1. 中國古代著作《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負數(shù)，如果某天中午的氣溫是，記作，那么這天晚上的氣溫是零下可記作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】某天中午的氣溫是，記作，那么這天晚上的氣溫是零下可記作，
故選：A．
2. 截至2022年底，我國海上風(fēng)電累計裝機已超千瓦，連續(xù)兩年位居全球首位，占比達一半左右．將數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故選：B．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 與不是同類項，不能合并，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
4. 如圖，A地和B地都是海上觀測站，A地在燈塔O的北偏東方向，B地在燈塔O的西北方向，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵A地在燈塔O的北偏東方向，B地在燈塔O的西北方向，
∴， ，
∴，
故選：A．
5. 如圖，點C為線段AB上一點，若，，則（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 4
【答案】D
【解析】∵點C在線段AB上，，，
∴．
故選：D．
6. 如果，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.將兩邊同時乘以可得，結(jié)論正確，故不符合題意；
B.將兩邊同時減可得，結(jié)論正確，故不符合題意；
C.當(dāng)時，變形錯誤，故符合題意；
D.將兩邊同時加上可得，結(jié)論正確，故不符合題意；
故選：C．
7. 若表示a、b兩數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】觀察數(shù)軸可知：，，，
∴，，，，
∴A，C，D選項錯誤，B選項正確，
故選：B．
8. 若的值為5，則值為（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】∵，則
∴，
故選：C．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 如果，那么點C為線段中點．
B. 把彎曲的公路改直，就能縮短路程，數(shù)學(xué)原理是“兩點確定一條直線”．
C. 如果，，，那么A，B，C三點在一條直線上．
D. 已知且，依據(jù)“同角的補角相等”可得．
【答案】C
【解析】A．如果，點C不一定在線段上，所以錯誤，不符合題意；
B．把彎曲的公路改直，就能縮短路程，數(shù)學(xué)原理是“兩點之間線段最短”，所以錯誤，不符合題意；
C．如果，，，那么A，B，C三點在一條直線上，正確，符合題意；
D．已知且，依據(jù)“同角的余角相等”可得，所以錯誤，不符合題意．
故選：C．
10. 已知關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為（ ）
A. 8B. 5C. 3D. 1
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
，
∵關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，k為整數(shù)，
∴或，
解得：或，
∴和為．
故選：B．
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 2024的倒數(shù)是______．
【答案】
【解析】，
2024的倒數(shù)是，
故答案為：．
12. 單項式的系數(shù)為______．
【答案】
【解析】單項式的系數(shù)為．
故答案為：．
13. 一個角的余角等于，那么這個角等于______度．
【答案】30
【解析】∵一個角的余角等于，
∴這個角為．
故答案為：30．
14. 《九章算術(shù)》中記載了一個問題，大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程______．
【答案】
【解析】設(shè)人數(shù)為x，根據(jù)題意得：
，
故答案為：．
15. 如果，那么的值為______．
【答案】3
【解析】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為：3．
16. 將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，，為折痕，若點的對應(yīng)點恰好落在折痕上，且，則______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】設(shè)，則，
∵折疊，
∴，
又∵
即
∴
∴，
故答案為：．
三、解答題（本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18. 解方程：
（1）
（2）
解：（1），
移項，，
合并同類項，，
化系數(shù)為1，；
（2），
去分母，，
去括號，，
移項，，
合并同類項，，
化系數(shù)為1，．
19. 先化簡，再求值：，其中，
解：
當(dāng)，時，原式
20. 如圖，已知，，若平分，求的度數(shù)．

解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
21. 一段公路甲隊單獨修需30天，乙隊單獨修需20天．先由甲隊單獨修路10天后，再由甲、乙兩隊共同修路，還需多少天才能修完？(列方程解決問題)
解：設(shè)還需天能修完，
由題意得：
解得：，
答：還需天能修完．
22. 如圖，點C為線段上一點，點D為線段延長線上一點且滿足，
（1）尺規(guī)作圖：根據(jù)題意補全圖形；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若，，求線段的長．
解：（1）如圖，線段即為所求作的線段，
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 某超市用3000元購進蘋果、桔子兩種水果共500千克，這兩種水果的進價、標(biāo)價如下表所示：
（1）這兩種水果各購進多少千克？
（2）若蘋果按標(biāo)價的八折出售，桔子也打折出售，那么這兩種水果全部售出后，要使超市獲利率為，桔子應(yīng)打幾折出售？
解：（1）設(shè)購買蘋果x千克，桔子購進千克，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴桔子購進（千克），
答：購買蘋果375千克，桔子購進125千克．
（2）設(shè)桔子應(yīng)打y出售，根據(jù)題意得：
，
解得：，
答：桔子應(yīng)該打折出售．
24. 綜合與實踐：
某校七年級開展了“制作正方體紙盒”的實踐活動課，他們利用長為（），寬為（）的長方形紙板設(shè)計并制作出正方體盒子（紙板厚度及接縫處忽略不計），有以下兩種設(shè)計方案：
方案一：（設(shè)計無蓋正方體盒子）如圖1，當(dāng)，在紙板四角剪去四個同樣大小的小正方形，再沿虛線折合起來就可以做成一個棱長為（）的無蓋的正方體紙盒；
方案二：（設(shè)計有蓋正方體盒子）如圖2，當(dāng)，在紙板四角剪去兩個同樣大小的長方形和兩個同樣大小的正方形，剩余部分折合起來恰好可以做成一個有蓋的正方體紙盒，其棱長與方案一中的無蓋正方體棱長大小一樣，請你在圖2中畫出符合要求的設(shè)計圖；
問題解決：（1）根據(jù)方案一的操作，你發(fā)現(xiàn)與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；
（2）根據(jù)方案二的操作，你發(fā)現(xiàn)與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；
實際應(yīng)用：（3）如圖3，將一張長，寬的紙板剪掉部分長方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六個同樣大小的正方形，且折合起來得到一個有蓋的正方體紙盒，求該正方體紙盒表面積的最大值．
解：（1）如圖1，
∵，
∴；
（2）如圖2，
∵，，
∴；
（3）如圖3，
因為正方體的11種展開圖中分為3類中，橫排至少4個面，
∴正方體的棱長最大是，
∴表面積最大為：．
25. 如圖1，點O在直線上，射線、在直線上方，，．

（1）若，請說明射線是的角平分線；
（2）射線在直線上方，平分，，
①當(dāng)時，求的度數(shù)
②當(dāng)時，是否存在常數(shù)k使得的值為定值？若存在，請求出常數(shù)k的值，若不存在，請說明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴射線是的角平分線．
（2）設(shè)度，則度，
，
①當(dāng)在左側(cè)時，如圖所示：

則，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)在左側(cè)時，如圖所示：

，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
綜上分析可知，或；
②存在；
∵，，
∴一定在內(nèi)部，如圖所示：

∵，，
又∵平分，
∴，
∵，
，
∴
，
∴當(dāng)，即時，定值．
類型價格
蘋果
桔子
進價（元/千克）
7
3
標(biāo)價（元/千克）
10
6

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