知識講解
拋物線的光學(xué)性質(zhì)
如圖 1 所示, 從拋物線的焦點 發(fā)出的光線, 被拋物線反射后, 得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行 (或重合) 的光線;
如圖 2 所示, 設(shè)拋物線在 處的切線 l交對稱軸于點 上切線 l交對稱軸于點 , 則焦點 是 的中點.

圖1 圖2
2. 橢圓的光學(xué)性質(zhì)
如圖 3 所示, 從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線, 被橢圓反射后,必定經(jīng)過另一個焦點;
如圖 4 所示, 橢圓在點 處的切線為 , 直線 交直線 于點 , 則 平分 , 由角平分線性質(zhì)定理, .

圖3 圖 4
3. 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
如圖 5 所示, 從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線, 被雙曲線反射后, 反射光線的反向延長線交于另一個焦點;
如圖 6 所示, 雙曲線在點 處的切線 與直線 相交于點 , 則 平分 , 由角平分線性質(zhì)定理,

圖5 圖6
考點一、橢圓中的光學(xué)性質(zhì)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點，設(shè)橢圓方程，，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關(guān)于l的對稱點為M，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關(guān)于的對稱點為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點共線.若，，則 .
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點為，，若由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.對于橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為，在上的射影為，其中.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點（點在軸上方）.點，是橢圓上異于，的兩點，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.
1．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個集點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點.如圖，膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡.它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓.為了使影片門（電影膠片通過的地方）處獲得最強的光線，燈絲，與影片門應(yīng)位于橢圓的兩個焦點處.已知橢圓：，橢圓的左右焦點分別為，，一束光線從發(fā)出，射向橢圓位于第一象限上的Р點后反射光線經(jīng)過點，且，則的角平分線所在直線方程為 .
3．（2023·四川成都·川大附中校考二模）橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：上、下頂點分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點M后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點．（提示：光線射到曲線上某點并反射時，法線垂直于該點處的切線）
考點二、雙曲線中的光學(xué)性質(zhì)
1．（2023·四川綿陽·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測）智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線．如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．已知入射光線斜率為，且和反射光線PE互相垂直（其中P為入射點），則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（ ）
A．的漸近線方程為B．
C．過點作，垂足為，則D．四邊形面積的最小值為
4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時，求雙曲線的標準方程；
(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.
1．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5
D．若點坐標為，直線與相切，則
2．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.已知為坐標原點，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且在第一象限，，的內(nèi)心分別為，，其內(nèi)切圓半徑分別為，，的內(nèi)心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（ ）
A．點、均在直線上B．直線的方程為
C．D．
3．（2023·山東煙臺·?？寄M預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點．如圖，從雙曲線的右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點），則雙曲線的漸近線方程為 ．
4．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則 ．
考點三、拋物線中的光學(xué)性質(zhì)
1．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃└鶕?jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于B點，則 .
2．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個焦點，一光線從焦點發(fā)出，射到鏡面上點，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（ ）

A．6B．8C．D．29
4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點M，經(jīng)點M反射后與C交于另一點N．若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動點，焦點，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為B．的方程為
C．的最小值為D．的最小值為
3．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點關(guān)于x軸的對稱點在直線上
C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線
D．直線與間的距離最小值為4
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點.已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（ ）

A．若的方程為，則
B．若的方程為，且，則
C．分別延長交于點，則點在的準線上
D．拋物線在點處的切線分別與直線，所成角相等
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點發(fā)射平行于軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于點，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點反射后，分別經(jīng)過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：從拋物線焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線對稱軸平行，已知、分別為拋物線的焦點和內(nèi)側(cè)一點，拋物線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考二模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，現(xiàn)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點是它的焦點，長軸長為4，焦距為2，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上.請根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓相切于點，且，關(guān)于直線的對稱點為，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．，，三點共線
C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點；反之，由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點反射后，再經(jīng)C上另一點反射后，沿直線射出，則（ ）
A．B．
C．延長（為坐標原點）交直線于點，則軸D．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）
A．
B．延長交直線于點，則，，三點共線
C．
D．若平分，則
10．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．當(dāng)n過時，光由所經(jīng)過的路程為13
C．射線n所在直線的斜率為k，則
D．若，直線PT與C相切，則
11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點為在第一象限上的點，點在延長線上，點的坐標為，且為的平分線，則下列正確的是（ ）
A．
B．
C．點到軸的距離為
D．的角平分線所在直線的傾斜角為
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖1，，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點.若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．若，則
B．點到的漸近線的距離為
C．當(dāng)過點，光由所經(jīng)過的路程為13
D．射線所在直線的斜率為，則
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，則（ ）
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為
B．若，則
C．當(dāng)n過點時，光線由所經(jīng)過的路程為8
D．反射光線n所在直線的斜率為k，則
14．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M（5，2）射入，經(jīng)過C上的點P反射，再經(jīng)過C上另一點Q反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N.下列說法正確的是（ ）
A．
B．若延長PO交直線于D，則點D在直線上
C．MQ平分∠PQN
D．拋物線C在點P處的切線分別與直線、FP所成角相等
15．（2023秋·江西宜春·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（ ）
A．平分
B．
C．延長交直線于點，則三點共線
D．
三、填空題
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“雙曲線新聞燈”的研制是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點.已知一個“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其方程為，離心率為，為其右焦點.若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點和反射，，為反射光線，且滿足，則 .
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.如圖②，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖③，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構(gòu)成，已知與的離心率之比為.現(xiàn)一光線從右焦點發(fā)出，依次經(jīng)與的反射，又回到了點，歷時秒.將裝置中的去掉，如圖④，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時 .秒
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個焦點．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為 ．
19．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的、兩點反射后，分別經(jīng)過點和，且，，則的離心率為 .
20．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）歷史上第一位研究圓錐曲線的數(shù)學(xué)家是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓的中心在坐標原點，分別為其左、右焦點，直線與橢圓相切于點（點在第一象限），過點且與切線垂直的法線與軸交于點，若直線的斜率為，，則橢圓的離心率為 .
21．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？家荒＃佄锞€的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點處的點光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對稱軸平行．已知拋物線的焦點為F，直線，點P，Q分別是C，l上的動點，若Q在某個位置時，P僅存在唯一的位置使得，則滿足條件的所有的值為 ．
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為 ．
四、雙空題
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由拋物線焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射之后對稱軸方向射出．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線：，一條光線經(jīng)過點，沿與軸平行方向射到拋物線上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過點射出，則 ，光線從點到點經(jīng)過的總路程為 ．
24．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線：（）焦點為，準線為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點（點在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，若直線與拋物線的準線交于點，則直線的斜率為 ；若，且平分，則 .
25．（2023·江蘇常州·校考二模）歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：
（1）橢圓C的離心率為 ．
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為 ．

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