拋物線與a,b,c的關(guān)系
y=a(x-h)2＋k
y=a(x-x1)(x-x2)
【例1-1】(2015·T6)已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過(-2,0),(2,3)兩點(diǎn),那么拋物線的對稱軸( ) A.只能是x=-1 B.可能是y軸 C.在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè) D.在y軸左側(cè)
【變式】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,并經(jīng)過(2,-3),(-2,0)兩點(diǎn),那么該函數(shù)圖象的對稱軸( ) A.有可能為y軸 B.有可能在y軸的右邊且在直線x=2的左邊 C.有可能是直線x=-2 D.有可能是直線x=2
【例1-2】對于二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a+3的性質(zhì),下列說法中錯(cuò)誤的是( ) A.拋物線的對稱軸為直線x=1 B.拋物線一定經(jīng)過兩定點(diǎn)(-1,3)和(3,3) C.當(dāng)a＜0時(shí),拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn) D.當(dāng)a＞0時(shí),拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(2)拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-2,3),則2c-4b-9的值是( ) A.5 B.-1 C.4 D.18
【例2-1】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,下列結(jié)論：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c＜0；④b-4a=0；⑤方程ax2+bx=0的兩根為x1=0,x2=-4.其中正確的結(jié)論有( 　) A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤
【例2-2】在同一坐標(biāo)系中,直線y=-mx+n2與拋物線y=x2+m的圖象可能是( )
【變式】已知a≠0,在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax與y=ax2的圖象有可能是( )
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h+m)2+k
y=a(x-h-m)2+k
y=a(x-h)2+k+m
y=a(x-h)2+k-m
y=(x+1)2-4
y=-(x+1)2+4
y= (x-1)2-4
y=-(x-1)2+4
y=-(x+1)2-4
對稱點(diǎn)(-x,-y)
代入y=x2+2x-3
【例3】(1)把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個(gè)單位長度，那么平移后拋物線的解析式是_____________________.(2)將拋物線y=(x-1)2+2繞關(guān)于直線x=-1對稱的新拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式是____________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
【例4】(1)已知二次函數(shù)y=x2-3x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實(shí)數(shù)根是(　 ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3(2)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象則不等式的ax2+bx+c＜0解集是( 　) A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3
1.拋物線y=(x-m)2+(m+1)的頂點(diǎn)在第一象限,則m的取值范圍為( ) A.m＞1 B.m＞0 C.m＞-1 D.-1＜m＜02.已知a＞1,點(diǎn)(a-1,y1)(a,y2)(a+1,y3)都在函數(shù)y=x2+5的圖象上,則( ) A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y33.已知二次函數(shù)y=x2-2x-3,當(dāng)0≤x≤3時(shí),y的最大值和最小值分別是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0，04.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,兩條拋物線有相同的對稱軸,則下列關(guān)系正確的是( ) A.m=n,k＞h B.m=n,k＜h C.m＞n,k=h D.m＜n,k=h
5.拋物線y=(x+3)(x-1)的對稱軸是直線_______.6.若拋物線y=x2-8x+c的頂點(diǎn)在x軸上,則c=______.7.若拋物線y=x2-4x+k的頂點(diǎn)在x軸下方,則k的取值范圍是______.8.若拋物線y=x2-2x+m-4與x軸有交點(diǎn),則m的取值范圍是____________.9.若拋物線y=x2+2x+c與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),則c的值為______.10.若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則m=______.11.已知二次函數(shù)y=(a-2)x2+a2-2的最高點(diǎn)為(0,2)則a=______.12.拋物線y=(m+1)xm2-m+3,當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而增大,則m=_____.
1.下列關(guān)于拋物線的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性質(zhì)中不一定成立的是( )A.該圖象的頂點(diǎn)為(1,-4a)； B.該圖象與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),(3,0)；C.當(dāng)x＞1時(shí),y隨x的增大而增大；D.若該圖象經(jīng)過(-2,5),一定經(jīng)過(4,5).2.拋物線y=(x-t)(x-t-2)(t為常數(shù))與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),則下列說法不正確的是( ) A.點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(t,0)(t+2,0) B.AB為定值 C.當(dāng)y≥0時(shí),t≤x≤t+2 D.y的最小值為-13.一元二次方程x2-mx+n=0無實(shí)根,拋物線y=x2-mx+n圖象位于( ) A.x軸上方 B.第一二三象限 C.x軸下方 D.第二三四象限
4.已知在二次函數(shù)y=ax2-2x-3a的圖象有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,-3),其中x1＜-1,0＜x2＜3,則y2-y1的值為( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.0 D.非負(fù)數(shù)5.如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是( ) A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b＜2a D.ac＜06.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,y與x的部分對應(yīng)值如下表：根據(jù)表中信息,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.其圖象開口向下； B.其圖象的對稱軸為直線x=2 C.方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根大于5； D.當(dāng)x＜1時(shí),y隨x的增大而增大
用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象
7.拋物線y=(x-t)(x-t-2)(t為常數(shù))與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),則下列說法不正確的是( ) A.點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(t,0)(t+2,0) B.AB為定值 C.當(dāng)y≥0時(shí),t≤x≤t+2 D.y的最小值為-118.關(guān)于拋物線y=x2-(a+1)x+a-2,下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.開口向上 B.不論a為何值,都過定點(diǎn)(1,2) C.當(dāng)a=2時(shí),經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O D.當(dāng)a＞0時(shí),對稱軸在y軸的右側(cè)9.已知拋物線y=ax2-4ax+m(a＞0)與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為(-2,3),則關(guān)于x的一元二次方程ax2-4ax+m-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是____________.
10.拋物線y=ax2+c與坐標(biāo)軸交于A(-2,0),B、C(0,-4)三點(diǎn),S△ABC=___.11.拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)(-3,0),(1,0),則b∶a=______.12.已知點(diǎn)(m,n)在y=ax2+a(a≠0)的圖象上,點(diǎn)(-m,n)____(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a≠0)的圖象上.13.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)如下表,則該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________.14.根據(jù)下列表格的值：判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0)一個(gè)解的范圍是( ) A.3.1＜x＜3.2 B.3.2＜x＜3.3 C.3.3＜x＜3.4 D.3.4＜x＜3.5
15.拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖,則方程ax2+bx+c-8=0 的根的情況是___________________.16.若拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在第一象限,則方程x2+bx+c=0 的根的情況是__________.17.函數(shù)y=ax2+2ax+m(a＜0)的圖象過點(diǎn)(2,0),則使函數(shù)值y＜0成立的x的取值范圍是_____________.18.已知拋物線y=ax2-4ax+m(且a＞0)與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為(-2,3),則關(guān)于x的一元二次方程ax2-4ax+m-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是___________.
19.拋物線y=ax2+2ax+m(a＜0)過點(diǎn)(2,0),若y＜0,x的取值范圍__________.20.若拋物線y=x2+2x+c與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),則c的值為______.21.如圖,二次函數(shù)y=-x2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),等腰直角△ACD的直角頂點(diǎn)D在x軸上,AD=3.現(xiàn)將△ACD沿x軸的正方向平移,則當(dāng)點(diǎn)C在函數(shù)圖象上時(shí),△ACD的平移距離為______.22.如圖,拋物線y=ax2-4x+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸交與點(diǎn)A(-4,0).若在拋物線上存在一點(diǎn)P,滿足S△AOP=8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)___________________________.
23.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,y與x的部分對應(yīng)值如下表：根據(jù)表中信息,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.其圖象開口向下. B.方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根大于5. C.其圖象的對稱軸為直線x=2. D.當(dāng)x＜1時(shí),y隨x的增大而增大.
24.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的表達(dá)式.
解:∵拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同
又∵頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,
∴頂點(diǎn)為(1,5)或(1,-5)
(1)y=(x-1)2+5 (2)y=(x-1)2-5
(3)y=-(x-1)2+5 (4)y=-(x-1)2-5
25.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù), 求正整數(shù)m的值．
(1)證明：∵m≠0， ∴Δ=(m+2)2-4m×2 =m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0， ∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)解:令y=0,則(x-1)(mx-2)=0， ∴x-1=0或mx-2=0， 解得 x1=1,x2=2/m. 當(dāng)m為正整數(shù)1或2時(shí),x2為整數(shù),即拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)． ∴正整數(shù)m的值為1或2.

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