一、單選題
1．，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算可得，即可得共軛復數(shù).
【詳解】由可得，
整理可得，則.
所以.
故選：A.
2．已知半徑為2的圓上有兩點，，，設向量，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．6B．3C．1D．
【答案】C
【分析】確定，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律，展開計算，可得答案.
【詳解】由題可得，，，
因為，，且，
所以
，解得.
故選：C.
3．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】D
【分析】對于AB：以正方體為載體，舉反例說明即可；對于CD：面面平行、垂直分析判斷即可.
【詳解】作正方體，
對于A，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，
則，但直線異面，故A選項錯誤；
對于B，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，
則，但直線不垂直，故B選項錯誤；
對于C：若，，，則，故C選項錯誤；
對于D：若，，，則，故D選項正確.
故選：D.
4．若函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得f?x=fx，依題求導得，利用導數(shù)的幾何意義計算即得.
【詳解】由是偶函數(shù)，可得f?x=fx，
求導可得，
令，可得：，則有，
即曲線y=fx在處的切線斜率為.
故選：B.
5．在正方體中，，分別是棱，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一：利用坐標法可得異面直線夾角余弦值；法二：根據(jù)異面直線夾角的定義可得角.
【詳解】法一：
如圖，以為原點，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，，
從而，，
故，
即異面直線與所成角的余弦值是；
法二：
如圖所示，取中點，連接，，，，
由正方體可知，
則異面直線與所成角即為直線與所成角，
設，則，，
由正方體可知，平面，
即，，
則，
在中，由余弦定理，
則直線與所成角的余弦值為，
即異面直線與所成角的余弦值為，
故選：C.
6．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合其圖象關于點對稱，可推出輔助角的表達式，結(jié)合其意義求得的值，再由結(jié)合函數(shù)最值以及周期，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，，
由于函數(shù)的圖象關于點對稱，
故，，可得，，
由于，
故，，
因為，，
故，可得最小正周期為，
由于，
故，中的一個為函數(shù)最大值，另一個為最小值，
即的最小值為.
故選：D.
7．已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】分析可知數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，進而可得，根據(jù)題意利用裂項相消法可得，運算求解即可.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，可得，
可得數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，
則，即，
則，
可得
，
因為，可得，解得，
即所求的最大值為6.
故選：B.
8．在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點、、、都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過點在平面內(nèi)作，垂足點為，取線段CD的中點，連接、，分析可知，三棱錐的外接球的球心為中點，設球的半徑為，利用錐體的體積公式可求出的值，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】解：過點在平面內(nèi)作作，垂足點為，
取線段CD的中點，連接、，如下圖所示：
因為，，則，
所以，三棱錐的外接球的球心為中點，
因為平面平面，平面平面，，
平面，則平面，
設球的半徑為，則，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱錐的體積為，
解得，因此，球的表面積為.
故選：A.
二、多選題
9．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的命題是（ ）
A．在中，若，則
B．若，，，則有兩個解
C．若，則是等腰三角形或直角三角形
D．若，則角
【答案】AC
【分析】對于A：利用正弦定理邊化角即可得結(jié)果；對于B：利用正弦定理可得，結(jié)合即可得結(jié)果；對于C：由倍角公式可得，即可得結(jié)果；對于D：利用余弦定理邊化角即可得結(jié)果.
【詳解】對于A，在中，由正弦定理知，，
結(jié)合大邊對大角可得，故A正確；
對于B，因為，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一個解，故B錯誤；
對于C，因為，由正弦定理得：，則，
因為，可知或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C正確；
對于D，因為，
由余弦定理得：，即，
因為，所以或，故D錯誤.
故選：AC.
10．（多選）已知數(shù)列滿足，，設，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】對于A，只需要依次對賦值計算即得；對于B，先推理得到，由得，從而得數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，由通項公式計算即得；對于C，利用錯位相減法求和即得；對于D，根據(jù)條件將分成奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和，利用C項結(jié)論和等比數(shù)列的求和公式計算即得.
【詳解】對于A，由，因，
可得，，故A正確；
對于B，當時，
（*），
因，則，
故由（*）可得，則，
即數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，
則有，可得，故B正確；
對于C，由，
可得，
上面兩式相減可得
，
可得，故C錯誤；
對于D，由，，可得：，
則
，故D正確.
故選：ABD.
11．如圖，棱長為的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）

A．動點軌跡的長度為
B．平面截正方體所得的截面圖形的面積為
C．存在點，使得
D．若為的中點，以點為球心，為半徑的球面與四邊形的交線長為
【答案】ACD
【分析】對于A：做輔助線，可得平面平面，分析可知線段為點的軌跡，即可得結(jié)果；對于B：取中點，平面截正方體所得的截面為梯形，即可得結(jié)果；對于C：可證平面，進而分析線線垂直；對于D：分析可知球面被平面截得的小圓的半徑為2，進而求軌跡長.
【詳解】對于A：如圖，分別取，的中點，，連接，，，，

則，，可得，
且平面，平面，所以平面，
又因為，，則四邊形是平行四邊形，
可得，且平面，平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
當時，則平面，所以平面，
即線段為點的軌跡，可知，故A選項正確；
對于B：如圖，取中點，連接，，，

則由，可得平面截正方體所得的截面為梯形，
又，，，
則等腰梯形的高為
所以等腰梯形的面積為，故B選項錯誤；
對于C：連接，，

因為為正方形，則，
又因為平面，平面，則，
且，，平面，所以平面，
設平面（即與的交點為），此時平面，
所以，故C選項正確；
對于D：如圖，設，取中點，連接，則，

因為為正方形，則，
又因為平面，平面，則，
且，平面，所以平面，
可知點到平面的距離為，
又因為球的半徑為，
可得以點為球心，為半徑的球面被平面截得的小圓的半徑為，
又矩形中，，，
所求交線長為：矩形中，以為圓心，2為半徑的圓弧，如圖所示，

可知該圓弧對應的圓心角為，
所以該圓弧長為，故D選項正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：球的截面問題，通常通過作線面垂直確定截面圓的圓心，再利用勾股定理求截面圓半徑.
三、填空題
12．已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的體積是 ．
【答案】
【分析】由圓錐的側(cè)面積公式可求出母線長，再求出圓錐的高，由圓錐的體積公式即可得出答案.
【詳解】設圓錐的高為，母線長為，半徑，
因為圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，
所以，所以，
所以，
所以圓錐的體積是.
故答案為：.

13．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則 .
【答案】5
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合對數(shù)運算運算求解即可.
【詳解】因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，可得，
所以.
故答案為：5.
14．已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點作平行于直線和的平面，該平面截正四面體的截面面積為，則 .若，則數(shù)列的最大項為 .

【答案】
【分析】過點作交于點，過點作交于點，分析可知四邊形為矩形，即可得；整理可得，構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得數(shù)列單調(diào)性，進而分析求解.
【詳解】第一空：由題意得，
如圖，取中點，連接，，

在正四面體中，，均為等邊三角形，則，，
且，，平面，所以平面，
又平面，所以，
如圖，過點作交于點，過點作交于點，連接，

則，故四邊形為截面，且四邊形為矩形，
由相似知識可知，，
故；
第二空：因為，，
可得，
令，則，
而，當時，，
可知在上單調(diào)遞減，即當時，數(shù)列單調(diào)遞減，
當時，，且，，
所以數(shù)列的最大項為.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：對于數(shù)列數(shù)列的最大項，可以構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，可得數(shù)列單調(diào)性，進而分析求解.
四、解答題
15．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線與交于點，，，，底面，點是的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可證平面，結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系標點，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，則，
又因為平面，平面，則，
且，，平面，可得平面，
由平面，可得平面平面.
（2）由（1）易知，，兩兩垂直，
以直線為軸，直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

根據(jù)題可知，，，且為中點，
則，，，，，，
可得，.
設平面的法向量為，則，
令，則，，可得，
易知平面的法向量為，
設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
16．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)求角；
(3)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由可求得的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；
（2）由可得出，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；
（3）利用余弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式、正弦定理可求得的值，然后利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，
當時，，所以，，
故，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
（2）由（1）得，即.
因為，，所以，可得.
（3）由余弦定理得，
若，則，
因為，
所以，可得，即.
由正弦定理，得，，
所以，結(jié)合，可得.
所以的面積.
17．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值；
(2)
【分析】（1）將代入，利用導數(shù)的正負與原函數(shù)的增減關系，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得答案；
（2）由題意可得即恒成立，設，利用導數(shù)求出的最大值即可．
【詳解】（1）當時，，
，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，而，
因此0是在上的唯一零點，
即0是在上的唯一零點，
當變化時，，的變化情況如下表：
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
所以的極大值為，無極小值；
（2）由題意知，即，即，
設，則，
令，解得，
當，，單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，
所以，
所以．
所以的取值范圍為．
18．已知矩形中， ，，是的中點，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.

(1)證明：；
(2)已知在線段上存在點（點與點，均不重合），使得與平面所成的角的正弦值是.
①求的值；
②求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)①；②
【分析】（1）應用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直進而得出線線垂直；
（2）①先建立空間直角坐標系由線面角的正弦值即可求出比值；
②由空間向量法計算點到平面距離公式計算即可.
【詳解】（1）因為矩形，，，是中點，所以，
又，所以，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）（1）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，，，
設是的中點，因為，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，所以，
設，則，
所以則，
則.
設平面的一個法向量為，
則，
令，可得，，
即為平面的一個法向量，
設與平面所成的角為，
所以，
解得（舍去），
所以的值為.
②由①得，
所以點到平面的距離.
19．我們知道，在平面內(nèi)取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對表示.平面向量又稱為二維向量，一般地，n元有序?qū)崝?shù)組稱為n維向量，它是二維向量的推廣.類似二維向量，對于n維向量，可定義兩個向量的數(shù)量積，向量的長度（模）等：設，，則；.已知向量滿足，向量滿足
(1)求的值；
(2)若，其中.
（i）求證：；
（ii）當且時，證明：.
【答案】(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）利用定義求出，再利用錯位相減法求和即得.
（2）（i）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探其單調(diào)性推理得證；（ii）利用（i）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法求和即可推理得證.
【詳解】（1）依題意，，，
則，
于是，
兩式相減得，
所以.
（2）（i），依題意，，
設，，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當時，，
即，因此，，
所以.
（ii）由（i）知，
且，
因此
，即，
所以當且時，.
【點睛】關鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，賦值計算得到是解決第2問的關鍵.
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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