一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù)，則實數(shù)( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
3．在中，，，則( )
A.B.C.D.
4．函數(shù)的極大值為( )
A.-4B.0C.1D.4
5．在三棱錐中，，與平面所成角的大小為，則( )
A.1B.C.D.2
6．曲線與的交點中，與y軸最近的點的橫坐標為( )
A.B.C.D.
7．在中，，，，.若，則( )
A.B.C.D.
8．在正四棱柱中，，P是線段上靠近C的三等分點，過點C與直線垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為( )
A.B.2C.D.3
二、多項選擇題
9．在空間中，設(shè)a，b，c是三條直線，，，是三個平面，則下列能推出的是( )
A.，
B.，，
C.，，，
D.，，，
10．已知函數(shù)，則( )
A.的最大值為1B.是曲線的對稱中心
C.在上單調(diào)遞減D.的最小正周期為
11．設(shè)為R上的增函數(shù)，滿足：，，則( )
A.B.為奇函數(shù)
C.，D.，
三、填空題
12．在平面直角坐標系中，曲線上的兩點A，B滿足，線段的中點M在x軸上，則點M的橫坐標為___________.
13．已知圓O的半徑為2，點A，B在圓O上，點C在圓O內(nèi)，且，則的最小值為___________.
四、雙空題
14．已知函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為，則___________，___________.
五、解答題
15．已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且.
(1)求A；
(2)若的面積為，周長為6，試判斷的形狀
16．設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，記P在l上的射影為H.
(1)能否為正三角形？若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由；
(2)設(shè)C在點P處的切線與l相交于點Q，證明：.
17．如圖，在三棱錐中，平面，D是的中點，平面平面，且.
(1)求點A到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值
18．已知函數(shù)，其中.
(1)若曲線在點處的切線過原點，求a；
(2)當時，證明：；
(3)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍
19．如果數(shù)列，，，…，是首項為1，各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且任意連續(xù)三項的和都能被3整除，那么稱數(shù)列，，，…，是數(shù)列
(1)寫出所有滿足的數(shù)列；
(2)證明：存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個；
(3)對任意給定的，都存在，，，使得數(shù)列，，，，是數(shù)列，求整數(shù)t的最小值
參考答案
1．答案：B
解析：因為，
若，
即，
可得，
解得.
故選：B.
2．答案：A
解析：由題意可知，
所以，
則.
故選：A
3．答案：B
解析：因為，，
可知，
則，
且，
所以.
故選：B.
4．答案：D
解析：，
令，則，
令，則或，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值.
故選：D
5．答案：C
解析：取的中點D，連接，
因為，
則，，
且，，平面，
可得平面，
又因為平面，
所以平面平面，
且平面平面，
由面面垂直的性質(zhì)可知：點P在平面內(nèi)的投影落在直線上，
且，可知點P在平面內(nèi)的投影落在線段內(nèi)，
又因為與平面所成角的大小為，則，
可知為等邊三角形，所以.
故選：C.
6．答案：B
解析：由，
可得，
即，
則，
則，
即，
故取最小值時，.
故選：B
7．答案：C
解析：因為，，
所以，
又，
所以，
則，
解得：，.
故選：C
8．答案：B
解析：分別取靠近B的三等分點N，
取靠近D的三等分點M，
取靠近的三等分點Q，
連接，，，，，，，
建立如下圖所示空間直角坐標系，
不妨設(shè)，
所以，，，
所以，
所以，
且C，N，M，Q不共線，
所以C，N，M，Q共面，
又因為，
所以，
因為，
所以，
因為，
所以，且，
所以平面，
較小部分的幾何體如下圖所示，
其體積為，
由正四棱柱結(jié)構(gòu)特點易知平面，
平面，
所以，
所以較大部分體積，
所以較大部分與較小部分的體積比為2，
故選：B.
9．答案：BD
解析：對于選項A，如圖，在正方體中，
取直線為a，直線為b，直線為c，
顯然有，，
但，所以選項A錯誤，
對于選項B，由線面平行的性質(zhì)可知，選項B正確，
對于選項C，如圖，在正方體中，取平面為，
平面為平面，平面為，
顯然滿足，，
又，，
且，即a，b相交，所以選項C錯誤，
對于選項D，因為，則，
又，則，，又，
顯然有，所以，
又，，
所以，故選項D正確，
故選：BD.
10．答案：ABD
解析：由題意可知：的定義域為R，
對于選項A：因為，
則，
且，所以的最大值為1，故A正確；
對于選項B：因為，
即，
所以是曲線的對稱中心，故B正確；
對于選項C：因為，
且在R上連續(xù)不斷，
所以在上不單調(diào)，故C錯誤；
對于選項D：因為，
由選項B可知，
可得，即，
則，
可知為的一個周期，
若，則，
可得，
當，則，，
此時，
可知對任意，，
即，
所以a不為的一個周期；
綜上所述：的最小正周期為，故D正確；
故選：ABD.
11．答案：ABD
解析：對于選項A，因為，
令，得到，
又，令，
得到，所以，故選項A正確，
對于選項B，因為，
得到，
所以，
又，
所以，
又由
可得，
所以，
又的定義域為R，定義域關(guān)于原點對稱，
所以為奇函數(shù)，故選項B正確，
對于選項C，因為，令，
得到，由選項A知，
又由選項B知，
且為奇函數(shù)，則當時，，
所以當時，不存在，使成立，
當，因為為R上的增函數(shù)，
則（其中表示不超過x的最大整數(shù)），
所以選項C錯誤，
對于選項D，令，則，
由，得到，
所以當時，，
當時，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
即，當且僅當時取等號，
由選項B知，
又為R上的增函數(shù)，
所以，
當且僅當時取等號，故選項D正確，
故選：ABD.
12．答案：
解析：設(shè)，
則，
若，
則，
又因為線段的中點M在x軸上，
則，
可得，即，
則，
解得，即或，
即可得或，
所以點M的橫坐標為.
故答案為：.
13．答案：
解析：因為，
所以，
又
，
，
當且僅當，時取等號，
所以的最小值為，
故答案為：.
14．答案：2；
解析：由題意，周期，
所以，
此時，
當時，可得，
則，
解得，
又，所以.
故答案為：2；.
15．答案：(1)
(2)等邊三角形
解析：(1)由正弦定理，
可化為
又中，,
則上式可化為，
又中，，則，
則上式可化為，
即，
則，
又，
則，故
(2)由，可得，
又由，可得，
則
可化為，
整理得，
又由，則，
可化為，
解之得，
則，解之得，
則的形狀為等邊三角形
16．答案：(1)能，或；
(2)證明見解析
解析：(1)設(shè)，因，則.
又由題可得的焦點為，
準線為.
則P在l上的射影H為.要使為正三角形，
則應(yīng)滿足HP中點M縱坐標為1，
且.
即，
即當或時，
能使為正三角形；
(2)由題可得滿足.
注意到，
則點處的切線斜率為：，
則相應(yīng)切線為：.
代入，可將切線方程化簡為：.
令，可得.
又，
則，
得，
又，則.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)如圖，作于點H，
因為平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
所以點A到平面的距離為.
(2)由(1)，平面，平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
，所以平面，
又，，所以，
如圖，以點A為坐標原點，過點A垂直于的為x軸，
，分別為y，z軸的空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，，
，
又平面，且，
設(shè)平面與平面的夾角為，
，
.
所以平面與平面的夾角的正弦值為.
18．答案：(1)
(2)證明見詳解
(3)
解析：(1)因為，
則，
則，，
即切點坐標為，切線斜率，
則切線方程為，
若切線過原點，則，
解得.
(2)若，則，
構(gòu)建，
則，
令，
則，
即恒成立，則在R上單調(diào)遞增，且，
當時，，即；
當時，，即；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，所以.
(3)若在上單調(diào)遞增，
當，則在上單調(diào)遞增，符合題意；
當，則在上單調(diào)遞增，符合題意；
當，由(1)可知：，
則在上恒成立，
設(shè)，則，
且，則，解得，
若，可知在上單調(diào)遞增，
則，
可知在上單調(diào)遞增，
則，符合題意；
綜上所述：a的取值范圍為.
19．答案：(1)1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7.
(2)證明見解析；
(3)13.
解析：(1)由題可得，
令，為使任意連續(xù)三項的和都能被3整除，
則或；
令，則；令，
則不存在滿足題意；，則.
綜上，滿足的數(shù)列為：1，2，3，7；1，2，6，7；
1，3，5，7；，1，5，6，7；
(2)證明：設(shè)這樣的數(shù)列對應(yīng)的公比為q，
則相應(yīng)的四項，從小到大排列為1，q，，
要使任意連續(xù)三項的和都能被3整除，
則，能被3整除，
即被3整除即可
考慮集合，當時，
一定能被3整除，
因中的元素有無窮多個，
則存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個；
(3)設(shè)，，
因，都能被3整除，
，則.
若，因，都能被3整除，則；
則要使能被3整除，有.
令，，為使最小，
應(yīng)讓，，間的差值最小，
則，，
又，則，
即當時，最小值為5；
若，因，都能被3整除，則；
結(jié)合，則要使能被3整除，有.
令，，
為使最小，應(yīng)讓間的差值最小，
則，，
又，則，
即當時，最小值為13；
若，因，都能被3整除，則；
結(jié)合，則要使能被3整除，有.
令，，為使最小，
應(yīng)讓，，間的差值最小，
則，，
又，則，
即當時，最小值為9.
綜上，當存在，，，使得數(shù)列，，，，是數(shù)列，
整數(shù)t的最小值是13.

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