時(shí)，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
15. 某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學(xué)講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，17人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時(shí)聽了歷史、音樂講座，還有6人聽了全部講座，則聽講座人數(shù)為__________．
【答案】172
【解析】
【分析】畫出韋恩圖求解即可.
【詳解】
，
（人．
故答案為：172
16. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意給定的實(shí)數(shù)，，恒成立，則不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由題意可得，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，
又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，可得，從而列不等式組求解即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)對任意給定的實(shí)數(shù)，，恒成立，即，
所以函數(shù)在R上為減函數(shù)，
又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，
則不等式，可得或
即或，解得，
所以原不等式的解集為.
四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 設(shè)集合,
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)并集的定義運(yùn)算即得；
（2）由題可得，分類討論進(jìn)而可得不等式即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，；
【小問2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，解得，
實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
18. 已知
（1）求，的值；
（2）求滿足的實(shí)數(shù)a的值；
（3）求的定義域和值域．
【答案】（1），
（2）
（3）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?br>【解析】
【分析】根據(jù)自變量所屬范圍，求分段函數(shù)求函數(shù)值；根據(jù)函數(shù)值，求自變量值；確定分段函數(shù)的定義域值域.
【小問1詳解】
，
.
【小問2詳解】
由或，解得.
【小問3詳解】
的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?br>19. 已知函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的值域?yàn)?，，求，的值?br>【答案】（1）－1（2），
【解析】
【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出；
（2）判斷出的單調(diào)性，根據(jù)定義域和值域列出方程即可求解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，
則有對恒成立，
即對恒成立
解得；
【小問2詳解】
∵，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則有：，
即、是方程的兩個(gè)根，
又由，則，則，．
20. 由于春運(yùn)的到來，某火車站為舒緩候車室人流的壓力，決定在候車大樓外搭建臨時(shí)候車區(qū)，其中某次列車的候車區(qū)是一個(gè)總面積為的矩形區(qū)域(如圖所示)，矩形場地的一面利用候車廳大樓外墻(長度為12m)，其余三面用鐵欄桿圍擋，并留一個(gè)寬度為2m的入口.現(xiàn)已知鐵欄桿的租用費(fèi)用為80元/m.設(shè)該矩形區(qū)域的長為x(單位：m)，租用鐵欄桿的總費(fèi)用為y(單位：元).
（1）將y表示為x的函數(shù)，并求租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費(fèi)用的最小值及相應(yīng)的x.
（2）若所需總費(fèi)用不超過2160元，則x的取值范圍是多少？
【答案】（1），；當(dāng)時(shí)，所需費(fèi)用的最小值元；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依題意有，其中.利用基本不等式得出最小值即可；
（2）由題意得，解出即可.
【詳解】解：（1）依題意有，其中.
由均值不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.
綜上，當(dāng)時(shí)，租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為1440元.
（2），
∴，∴，解得.
又∵，∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的實(shí)際應(yīng)用和函數(shù)模型的應(yīng)用，是中檔題.
21. 設(shè)函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．
（1）求值；
（2）若，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；
（3）若，且在上最小值為，求的值．
【答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞增；
（3）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)得，解方程即可；
（2）由確定的取值范圍，進(jìn)而判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得二次不等式恒成立，求得參賽范圍；
（3）由可得，進(jìn)而可得函數(shù)，再利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分情況討論二次函數(shù)最值即可.
【小問1詳解】
是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
，即，
解得；經(jīng)檢驗(yàn)成立
【小問2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)（且），
又，
，又，
，
由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，
不等式化為．
，即恒成立，
，解得；
【小問3詳解】
由已知，得，即，解得，或（舍去），
，
令，是增函數(shù)，
，，
則，
若，當(dāng)時(shí)，，解得,不成立；
若，當(dāng)時(shí)，，解得，成立；
所以．
22. 定義域在R的單調(diào)函數(shù)滿足恒等式，且.
（1）求，；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（3）若對于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取代入函數(shù)滿足等式，整理可得，再令，根據(jù)，可算出；
（2）令，可得，即，可得函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)且，得是定義域在上的增函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，將題中不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，最后采用變量分離的方法結(jié)合換元法求函數(shù)的最小值，可算出的取值范圍.
【小問1詳解】
令可得，令∴∴∴；
【小問2詳解】
令∴∴，即
∴函數(shù)是奇函數(shù).
【小問3詳解】
是奇函數(shù)，且在時(shí)恒成立，
∴在時(shí)恒成立，
又∵是定義域在R的單調(diào)函數(shù)，且∴是R上的增函數(shù)，∴即在時(shí)恒成立，∴在時(shí)恒成立.令，

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