模型一：定點定長作圓
點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，
則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。
模型一：點圓最值
已知平面內(nèi)一定點D和?O，點E是?O上一動點，設點O與點D之間距離為d，?O半徑為r.
【典例分析】
【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝ ．
【解答】解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CAD＝2∠BAC，
∴∠CBD＝2∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴3∠CBD+105°＝180°，
∴∠CBD＝25°．
故答案為：25°．

【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，請畫出滿足條件時點C的軌跡．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴點C在以A為圓心，AB為半徑的圓上運動，
∵四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，
∴點C的運動軌跡為（不與B、D重合）．
【典例2】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是邊AC上的任意一點（點E不與點C重合），沿DE翻折△DCE使點C落在點F處，請畫出點F的軌跡．
【解答】解：∵DF＝DC，
∴則點F在以點D為圓心DC為半徑的圓上運動，
當點E與A重合時，AD與⊙D交于Q，
則即為點F的運動軌跡．
∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，則軌跡為優(yōu)弧MQC，滿足∠MDA＝∠CDA，
此時點F的軌跡為．
【變式2】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，將△AEB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點M的運動軌跡．
【解答】解：如圖，弧AM即為所求．
【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線面BC邊上的動點，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值。
解：如圖，點E為圓心，為半徑作圓，
當點E，，D三點共線時的值最小。
，，
，

【變式3-1】（2019?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是 ．
【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD邊的中點，
∴AM＝MD＝1
∵將△AMN沿MN所在直線折疊，
∴AM＝A'M＝1
∴點A'在以點M為圓心，AM為半徑的圓上，
∴如圖，當點A'在線段MC上時，A'C有最小值，
∵MC＝＝
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案為：﹣1
【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是 ，點F到線段BC的最短距離是 ．
【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴點F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運動，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四邊形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴點F到線段BC的最短距離是2，
故答案為：2﹣2，2．
【典例4】（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動點，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動點，則線段CD長的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴點C在以AB為直徑的圓上，
AB為直徑的圓的圓心為E點，如圖，
連接DE交⊙E于C′，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，AE＝1，
∴DC≤DE﹣CE（當且僅當D、C、E共線時取等號）
即DC≤DE﹣1，
∵DE⊥直線y＝x時，DE最短，DE的最小值為OE＝，
∴線段CD長的最小值為﹣1．
故選：C．
【變式4-1】（2021秋?武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為 ．
【解答】解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，
連接OM，交⊙M于點P′，當點P位于P′位置時，OP′取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，
則OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
【變式4-2】（2021秋?薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為 ．
【解答】解：∵C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，
∴點C的運動軌跡是在半徑為2的⊙B上，
如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，
∵點M為線段AC的中點，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝，
∴OM最大值時，CD取最大值，此時D、B、C三點共線，
此時在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案為：1+2．
1．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，則∠CBD＝ 度．
【答案】38
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴點B，C，D可以看成是以點A為圓心，AB為半徑的圓上的三個點，
∴∠CBD是弧CD對的圓周角，∠CAD是弧CD對的圓心角；
∵∠CAD＝76°，
∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC邊上一動點，將△ABD沿AD對折，得到△AB'D，當點B'落在AC邊上時，點D停止運動，若AB'＝AC，則在點D的運動過程中，點B'的運動路徑長為 ．
【答案】
【解答】解：由折疊知AB'＝AB，
∵AB'＝AC，
∴AB＝AC，
∴sinC＝，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴點B'的運動路徑長為＝，
故答案為：．
3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，將菱形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形A'BC'D'，求出當點D'在BA的延長線上時，點C'運動的路徑長．
【解答】解：如圖，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝BC'，
∴點C'在以點B為圓心，BC長為半徑的圓上運動，
當點D'在BA的延長線上時，∠ABC'＝∠D'BC'＝∠C'BC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠C'BC＝30°，BC＝AB＝3，
∴點C'運動的路徑長為＝．
4．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且點E在矩形ABCD的內(nèi)部，求∠ABE的取值范圍．
【答案】60°≤∠ABE＜90°
【解答】解：∵點C為定點，CE為定長，
∴點E在以點C為圓心，CE為半徑的圓弧上，如圖：
當BE與圓C相切時，∠CBE最大，即∠ABE最小，此時∠CEB＝90°，
sin∠CBE＝，
∴∠CBE＝30°，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵點E在矩形ABCD內(nèi)，
∴∠ABE＜90°，
∴60°≤∠ABE＜90°．
5．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解答】解：連接AM，
∵點B和M關于AP對稱，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，
∴當A，M，C三點共線時，CM最短，
∵AC＝，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故選：A．
6．如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為 ．
【答案】
【解答】解：∵C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，
∴點C的運動軌跡是在半徑為2的⊙B上，
如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，
∵點M為線段AC的中點，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝，
∴OM最大值時，CD取最大值，此時D、B、C三點共線，
此時在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案為：1+2．
7．（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（6，8），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最大值為 ．
【答案】24
【解答】解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，
連接OM并延長交⊙M于點P′，當點P位于P′位置時，OP′取得最大值，
過點M作MQ⊥x軸于點Q，
則OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝10+2＝12，
∴AB＝2OP′＝24，
故答案為：24．
8．（2022?武功縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，點M為矩形內(nèi)一動點，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為 ．
【答案】5﹣2．
【解答】解：如圖，作△EMC的外接圓⊙O，連接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，
∵BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，
∴BE＝1，EC＝4，
∵∠CME＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，
∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，
在Rt△AFO中，AO＝，
當點M是OA與⊙O的交點時，AM最小，
∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．
故答案為：5﹣2．
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分別是邊AB，AC的中點，若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．
（1）如圖1，當α＝90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結果）
（2）如圖2，當α＝135°時，求證：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；
（3）求點P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結果）
【解答】（1）解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴AE＝AD＝2，
∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），
∴當α＝90°時，AE1＝2，∠E1AE＝90°，
∴BD1＝＝2，E1C＝＝2；
故答案為：2，2；
（2）證明：當α＝135°時，如圖2，
∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°得到，
∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，
記直線BD1與AC交于點F，
∴∠BFA＝∠CFP，
∴∠CPF＝∠FAB＝90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，
∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1＝2，則BD1＝＝2，
故∠ABP＝30°，
則PB＝2+2，
故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG＝1+．
10，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A、B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．
（1）如圖2，在⊙O上取一點C（不與點A、B重合），連PC、OC．求證：PA＜PC．
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是 ．
（3）如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′B長度的最小值．
（4）①如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH的最小值是 ．
②如圖6，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于 ．
【解答】（1）證明：如圖2，在⊙O上任取一點C（不為點A、B），連接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC．
（2）解：連接AO與⊙O相交于點P，如圖3，由已知定理可知，此時AP最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC為直徑，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝，
∴AP＝﹣1，
故答案為：﹣1；
（3）解：如圖4，由折疊知A′M＝AM，又M是AD的中點，可得MA＝MA′＝MD，
故點A′在以AD為直徑的圓上，
由模型可知，當點A′在BM上時，A′B長度取得最小值，
∵邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，
∵MA＝MA′＝MD，
則BM⊥AM，
∴BM＝＝，
故A′B的最小值為：﹣1；
（4）①解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝，
根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，
∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
DH最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案為：﹣1；
②解：作⊙A關于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖6，
則此時PM+PN最小，
∵點A坐標（﹣2，3），
∴點A′坐標（﹣2，﹣3），
∵點B（3，4），
∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣AM＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴PM+PN的最小值為﹣3．
故答案為：﹣3．
11．如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，BC邊上的點，且AC＝CD＝3，連接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．
（1）當∠B＝22.5°時，求證：CD平分∠ACB；
（2）當CD＝BD時，求的值；
（3）如圖②，若點F是線段AC上一點，且AF＝1，連接DF，EF，EF交CD于點G，求△DEF面積的最大值．
【解答】（1）證明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝CE，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝CE，
∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如圖①，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，過點E作EP⊥AB于P，
∵CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，
∴△DPE是等腰直角三角形，
∴DP＝EP，
設DP＝EP＝x，則BP＝3﹣x，
在Rt△BEP中，tanB＝＝＝，
解得：x＝，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠PDE，
∵∠ACE＝∠DPE＝90°，
∴△ACE∽△DPE，
∴＝＝＝+1；
（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，
如圖②，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，
∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，
∴EF＝＝＝，為定值，
∵CD為定值，
∴當CD⊥EF時，CG取得最小值，
此時，點D到EF的距離取得最大值，
即△DEF的面積取得最大值，
∵S△CEF＝CF?CE＝EF?CG最小，
即×2×3＝××CG最小，
解得：CG最?。剑?br>∴DG最大＝CD﹣CG最?。?﹣，
∴S△DEF最大＝EF?G最大＝××（3﹣）＝﹣3．
12．在邊長為4的菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，將△BEF沿EF翻折得到△GEF，連接DG．
（1）如圖①，若點E是AB的中點．
①當點G落在BC邊上時，求sin∠CGD的值；
②當點F從點B運動到BC的中點時，求S四邊形AEGD的取值范圍；
（2）如圖②，若BF＝2，當點G落在AD邊上時，求BE的長．
【解答】解：（1）①如圖①乙，連接AG、AC，
∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，
∴AB＝CB＝AD＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點F、點G都在BC上，且點F與點B關于EF對稱，點E是AB的中點，
∴EF⊥BG，BF＝GF，
∴BE＝GE，
∴△EBG是等邊三角形，
∴BG＝BE＝CG＝2，
∴AG⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AGB＝90°，∠CGD＝∠ADG，
∵AG＝AB?sin60°＝4×＝2，
∴tan∠CGD＝tan∠ADG＝＝＝，
∴tan∠CGD的值為．
②如圖①乙，連接DE，延長FE交DA的延長線于點R，
∵∠R＝∠EFB＝90°，∠EAR＝∠B＝60°，AE＝2，
∴∠AER＝30°，ER⊥AD，
∴AR＝AE＝1，
∴ER＝＝＝，
∴S△AED＝AD?ER＝×4×＝2，
∵DR＝AD+AR＝5，
∴DE＝＝＝2，
可知S四邊形AEGD的大小取決于S△GED的大小，
由圖①丙，GE＝BE＝2，則點G在以點E為圓心，以2單位長為半徑的圓上運動，
∴當GE⊥DE時，S△GED最大＝DE?GE＝×2×2＝2，
∴S四邊形AEGD最大＝2+2；
如圖①丁，連接BG，當點F運動到BC的中點時，S△GED最小，
∵BF＝BE＝GF＝GE＝AE＝CF＝2，∠ABC＝∠EGF＝60°，
∴△BEF和△GEF都是等邊三角形，
∴∠BEF＝∠GEF＝∠BFE＝∠GFE＝60°，
∴∠AEG＝∠CFG＝60°，
∴△AEG和△CFG都是等邊三角形，
∴∠AGE＝∠CGF＝60°，AG＝CG＝2，
∴∠AGE+∠EGF+∠CGF＝180°，
∴點A、點G、點C在同一條上，且點G是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，
∴BG＝DG，
∵S△BED＝S△AED＝2，
∴S△GED最?。絊△BED＝×2＝，
∴S四邊形AEGD最小＝2+＝3，
綜上所述，S四邊形AEGD的取值范圍是3≤S四邊形AEGD≤2+2．
（2）如圖②，連接BG，作EH⊥BC于點H，則∠EHF＝∠EHB＝90°，
由（1）可知菱形ABCE的對邊AD與BC之間的距離是2，
∵EF垂直平分BG，
∴GF＝BF，
∵點G落在AD邊上，且GF＝BF＝2，
∴GF的長等于點G到BD的垂線段的長，
∴GF⊥BC，
∴∠BFG＝90°，
∴∠BFE＝∠GFE＝45°，
∴∠BFE＝∠HEF＝45°，
∴FH＝EH＝BH?tan60°＝BH，
∴BH+BH＝2，
∴BH＝3﹣，
∵BH＝BE?cs60°＝BE，
∴BE＝2BH＝6﹣2，
∴BE的長為6﹣2．
位置關系
點D在?O內(nèi)
點D在?O上
點D在?O外
圖示
DE的最大值
d＋r
2r
d＋r
此時點E的位置
連接DO并延長交?O于點E

DE的最小值
r－d
0
d－r
此時點E的位置
連接OD并延長交?O于點E
點E與點D重合
連接OD交O于點E

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