知識講解
新定義問題的解決策略
第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉化為代數(shù)式，并進行化簡;第二步，數(shù)形結合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉化思想，將新定義問題和自己所學的知識結合起來轉化為自己熟悉的知識進而求解
考點一、導數(shù)中的新定義問題
1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點”.若函數(shù)，的“奮斗點”分別為，，則，的大小關系為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線在點處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)，的定義域都是，直線與，的圖象分別交于，兩點，若線段的長度是不為的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”設，且，為區(qū)間的“平行曲線”其中，在區(qū)間上的零點唯一，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）（多選）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數(shù)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程的解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預測）定義一個可導函數(shù)在定義域內(nèi)一點處的彈性為，請寫出一個定義在正實數(shù)集上且任意一點處的彈性均為的可導函數(shù) ．
4．（2022·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導，我們通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做的二階導數(shù)，記作.類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，記作，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……一般地，階導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
(2)比較（1）中與的大小.
(3)證明：.
8．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.
(1)當時，過坐標原點作曲線的切線，求切線方程；
(2)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，對任意，若在上恒成立，則稱點為函數(shù)的“好點”，求函數(shù)在上所有“好點”的橫坐標（結果用表示）.
【基礎過關】
一、單選題
1．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學?？奸_學考試）在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在一點的鄰域中的值，常見的公式有：；.則利用泰勒公式估計的近似值為（ ）（精確到）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習）給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學?？茧A段練習）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，若存在，使得．則稱為函數(shù)在上的“中值點”．下列函數(shù)，其中在區(qū)間上至少有兩個“中值點”的函數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“新駐點”，下列函數(shù)中，具有“新駐點”的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全國·高三專題練習）記、分別為函數(shù)、的導函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”，則下列說法正確的為（ ）
A．函數(shù)與存在唯一“點”
B．函數(shù)與存在兩個“點”
C．函數(shù)與不存在“點”
D．若函數(shù)與存在“點”，則
7．（2023·全國·高三專題練習）定義是的導函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結論判斷下列命題，其中正確命題是（ ）
A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)
B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個對稱中心
C．存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心
D．若函數(shù)，則
三、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則 .
9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數(shù)，是的導函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點（x，f（x））處的曲率，則曲線在（1，1）處的曲率為 ；正弦曲線（x∈R）曲率的平方的最大值為 .
四、雙空題
10．（2022秋·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數(shù)，則的拐點為 ， .
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)是的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（ ）
A．2021B．C．2022D．
2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習）設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為.若在區(qū)間上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知實數(shù)是常數(shù)，.若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大為（ ）
A．3B．2C．1D．-1
二、多選題
3．（2022·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關于函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”個數(shù)為，則有（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，，.）
A．B．C．D．
4．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿足，則稱，為上的“對望數(shù)”.已知函數(shù)為上的“對望函數(shù)”.下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”
B．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”
C．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”
D．若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上單調
5．（2022秋·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)，記為.
若二元函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．的最小值為
D． 的最小值為
6．（2023·安徽淮北·高三校考開學考試）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點為，且不等式對任意恒成立，則（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
7．（2022·全國·高三專題練習）定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（ ）
A．在上是“弱減函數(shù)”
B．在上是“弱減函數(shù)”
C．若在上是“弱減函數(shù)”，則
D．若在上是“弱減函數(shù)”，則
三、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習）丹麥數(shù)學家琴生是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為 .
①函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”；
②函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”為；
③函數(shù)在為“嚴格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.
四、解答題
9．（2022·湖南·模擬預測）設為的導函數(shù)，若是定義域為D的增函數(shù)，則稱為D上的“凹函數(shù)”，已知函數(shù)為R上的凹函數(shù)．
(1)求a的取值范圍；
(2)設函數(shù)，證明：當時，，當時，．
(3)證明：．
10．（2022·全國·高三專題練習）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導，我們通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做的二階導數(shù)，記作．類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，記作，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)……一般地，階導數(shù)的導數(shù)叫做階導數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式．例如，在點處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大?。?br>（3）已知不小于其在點處的階泰勒展開式，證明：．

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