北師大版數(shù)學九下期末復習訓練專項21 拋物線的平移、旋轉、對稱（2份，原卷版+解析版）

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二次函數(shù)圖像的對稱一般有四種情況，可以用一般式或頂點式表達，分別是：
關于x軸對稱，y=ax2+bx+c關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c;y=a(x-h)+k關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k.
關于y軸對稱，y=ax2+bx+c 關于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；
y=a(x-h)2+k關于y軸對稱后，得到的解析式；y=a(x+h)2+k。
關于原點對稱，y=ax2+bx+c關于原點對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；
y=a(x-h)2+k關于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k；
關于頂點對稱， y=ax2+bx+c關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-b/2a；y=a(x-h)2+k關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h)2+k.
注意：對于以上四種對稱要在結合開個方向、對稱軸的位置以及與y軸的交點三個方面結合圖像理解記憶。而對于拋物線關于定點對稱問題我們一般都是化成頂點式再變換
類型二 平移
①二次函數(shù)圖像平移的本質是點的平移，關鍵在坐標。
②圖像平移口訣：左加右減、上加下減。平移口訣主要針對二次函數(shù)頂點式
【典例1】（2022春?興寧區(qū)期末）將拋物線y＝2（x﹣3）2﹣2圖象先向上平移4個單位，再向左平移5個單位后的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣8）2+2B．y＝2（x﹣8）2﹣6
C．y＝2（x+2）2﹣6D．y＝2（x+2）2+2
【答案】D
【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣3）2﹣2圖象先向上平移4個單位，再向左平移5個單位后的解析式是y＝2（x﹣3+5）2﹣2+4，即y＝2（x+2）2+2．
故選：D．
【變式1-1】（2022春?海門市期末）將拋物線y＝3x2向左平移2個單位長度后，得到的新拋物線解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2B．y＝3（x+2）2C．y＝3x2﹣2D．y＝3x2+2
【答案】B
【解答】解：將拋物線y＝3x2向左平移2個單位所得直線解析式為：y＝3（x+2）2；
故選：B．
【變式1-2】（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）將拋物線y＝x2﹣6x+5先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5，
∴y＝（x﹣3）2﹣4．
∴將拋物線y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的拋物線對應的函數(shù)表達式為：y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故選：D．
【典例2】（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）把二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象關于y軸對稱后得到的圖象的函數(shù)關系式為 ．
【答案】y＝（x+1）2+2
【解答】解：函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象關于y軸對稱后的頂點坐標為（﹣1，2），所以得到的圖象的函數(shù)解析式是y＝（x+1）2+2；
故答案為：y＝（x+1）2+2．
【變式2-1】（2022?高青縣一模）將拋物線y＝x2+1沿x軸向下翻折，則得到的新拋物線的解析式為 ．
【答案】y＝﹣x2﹣1
【解答】解：拋物線y＝x2+1的頂點坐標是（0，1），則沿x軸翻折后頂點坐標是（0，﹣1），所以新拋物線解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1
【變式2-2】（2022?宣州區(qū)一模）將拋物線C1：y＝（x﹣3）2+2向左平移3個單位長度，得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關于x軸對稱，則拋物線C3的解析式為（ ）
A．y＝x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2+2D．y＝﹣x2﹣2
【答案】D
【解答】解：∵拋物線C1：y＝（x﹣3）2+2的頂點為（3，2），
∵向左平移3個單位長度，得到拋物線C2的頂點坐標為（0，2），
∵拋物線C2與拋物線C3關于x軸對稱，
∴拋物線C3的開口方向相反，頂點為（0，﹣2），
∴拋物線C3的解析式為y＝﹣x2﹣2．
故選：D．
【典例3】（2021秋?沭陽縣校級期末）將拋物線y＝x2﹣6x繞原點旋轉180度，則旋轉后的拋物線解析式為（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9
C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
【答案】C
【解答】解：拋物線y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的頂點坐標為（3，﹣9），
由于拋物線y＝x2﹣6x繞原點旋轉180度后拋物線的頂點坐標為（﹣3，9），并且開口方向相反，
則所得拋物線解析式為y＝﹣（x+3）2+9．
故選：C．
【變式3-1】（2021?未央區(qū)校級模擬）將拋物線y＝2x2﹣4x+5繞其頂點旋轉180，則旋轉后的拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1D．y＝﹣2x2+4x+5
【答案】A
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x+1）+3＝2（x﹣1）2+3，
將原拋物線繞頂點旋轉180°后，得：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
即：y＝﹣2x2+4x+1．
故選：A．
【變式3-2】（2021春?無錫月考）將二次函數(shù)y＝的圖象先向下平移2個單位，再把所得圖象以原點為中心，旋轉180°，所得圖象的表達式正確的是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2B．y＝3x2+2C．D．
【答案】D
【解答】解：把二次函數(shù)y＝圖象先向下平移2個單位后得到的函數(shù)的解析式為：y＝﹣2．
因為圖象繞它的頂點旋轉180°后，其對稱軸與頂點坐標均不變，只是圖象開口向下，
所以所得圖象的函數(shù)解析式為y＝．
故選：D．
1．（2022?通遼）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【答案】D
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故選：D．
2．（2022?崇明區(qū)二模）將拋物線y＝2x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變的是（ ）
A．對稱軸B．開口方向
C．和y軸的交點D．頂點
【答案】B
【解答】解：將拋物線y＝2x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，形狀不變，故開口方向不變．
故選：B．
3．（2022?太原一模）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝ax2+bx+c先沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度，得到拋物線y＝x2﹣2x﹣4，則拋物線y＝ax2+bx+c的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝x2+2x+4B．y＝x2+4x﹣3C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2﹣8x+13
【答案】B
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5．
將拋物線y＝（x﹣1）2﹣5先沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向下平移2個單位長度后得到拋物線y＝（x﹣1+3）2﹣5﹣2，即y＝（x+2）2﹣7＝x2+4x﹣3．
所以y＝ax2+bx+c＝x2+4x﹣3．
故選：B．
4．（2022?南平模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y＝2x2保持不動，將x軸向上平移1個單位（y軸不動），則在新坐標系下拋物線的解析式是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
【答案】B
【解答】解：拋物線y＝2x2的頂點坐標為（0，0），
∵將x軸向上平移1個單位（y軸不動），
∴新平面直角坐標系中拋物線的頂點坐標為（0，﹣1），
∴新坐標系下拋物線的解析式是y＝2x2﹣1．
故選：B．
5．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）拋物線y＝5（x﹣2）2﹣3是由拋物線y＝5x2經過怎樣的平移得到的（ ）
A．向左平移2個單位長度，向上平移3個單位長度
B．向左平移2個單位長度，向下平移3個單位長度
C．向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度
D．向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度
【答案】D
【解答】解：∵拋物線y＝5（x﹣2）2﹣3的頂點坐標為（2，﹣3），拋物線y＝5x2的頂點坐標為（0，0），
∴將拋物線y＝5x2向右平移2個單位，再向下平移3個單位，可得到拋物線y＝5（x﹣2）2﹣3．
即平移方法為：向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度．
故選：D．
6．（2021秋?奉賢區(qū)期末）從圖形運動的角度研究拋物線，有利于我們認識新的拋物線的特征．如果將拋物線y＝x2+2繞著原點旋轉180°，那么關于旋轉后所得新拋物線與原拋物線之間的關系，下列說法正確的是（ ）
A．它們的開口方向相同B．它們的對稱軸相同
C．它們的變化情況相同D．它們的頂點坐標相同
【答案】B
【解答】解：A、它們的開口方向相反，不符合題意；
B、它們的對稱軸相同，符合題意；
C、它們的開口方向相反，頂點坐標關于原點對稱，即題目的變化情況不相同，不符合題意；
D、它們的頂點坐標關于原點對稱，不符合題意．
故選：B．
7．（2021?眉山）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+5與y軸交于點C，則該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【答案】A
【解答】解：由拋物線y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，拋物線頂點坐標是（2，1）．
由拋物線y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的頂點坐標是（﹣2，9）．
∴該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的表達式為：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．
故選：A．
8．（2020秋?永嘉縣校級期末）一條拋物線和拋物線y＝﹣2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點坐標是（﹣1，3），則該拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1B．y＝﹣2x2﹣4x+1
C．y＝﹣4x2﹣4x+2D．y＝﹣4x2+4x+2
【答案】B
【解答】解：拋物線解析式為y＝﹣2（x+1）2+3＝﹣2x2﹣4x+1．
故選：B．
9．（2019秋?洪山區(qū)期中）將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣4的圖象沿直線y＝1翻折，所得圖象的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4
C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6
【答案】D
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣4的圖象沿直線y＝1翻折，所得圖象的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣1）2+6，
故選：D．
10．（2019秋?安陸市月考）先將拋物線y＝（x﹣1）2+2關于x軸作軸對稱變換，所得的新拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣2
【答案】C
【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+2關于x軸作軸對稱變換，
則所得拋物線為﹣y＝（x﹣1）2+2，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故選：C．
11．（2021秋?長汀縣校級月考）如圖，在平面直角坐標xOy中，拋物線c1的頂點為A（﹣1，﹣4），且過點B（﹣3，0）將拋物線c1向右平移2個單位得拋物線c2，則陰影部分的面積s＝ ．
【答案】8
【解答】解：陰影部分可以轉換成求平行四邊形的面積，s＝2×|yA|＝2×4＝8，
故答案為：8．
12．（2021秋?亳州期末）拋物線y＝﹣（x+2）2關于y軸對稱的拋物線的表達式為 ．
【答案】y＝﹣（x﹣2）2
【解答】解：拋物線y＝﹣（x+2）2頂點坐標為（﹣2，0），其關于y軸對稱的點的坐標為（2，0），
∵兩拋物線關于y軸對稱時形狀不變，
∴拋物線y＝﹣（x+2）2關于y軸對稱的拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣2）2．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．
13．（2021秋?嘉魚縣月考）如圖，將函數(shù)y＝（x﹣2）2+1的圖象沿y軸向上平移得到一個新函數(shù)的圖象，其中點A（1，m）、B（4，n）平移后的對應點分別為A'、B'．若曲線段AB掃過的面積為9（圖中陰影部分），則新圖象對應的函數(shù)表達式為 ．
【答案】y＝（x﹣2）2+4
【解答】解：曲線段AB掃過的面積＝（xB﹣xA）×AA′＝3AA′＝9，
則AA′＝3，
故拋物線向上平移3個單位，則y＝（x﹣2）2+4．
故答案是：y＝（x﹣2）2+4．
14．（2022?岳陽）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經過點A（﹣3，0）和點B（1，0）．
（1）求拋物線F1的解析式；
（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；
（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點（點C在點D的左側）．
①求點C和點D的坐標；
②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點（點M，N與點C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．
【解答】解：（1）將點A（﹣3，0）和點B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的頂點（﹣1，﹣4），
∵頂點（﹣1，﹣4）關于原點的對稱點為（1，4），
∴拋物線F2的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）由題意可得，拋物線F3的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，
①聯(lián)立方程組，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；
②設直線CD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+1，
過點M作MF∥y軸交CD于點F，過點N作NE∥y軸交于點E，
設M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），
則F（m，2m+1），E（n，2n+1），
∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，
NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，
∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，
∴當m＝0時，MF有最大值4，
當n＝0時，NE有最大值4，
∵S四邊形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），
∴當MF+NE最大時，四邊形CMDN面積的最大值為16．