甘肅省蘭州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

說(shuō)明：本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘答案寫在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡.
第I卷（選擇題）
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得，再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】由不等式，得，所以，
又，可得.
故選：A
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可.
【詳解】由題設(shè)，的定義域?yàn)榍覇握{(diào)遞增，
又，
，
，
，
所以，所以零點(diǎn)所在區(qū)間為.
故選：.
3. 已知，則的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，得到答案.
詳解】，
故.
故選：C
4. 冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. 2或B. C. 2D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性列式即可求解.
【詳解】為冪函數(shù)，
所以，即，
即，解得或，
又在上是增函數(shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
故選：.
5. 若，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以，得，
解得或，
因?yàn)?，且?br>所以，所以，所以.
故選：.
6. 已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的圖象可能是（）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)即可得，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖象即可判斷得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，
再由指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，為單調(diào)遞增，可排除AB，
且與軸交點(diǎn)為，又，所以，即交于軸正半軸上，排除D，可知C正確；
故選：C
7. 若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列式求解即得.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，
而是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，
從而，所以，
由當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，的取值范圍為.
故選：.
8. 若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在(0,+∞)上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.
二?多選題：本大題共3個(gè)題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 若角為銳角，則角為鈍角
B. 是第三象限角
C. 若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則
D. 若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為
【答案】CD
【解析】
【分析】對(duì)于，由銳角和鈍角的定義和范圍即可判斷；對(duì)于，由與終邊相同即可判斷；對(duì)于，由題意結(jié)合三角函數(shù)余弦值的定義即可計(jì)算求解；對(duì)于，由弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式即可計(jì)算求解.
【詳解】對(duì)于，因?yàn)榻菫殇J角，所以，
所以，所以角為銳角或直角或鈍角，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，與的終邊相同是第二象限角，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)榻墙K邊過(guò)點(diǎn)，
所以，故正確；
對(duì)于，因?yàn)閳A心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，
所以扇形的半徑為，
所以該扇形面積為，故正確.
故選：.
10. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
B. 函數(shù)與是同一函數(shù)
C. 函數(shù)，則函數(shù)的值域是
D. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則定義域?yàn)?br>【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函數(shù)性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可判斷A，根據(jù)定義域及解析式可判斷B，根據(jù)值域的定義通過(guò)兩方面可驗(yàn)證C，根據(jù)抽象函數(shù)定義域可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，是減函數(shù)，在x∈1,+∞ 是減函數(shù).
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，在x∈1,+∞ 時(shí)是增函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，函數(shù)與定義域相同，解析式相同，從而與是同一函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，一方面有，.
另一方面，對(duì)任意，都有.
所以fx的值域是，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，則要使f2x+1有定義，需要，即，所以f2x+1的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，則（）
A. B. ，，使得
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的特征，可得選項(xiàng)A、C的正誤，根據(jù)基本不等式，可得選項(xiàng)B、D的正誤.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯(cuò)，C對(duì)．
由基本不等式可得，所以，則，故B錯(cuò)，D對(duì)．
故選：CD．
第II卷（非選擇題）
三?非選擇題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，將答案寫在答題卡上.）
12. 已知，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由，
∴.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由恒過(guò)定點(diǎn)得出的值，再根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等式求解.
詳解】令，得，所以，
所以，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
14. 若函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，分段探討函數(shù)的取值，再利用函數(shù)在開區(qū)間上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
畫出圖象，如圖所示：

由在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，
得，，則，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）化簡(jiǎn)：.
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；
（3）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.
【小問(wèn)1詳解】
原式
.
【小問(wèn)2詳解】
原式
；
【小問(wèn)3詳解】
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的兩個(gè)根，求的值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解；
（2）利用韋達(dá)定理得到，從而得到，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
解得；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，
所以，
，
又，
.
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為方程在上有兩解，利用二次函數(shù)根的分布求解即可
【詳解】（1）時(shí)，，
令可得，即x=1．
的零點(diǎn)是．
（2）令，顯然，則．
有兩個(gè)零點(diǎn)，且為單調(diào)函數(shù)，
方程在上有兩解，
，解得：．
的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)，二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，是中檔題
18. 某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物.據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人在0.5小時(shí)內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每升血液中的藥物含量（毫克）與開始注射后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線，與的函數(shù)關(guān)系為且.根據(jù)圖中提供的信息：
（1）寫出開始注射該藥后每升血液中藥物含量（毫克）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）據(jù)測(cè)定：每升血液中藥物含量不少于0.08毫克時(shí)該藥有效，那么該藥的藥效時(shí)間有多長(zhǎng)？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.（參考值：）
【答案】（1）
（2）2.81小時(shí)
【解析】
【分析】（1）分、兩種情況討論，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，分段解不等式，求出的取值范圍，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入得，
解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，設(shè)且，將?代入，得，
解得，此時(shí).
綜上可得.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，令，解得；
當(dāng)時(shí)，令，即
而，故
藥效時(shí)間，
所以藥效時(shí)間約為小時(shí).
19. 已知函數(shù).
（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)解得，再用定義法進(jìn)行證明；
（2）記，，判斷出在1,+∞上單調(diào)遞增，列不等式組求出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）先判斷出在上單調(diào)遞增且，令，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化在上有兩根，令，，，利用圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，列不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)椋?br>因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，解得：，
此時(shí)，，
所以，
所以為偶函數(shù)，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，不等式可化為：，
即對(duì)任意恒成立，
記，，只需，
因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以，
所以，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增且，
則可化為，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
換底得：，
即，
令，則，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩根，
即，，
令，，，
分別作出圖像如圖所示：
只需，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

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