1．（3 分）下列各圖中，是中心對(duì)稱圖形的是（）
A． B． C． D．
2．（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．x2+2x＝0B． C．x+3＝0D．x3+2x2＝1 3．（3 分）方程 3x2﹣2x﹣1＝0 的根的情況是（）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．沒有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定4．（3 分）下列事件為隨機(jī)事件的是（）
A．太陽(yáng)從東方升起B(yǎng)．度量四邊形內(nèi)角和，結(jié)果是 720° C．某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心D．通常加熱到 100℃時(shí)，水沸騰
5．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（﹣1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
6．（3 分）不透明的袋子中裝有 2 個(gè)白球，3 個(gè)紅球和 5 個(gè)黑球，除顏色外無(wú)其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰好是白球的概率為（）
A． B． C． D．
7．（3 分）如圖，正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于⊙O，⊙O 的半徑是 1，則正六邊形 ABCDEF 的周長(zhǎng)是（）
A． B．6C． D．12
8．（3 分）如圖，用圓心角為 120°，半徑為 6 的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是
（）
A．4B．2C．4πD．2π 9．（3 分）反比例函數(shù) y＝（m＞0，x＞0）的圖象位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
10．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，E 為 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 OD，OB，若 OD∥BC，且 OD
＝BC，則∠BOD 的度數(shù)是（）
A．65°B．115°C．130°D．120°
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分．）
11．（3 分）設(shè) x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的兩個(gè)根，則 x1+x2＝ ．
12．（3 分）若點(diǎn)（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，則 a＝ ．
13．（3 分）如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成黑、白兩種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停
止后，指針恰好指向白色扇形的概率為 （指針指向 OA 時(shí)，當(dāng)作指向黑色扇形；指針指向 OB 時(shí)，當(dāng)作指向白色扇形），則黑色扇形的圓心角∠AOB＝ ．
14．（3 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到△AB′
C′，則 BB′＝．
15．（3 分）如圖某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半徑 OA＝10m，地面寬 AB＝16m，則高度 CD 為 ．
16．（3 分）如圖，拋物線 y＝ax2+bx+c 的開口向上，經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，3）和（1，0）且與 y 軸交于負(fù)半軸．則下列結(jié)論：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＜0；④，其中正確的結(jié)論是 ．（填寫
所有正確結(jié)論的序號(hào)）
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4 分）解方程：2x2﹣8＝0．
18．（4 分）如圖，在△ABC 中，邊 BC 與⊙A 相切于點(diǎn) D，∠BAD＝∠CAD．求證：AB＝AC．
19．（6 分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù) y＝2x 的圖象與反比例函數(shù) y＝的圖象交于 A， B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸，垂足為點(diǎn) C，AC＝2，求 k 的值．
20．（6 分）如圖，四邊形 ABCD 的兩條對(duì)角線 AC，BD 互相垂直，AC+BD＝10，當(dāng) AC，BD 的長(zhǎng)是多少時(shí)，四邊形 ABCD 的面積最大？
21．（8 分）學(xué)校為了踐行“立德樹人，實(shí)踐育人”的目標(biāo)，開展勞動(dòng)課程，組織學(xué)生走進(jìn)農(nóng)業(yè)基地，欣賞田園風(fēng)光，體驗(yàn)勞作的艱辛和樂趣，該勞動(dòng)課程有以下小組：A．搭豇豆架、B．?dāng)夭莩? C．趣挖番薯、D．開墾播種，學(xué)校要求每人只能參加一個(gè)小組，甲和乙準(zhǔn)備隨機(jī)報(bào)名一個(gè)小組．
甲選擇“趣挖番薯”小組的概率是；
請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人選擇同一個(gè)小組的概率．
22．（10 分）如圖，AB 是⊙O 直徑，C 為⊙O 上一點(diǎn)．
尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn) B′，使得 B′與 B 關(guān)于直線 AC 對(duì)稱；
在直線 AB′上取一點(diǎn) D，連接 CD，若 CD⊥AB′，求證：CD 是圓 O 的切線．
23．（10 分）為改善生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村規(guī)劃將一塊長(zhǎng) 18 米，寬 10 米的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)，如圖，內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其中一條路與廣場(chǎng)的長(zhǎng)平行，另兩條路與廣場(chǎng)的寬平行，其 余區(qū)域種植綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的 80%．
求該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積；
求廣場(chǎng)中間小路的寬．
24．（12 分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（﹣1，0）和 B（3，0）．
求拋物線的解析式；
過點(diǎn) A 的直線 y2＝kx+k 與拋物線交于點(diǎn) P．
①當(dāng) 0≤x≤3 時(shí)，若 y1﹣y2 的最小值為 5，求 k 的值；
②拋物線的頂點(diǎn)為 C，對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D，當(dāng)點(diǎn) P（不與點(diǎn) B 重合）在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 AP 和直線 BP 分別與對(duì)稱軸交于點(diǎn) M，N，試探究△AMD 的面積與△BND 的面積之間滿足的等量關(guān)系．
25．（12 分）如圖，點(diǎn) E 為正方形 ABCD 邊上的一點(diǎn)，CG 平分正方形的外角∠DCF，將線段 AE 繞點(diǎn) E
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) H．
當(dāng)點(diǎn) H 落在邊 CD 上且 CE＝CH 時(shí)，求∠AEH 的度數(shù)；
當(dāng)點(diǎn) H 落在射線 CG 上時(shí)，求證：AE⊥EH；
在（2）的條件下，連接 AH 并與 CD 交于點(diǎn) P，連接 EP，探究 AP2，EP2 與 HP2 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2023-2024 學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．（3 分）下列各圖中，是中心對(duì)稱圖形的是（）
A． B．
C． D．
【解答】解：中心對(duì)稱圖形，即把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°后能和原來(lái)的圖形重合，A、C、D 都不符合；
是中心對(duì)稱圖形的只有 B． 故選：B．
2．（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．x2+2x＝0B． C．x+3＝0D．x3+2x2＝1
【解答】解：A、是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意．；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、未知數(shù)的最高次數(shù)是 1，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意； D、未知數(shù)的最高次數(shù)是 3，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意； 故選：A．
3．（3 分）方程 3x2﹣2x﹣1＝0 的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．沒有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， 故選：C．
4．（3 分）下列事件為隨機(jī)事件的是（）
太陽(yáng)從東方升起
度量四邊形內(nèi)角和，結(jié)果是 720° C．某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心D．通常加熱到 100℃時(shí)，水沸騰
【解答】解：A、明天太陽(yáng)從東方升起是必然事件，故此選項(xiàng)不符合題意； B、度量四邊形內(nèi)角和，結(jié)果是 720°是不可能事件，故此選項(xiàng)不符合題意； C、某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)符合題意；
D、通常加熱到 100℃時(shí)，水沸騰是必然事件，故此選項(xiàng)不符合題意； 故選：C．
5．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（﹣1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，可知：點(diǎn) P（﹣1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn) O 中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．故選：C．
6．（3 分）不透明的袋子中裝有 2 個(gè)白球，3 個(gè)紅球和 5 個(gè)黑球，除顏色外無(wú)其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰好是白球的概率為（）
A． B． C． D．
【解答】解：隨機(jī)摸出一個(gè)球共有 10 種等可能結(jié)果，其中恰好是白球的有 2 種結(jié)果，
所以隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰好是白球的概率為 ＝ ， 故選：C．
7．（3 分）如圖，正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于⊙O，⊙O 的半徑是 1，則正六邊形 ABCDEF 的周長(zhǎng)是（）
A． B．6C． D．12
【解答】解：如圖，連接 OA，OB．
在正六邊形 ABCDEF 中，OA＝OB＝1，∠AOB＝＝60°，
∴△OAB 是等邊三角形，
∴AB＝OA＝1，
∴正六邊形 ABCDEF 的周長(zhǎng)是 1×6＝6． 故選：B．
8．（3 分）如圖，用圓心角為 120°，半徑為 6 的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是
（）
A．4B．2C．4πD．2π
【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)＝ ＝4π，
∴圓錐的底面半徑為 4π÷2π＝2． 故選：B．
9．（3 分）反比例函數(shù) y＝（m＞0，x＞0）的圖象位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：∵反比例函數(shù) y＝中，m＞0，x＞0，
∴函數(shù)圖象位于第一象限． 故選：A．
10．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，E 為 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 OD，OB，若 OD∥BC，且 OD
＝BC，則∠BOD 的度數(shù)是（）
A．65°B．115°C．130°D．120°
【解答】解：∵OD∥BC，且 OD＝BC，
∴四邊形 OBCD 是平行四邊形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∵∠BAD＝ ∠BOD，∠BCD+∠A＝180°，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°， 解得：∠BOD＝120°，
故選：D．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分．）
11．（3 分）設(shè) x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的兩個(gè)根，則 x1+x2＝ ﹣3．
【解答】解：∵x1，x2 是方程 x2+3x﹣4＝0 的兩個(gè)根，
∴ ，
故答案為：﹣3．
12．（3 分）若點(diǎn)（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，則 a＝ 6．
【解答】解：∵點(diǎn)（2，a）在反比例函數(shù) 的圖象上，
∴a＝ ＝6， 故答案為：6．
13．（3 分）如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成黑、白兩種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停
止后，指針恰好指向白色扇形的概率為 （指針指向 OA 時(shí)，當(dāng)作指向黑色扇形；指針指向 OB 時(shí)，當(dāng)作指向白色扇形），則黑色扇形的圓心角∠AOB＝ 45° ．
【解答】解：由題意知黑色扇形的圓心角∠AOB＝360°×（1﹣ ）＝45°，
故答案為：45°．
14．（3 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到△AB′
C′，則 BB′＝ 6 ．
【解答】解：∵在△ABC 中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
∵將△ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到△AB′C′，
∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，
∴BB′＝ ＝6 ． 故答案為：6 ．
15．（ 3 分） 如圖某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面， 半徑 OA ＝10m ， 地面寬 AB ＝ 16m ， 則高度 CD 為
4m．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8（m），在 Rt△AOD 中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝＝6（m），
∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是：4m．
16．（3 分）如圖，拋物線 y＝ax2+bx+c 的開口向上，經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，3）和（1，0）且與 y 軸交于負(fù)半軸．則
下列結(jié)論：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＜0；④，其中正確的結(jié)論是 ①④．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），即 x＝1 時(shí)，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以①正確；
∵拋物線開口向上
∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸在 y 軸的右側(cè)，
∴a、b 異號(hào)，即 b＜0，
∵拋物線與 y 軸相交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②錯(cuò)誤；
∵x＝﹣ ＜1， 而 a＞0，
∴﹣b＜2a，
即 2a+b＞0，所以③錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，3）和（1，0），
∴a﹣b+c＝3，a+b+c＝0，
∴2a+2c＝3，即 a+c＝，所以④正確； 故答案為：①④．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4 分）解方程：2x2﹣8＝0．
【解答】解：x2＝4， 所以 x1＝2，x2＝﹣2．
18．（4 分）如圖，在△ABC 中，邊 BC 與⊙A 相切于點(diǎn) D，∠BAD＝∠CAD．求證：AB＝AC．
【解答】解：∵BC 與⊙A 相切于點(diǎn) D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB＝AC．
19．（6 分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù) y＝2x 的圖象與反比例函數(shù) y＝的圖象交于 A， B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸，垂足為點(diǎn) C，AC＝2，求 k 的值．
【解答】解：∵AC⊥x 軸，AC＝2，
∴A 的縱坐標(biāo)為 2，
∵正比例函數(shù) y＝2x 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A，
∴2x＝2，解得 x＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函數(shù) y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn) A，
∴k＝1×2＝2．
20．（6 分）如圖，四邊形 ABCD 的兩條對(duì)角線 AC，BD 互相垂直，AC+BD＝10，當(dāng) AC，BD 的長(zhǎng)是多少時(shí)，四邊形 ABCD 的面積最大？
【解答】解：設(shè) AC＝x，四邊形 ABCD 面積為 S，則 BD＝10﹣x， 則：S＝ AC?BD＝ x（10﹣x）＝﹣ （x﹣5）2+ ，
當(dāng) x＝5 時(shí)，S 最大＝；所以 AC＝BD＝5 時(shí)，四邊形 ABCD 的面積最大．
21．（8 分）學(xué)校為了踐行“立德樹人，實(shí)踐育人”的目標(biāo)，開展勞動(dòng)課程，組織學(xué)生走進(jìn)農(nóng)業(yè)基地，欣賞田園風(fēng)光，體驗(yàn)勞作的艱辛和樂趣，該勞動(dòng)課程有以下小組：A．搭豇豆架、B．?dāng)夭莩? C．趣挖番薯、D．開墾播種，學(xué)校要求每人只能參加一個(gè)小組，甲和乙準(zhǔn)備隨機(jī)報(bào)名一個(gè)小組．
甲選擇“趣挖番薯”小組的概率是 ；
請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人選擇同一個(gè)小組的概率．
【解答】解：（1）甲選擇“趣挖番薯”小組的概率是，故答案為： ；
（2）畫樹狀圖如下：
共有 16 種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人選擇同一個(gè)小組的結(jié)果有 4 種，
∴甲、乙兩人選擇同一個(gè)小組的概率為 ＝ ．
22．（10 分）如圖，AB 是⊙O 直徑，C 為⊙O 上一點(diǎn)．
尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn) B′，使得 B′與 B 關(guān)于直線 AC 對(duì)稱；
在直線 AB′上取一點(diǎn) D，連接 CD，若 CD⊥AB′，求證：CD 是圓 O 的切線．
【解答】（1）解：如圖，連接 BC 并延長(zhǎng)，以點(diǎn) C 為圓心，BC 的長(zhǎng)為半徑畫弧，交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
B'，
則點(diǎn) B 即為所求．
（2）證明：連接 OC，
∵B′與 B 關(guān)于直線 AC 對(duì)稱，
∴AC 垂直平分 BB'，
∴AB'＝AB，
∴∠ABB'＝∠AB'B．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠AB'B，
∴AB'∥OC，
∵CD⊥AB′，
∴∠B'DC＝90°，
∴∠DCO＝∠B'DC＝90°，
∴OC⊥CD．
∵OC 為圓 O 的半徑，
∴CD 是圓 O 的切線．
23．（10 分）為改善生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村規(guī)劃將一塊長(zhǎng) 18 米，寬 10 米的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)，如圖，內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其中一條路與廣場(chǎng)的長(zhǎng)平行，另兩條路與廣場(chǎng)的寬平行，其 余區(qū)域種植綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的 80%．
求該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積；
求廣場(chǎng)中間小路的寬．
【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：該廣場(chǎng)綠化區(qū)域的面積為 144 平方米．
（2）設(shè)廣場(chǎng)中間小路的寬為 x 米，
依題意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合題意，舍去）．答：廣場(chǎng)中間小路的寬為 1 米．
24．（12 分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（﹣1，0）和 B（3，0）．
求拋物線的解析式；
過點(diǎn) A 的直線 y2＝kx+k 與拋物線交于點(diǎn) P．
①當(dāng) 0≤x≤3 時(shí)，若 y1﹣y2 的最小值為 5，求 k 的值；
②拋物線的頂點(diǎn)為 C，對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D，當(dāng)點(diǎn) P（不與點(diǎn) B 重合）在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 AP 和直線 BP 分別與對(duì)稱軸交于點(diǎn) M，N，試探究△AMD 的面積與△BND 的面積之間滿足的等量關(guān)系．
【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（﹣1，0）和 B（3，0），
∴y1＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴拋物線的解析式為 y1＝﹣x2+2x+3；
（2）①由題意可知：y1﹣y2＝﹣x2+2x+3﹣kx﹣k＝﹣x2+（2﹣k）x+3﹣k，
∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 x＝﹣＝ ，
∵﹣1＜0，
∴開口向下，
當(dāng) 0即﹣4＜k＜2 時(shí)，
∵當(dāng) 0≤x≤3 時(shí)，若 y1﹣y2 的最小值為 5，
∴當(dāng) x＝0 時(shí)，y1﹣y2 的最小值為 5，即 3﹣k＝5，解得 k＝﹣2，
當(dāng) x＝3 時(shí)，若 y1﹣y2 的最小值為 5，即﹣9+3（2﹣k）+3﹣k＝5，解得 k＝﹣（不符合題意，舍去），當(dāng) 即 k≤﹣4 時(shí)，同理可得不符合題意；
②∵拋物線解析式 y＝﹣x2+2x+3，
整理成頂點(diǎn)式為：y1＝﹣（x﹣1）2+4，對(duì)稱軸為直線 x＝1，
∴頂點(diǎn)（1，4），D（1，0），
∵直線 AP 的解析式為 y2＝kx+k，且直線 AP 與對(duì)稱軸交于點(diǎn) M，
∴M（1，2k），即 DM＝2K，
∵過點(diǎn) A 的直線 y2＝kx+k 與拋物線交于點(diǎn) P， 有﹣x2+2x+3＝kx+k，
解得，x1＝﹣1，x2＝3﹣k，
將 x＝3﹣k 代入 y2＝kx+k 中，有 y2＝4k﹣k2，
∴P（3﹣k，4k﹣k2），
設(shè)直線 PB 的解析式為 y3＝mx+n，
則
解得
，
，
∴直線 BP 的解析式為 y3＝（﹣4+k）x+12﹣3k，
∵直線 BP 與對(duì)稱軸交于點(diǎn) N，
∴N（1，8﹣2k），即 DN＝8﹣2k．
當(dāng) P 在第一象限時(shí)，S△AMD＝ AD?DM＝ ×2×2k＝2k，
S△BND＝ BD?DN＝ ＝8﹣2k，
∴S△AMD+S△BND＝2k+8﹣2k＝8．當(dāng)點(diǎn) P 在第四象限時(shí)，
S△AMD＝ AD?DM＝ ×2×（﹣2k）＝﹣2k，
S△BND＝ BD?DN＝ ＝8﹣2k，
∴S△BND﹣S△AMD＝8﹣2k﹣（﹣2k）＝8．
綜上可知，S△AMD+S△BND＝8 或 S△BND﹣S△AMD＝8．
25．（12 分）如圖，點(diǎn) E 為正方形 ABCD 邊上的一點(diǎn)，CG 平分正方形的外角∠DCF，將線段 AE 繞點(diǎn) E
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) H．
當(dāng)點(diǎn) H 落在邊 CD 上且 CE＝CH 時(shí)，求∠AEH 的度數(shù)；
當(dāng)點(diǎn) H 落在射線 CG 上時(shí)，求證：AE⊥EH；
在（2）的條件下，連接 AH 并與 CD 交于點(diǎn) P，連接 EP，探究 AP2，EP2 與 HP2 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【解答】（1）解：如圖所示，連接 AH，
∵線段 AE 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋，當(dāng)點(diǎn) H 落在邊 CD 上，
∴AE＝EH，
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°，
∵CE＝CH，
∴CB﹣CE＝CD﹣CH，
∴BE＝DH，
在△ABE 和△ADH 中，
，
∴△ABE≌△ADH（SAS），
∴AH＝AE＝EH，
故△AEH 為等邊三角形，
∴∠AEH＝60°；
（2）證明：如圖，在 AB 上取點(diǎn) Q，使 BQ＝BE，作 HM 垂直 BF 于點(diǎn) M，
∵線段 AE 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋，當(dāng)點(diǎn) H 落在邊 CG 上，
∴AE＝EH，
∵AB＝AC，BQ＝BE，
∴AQ＝CE，
∵CG 平分∠DCF，
∴CM＝HM，
設(shè) AQ＝CE＝a，CM＝HM＝b，BQ＝BE＝x，
在 Rt△ABE 和 Rt△EMH 中，AE2＝AB2+BE2，EH2＝EM2+MH2，
∴AB2+BE2＝EM2+MH2，
即（a+x）2+x2＝（a+b）2+b2， 整理得：2（x﹣b）（a+b+x）＝0，
∵a+b+x≠0，
∴x﹣b＝0， 解得 x＝b，
∴CM＝BE，
∵CG 平分∠DCF，BQ＝BE，
∴∠GCF＝∠BQE＝45°，
∴∠AQE＝∠ECH＝135°，
∵ ，CH＝ CM，
∴QE＝CH，
在△AQE 和△ECG 中，
，
∴△AQE≌△ECG（SAS），
∴∠QAE＝∠CEG，
∴∠QAE+∠AEB＝90°，
∴∠CEG+∠AEB＝90°，
∴∠AEG＝90°， 故 AE⊥EH．
（3）解：HP2+AP2＝2EP2．
理由如下：如圖，過點(diǎn) P 作 PM⊥EH 于點(diǎn) M，PN⊥AE 于點(diǎn) N，
由（2）可知，AE⊥EH，
∴∠EAH＝∠EHA＝45°，
∴△APN 和△PHM 為等腰直角三角形， 即 ， ，
∴PH2＝2PM2，AP2＝2PN2，
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，
∴四邊形 PNEM 為矩形，
∴PM＝NE，
在 Rt△PNE 中，EP2＝NE2+PN2＝PM2+PN2．
∴HP2+AP2＝2（PM2+PN2）＝2EP2， 故 HP2+AP2＝2EP2．

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