湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期選科考試（12月聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的定義求解即可.
【詳解】，故.
故選：D
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求得正確答案.
【詳解】在上單調(diào)遞增，
，
所以的零點(diǎn)在區(qū)間.
故選：B
3. 若函數(shù)，則f(f(10)=
A. lg101B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【詳解】因?yàn)?，所?
所以,故選B.
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問(wèn)題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量的取值對(duì)應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能應(yīng)用，來(lái)年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對(duì)應(yīng)區(qū)間上的解析式，千萬(wàn)別代錯(cuò)解析式.
4. 在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)單位圓及正弦函數(shù)的定義得解.
【詳解】由題意，，解得，
所以，
故選：D
5. 函數(shù)圖象大致為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函數(shù)定義域，排除A，再根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再通過(guò)特殊值排除D得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，排除A項(xiàng)；
∵，∴是奇函數(shù)，排除C項(xiàng)；
再取特殊值當(dāng)時(shí)，，排除D項(xiàng).
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)解析式選函數(shù)圖象問(wèn)題，考查函數(shù)的定義域，奇偶性，函數(shù)值等性質(zhì)，是中檔題.
6. 生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒(méi)有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2提高到3，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知代入豐富度指數(shù)公式，然后兩式消去后，由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)論．
【詳解】由已知，，所以，即，∴，
故選：D．
7. 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式的知識(shí)求出的最小值即可.
【詳解】不等式有解，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，
，，，
實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
8. 已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合即可解答.
【詳解】
依題意，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)解，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，
由函數(shù)函數(shù)可知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；
結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 小于的角是銳角
B. 與終邊相同的角可表達(dá)為，
C. 鈍角是第二象限角
D. 經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)任意角與銳角的定義判斷即可；對(duì)B，根據(jù)弧度與角的關(guān)系判斷即可；對(duì)C，根據(jù)鈍角的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)4小時(shí)時(shí)鐘的旋轉(zhuǎn)角度占時(shí)鐘一周角的比例，結(jié)合角度的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)A，小于的角還包括和負(fù)角度的角，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，其終邊與角相同，又，也為終邊與角相同的角，故B正確；
對(duì)C，鈍角是第二象限角，故C正確；
對(duì)D，時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)為順時(shí)針，故經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了，故D正確.
故選：BCD
10. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 命題“”的否定是“”
B. 是的必要不充分條件
C. 的單調(diào)減區(qū)間為
D. 函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)命題否定形式可得A正確，再由充分、必要條件定義可得B正確，由冪函數(shù)性質(zhì)可得C錯(cuò)誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D正確.
【詳解】對(duì)于A，易知命題“”的否定是“”，故A正確；
對(duì)于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，
故是的必要不充分條件，故B正確；
對(duì)于C，fx=1x的單調(diào)減區(qū)間為，不能用并集符號(hào)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由且可令，解得，
又，故函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故D正確.
故選：ABD
11. 已知，，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判斷AB選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)判斷C選項(xiàng)，運(yùn)用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷D.
【詳解】因?yàn)?，?br>對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵，∴，∴在R上單調(diào)遞增，
∵，∴，即，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，由得，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)弧度值的定義，結(jié)合扇形面積公式求解即可.
【詳解】由題意，，故這個(gè)扇形的半徑，面積為.
故答案：
13. 已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值范圍_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)閒x在上單調(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
則取值的范圍為.
故答案為：.
14. 若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.
【答案】
【解析】
【分析】由的范圍求得的范圍，用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值即可得的范圍．
【詳解】時(shí)，，設(shè)，則，
，
∴時(shí)，
所以，
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 化簡(jiǎn)求值：
（1）
（2）．
【答案】（1）4 （2）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
原式．
【小問(wèn)2詳解】
原式
．
16. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．
（1）求證：是偶函數(shù)；
（2）設(shè)時(shí)，
①求證：在上是減函數(shù)；
②求不等式的解集．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）①證明見(jiàn)解析；②或或x>1
【解析】
【分析】（1）函數(shù)性質(zhì)先計(jì)算，令即可證明；
（2）①設(shè)，則,由通過(guò)性質(zhì)可得出即可證明；②由是偶函數(shù)原不等式可得，再利用函數(shù)在上是減函數(shù)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
取得，即，
取得，即，
取，得，即是偶函數(shù)；
【小問(wèn)2詳解】
①設(shè)，則，
由時(shí)，得，
則，
即在上為減函數(shù)，
②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，
則不等式等價(jià)為，
即得，
得得，
即或或，
即不等式的解集為或或x>1..
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在②中解題關(guān)鍵點(diǎn)利用的單調(diào)性解不等式，本題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.
17. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求的解析式；
（2）若正數(shù)滿足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)“1”的變形技巧，利用基本不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減.
，解得，
.
【小問(wèn)2詳解】
，正數(shù)滿足，
，
都是正數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
的最小值為24.
18. “大禹門前樹(shù)，千年苔子茶.”11月21日18時(shí)許，中央廣播電視總臺(tái)綜合頻道推出系列紀(jì)錄片《農(nóng)耕探文明》，本期正好關(guān)注到《四川北川苔子茶復(fù)合栽培系統(tǒng)》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費(fèi)者青睞.經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無(wú)苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感.經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)分鐘后的溫度為且滿足.
（1）求常數(shù)的值；
（2）經(jīng)過(guò)測(cè)試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）
（2）9.5分鐘
【解析】
【分析】（1）代入求解即可；
（2）根據(jù)題意列式求解方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
茶水溫度從開(kāi)始
當(dāng)時(shí)，，
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感
19. 已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）解不等式；
（3）設(shè)函數(shù)，若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)利用可得，經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意；
（2）根據(jù)（1）中解析式判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)解不等式可得結(jié)果；
（3）依據(jù)題意可得只需滿足，結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槎x域是上的奇函數(shù)，
所以，即
解得.
經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，是奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，則，
因?yàn)樵谏线f增，且在上遞減，
所以是上減函數(shù)，
又因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù)，
則可轉(zhuǎn)化為，
且在是減函數(shù)，則，
整理得，解得或，
可得或，
所以不等式的解集為或.
【小問(wèn)3詳解】
由題意可得
因?yàn)?，即，則，可得，
所以的值域是，
若，使成立，只需，
設(shè)，則
可知在[1，2]上單調(diào)遞增，
可知，
即時(shí)，取到最大值為，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí)關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解的問(wèn)題，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算解不等式即可.

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