一、單選題
1．樣本數(shù)據(jù)為2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若刪除a后的新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則a為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．雙曲線的漸近線方程為，則（ ）
A．B．2C．D．
3．記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（ ）
A．45B．90C．180D．240
4．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱錐中，若側(cè)棱長均，且底面為直角三角形，斜邊，則三棱錐的外接球半徑R為（ ）
A．B．C．2D．3
6．兩名運動員參加一場七局四勝制的斯諾克短賽制比賽，比賽結(jié)束時所有可能比賽結(jié)果種數(shù)為（ ）
A．80B．70C．40D．35
7．已知橢圓，過原點斜率不為0的直線交E于A，B兩點，過A作x軸的垂線，垂足為M，直線BM交橢圓E于另一點D，記直線AB，AD的斜率分別為，，若，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知在上單調(diào)遞增，若為偶函數(shù)，，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)圖象上相鄰兩點，若，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
11．已知函數(shù)的定義域為，且，且，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
13．用一個平面截球O得到的曲面稱為球冠，截面為球冠的底面，如圖球冠的高大于球的半徑，為底面圓心，是以為底，點S在球冠上的圓錐，若底面的半徑是球的半徑的倍，點A為底面圓周上一點，則SA與底面所成的角為 ，圓錐的表面積與球O的表面積的比為 ．
14．已知正數(shù)x，y，z滿足或，記（M為x，y，z中最大者），則M的最小值為 ．
四、解答題
15．體育老師想了解高三（1）班男學(xué)生100米達(dá)標(biāo)情況，首次隨機(jī)抽查了12名男學(xué)生，結(jié)果有8名學(xué)生達(dá)標(biāo)，4名學(xué)生沒有達(dá)標(biāo)．
(1)現(xiàn)從這12名男學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，用X表示抽取的3名學(xué)生中沒有達(dá)標(biāo)的人數(shù)，求X的分布列和期望；
(2)為了提高達(dá)標(biāo)率，老師經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，第二次測試達(dá)標(biāo)率增加了，現(xiàn)從該班男學(xué)生中任意抽取2人，求至多兩次測試后，這兩人全部達(dá)標(biāo)的概率．
16．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求y=fx在點1,f1處的切線方程；
(2)若有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
17．已知四面體ABCD中，和是邊長為2的正三角形，點E，F(xiàn)，H分別在AD，BD，CD上，且，若面．
(1)求FD的長；
(2)求直線BA與平面BEH所成角的正弦值．
18．已知拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點，且，線段AB的垂直平分線與x軸交于點．
(1)求的值；
(2)求面積的最大值．
19．已知給定數(shù)列，從第二項起后項與前項作差，得到新數(shù)列，定義這個新數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列，記為，繼續(xù)上述操作，得到新數(shù)列，稱為的階差數(shù)列，記為，一般地，對任意，稱數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列．
(1)寫出數(shù)列的階差數(shù)列；
(2)若數(shù)列的首項階差數(shù)列，求的通項公式；
(3)若數(shù)列的首項，且，求數(shù)列的最小值．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義代入計算可得結(jié)果.
【詳解】刪除a后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為5，因此數(shù)據(jù)總和為50，所以可得，
解得.
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)雙曲線方程得出雙曲線的漸近線再計算求參.
【詳解】因為雙曲線方程為，所以,所以漸近線方程為,
即得，所以.
故選：D.
3．B
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式求.
【詳解】由得，，
整理得，即，
所以.
故選：B
4．A
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式化簡求值即可.
【詳解】由題設(shè)，
.
故選：A
5．C
【分析】設(shè)的中點為，易得三棱錐的外接球的球心在上，再利用勾股定理即可得解.
【詳解】因為三棱錐的三條側(cè)棱相等，
所以頂點在底面的射影是底面的外心，
又為直角三角形，可知的外心是斜邊的中點，
設(shè)的中點為，所以三棱錐的外接球的球心在上，
又，可得，解得.
故選：C．
6．B
【分析】按總局?jǐn)?shù)為4局，5局，6局，7局分類討論，將結(jié)果相加即可.
【詳解】因為采用7局4勝制，先贏4局者獲勝，所以可能賽4局，5局，6局，7局，
若賽4局，則有2種；若賽5局，則有種；
若賽6局，則有種；若賽7局，則有種；
綜上所有賽事情況種數(shù)為種，
故選：B
7．D
【分析】根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可求得，再求得，進(jìn)而可得即可求離心率.
【詳解】
設(shè)，則，
所以，
又，
所以，
又點在上，所以，
所以，
即，由，
故選:D．
8．A
【分析】根據(jù)為偶函數(shù)得到關(guān)于對稱，即有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷和的大小，將兩邊同時取對數(shù)可判斷和的大小，最后根據(jù)在上單調(diào)遞增比較大小即可.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
所以關(guān)于對稱，所以，
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
當(dāng)時，由得，，則，
由上可得，又在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.
故選：A．
9．ABD
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算和模的概念一一求解.
【詳解】因為，選項A正確；
因為，
所以，選項B正確；
因為，
,
所以，選項C錯誤；
因為，所以，選項D正確；
故選：ABD．
10．BC
【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)得出或結(jié)合已知即可求參判斷A,應(yīng)用函數(shù)奇偶性函數(shù)判斷B,C,求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間判斷D.
【詳解】和相鄰交點間距是或，
即相鄰交點的間距是或（是正弦函數(shù)的最小正周期）
因為為相鄰兩點且縱坐標(biāo)相同，
設(shè)為的周期，所以或，
所以或，
所以或，又，
所以或，又，所以，選項A錯誤；
由為奇函數(shù)，
所以，即，
又，所以，選項B正確；
由上可知，為偶函數(shù)，選項C正確；
令，可得，
取，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項D錯誤；
故選:BC．
11．ACD
【分析】令得到，將代入可判斷A；分別求出，，可判斷B；求出和的值可判斷C；利用累乘法求出可判斷D.
【詳解】令得，則，即，
對于A，令得，，所以，故A正確；
對于B，，，，
所以，故B錯誤；
對于C，由知，當(dāng)時，，
則有，，
所以，故C正確；
對于D，當(dāng)且時，由得，
，故D正確，
故選：ACD．
12．
【分析】由對數(shù)運算可得，再由元素與集合的關(guān)系代入解不等式可得結(jié)果.
【詳解】易知，因為，所以，
所以，即．
可得實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
13． /60° /0.5625
【分析】結(jié)合圓錐的圖形特征應(yīng)用線面角定義得出正切即可求角，再應(yīng)用圓錐及球的表面積公式計算求解.
【詳解】由題意可知球心在圓錐的高上，設(shè)底面的半徑為，球的半徑為，則，則，
所以，
因為與底面所成的角為，所以，
故．
由上可知圓錐的表面積為，
所以圓錐的表面積與球的表面積的比為．
故答案為：；.
14．
【分析】由題設(shè)、，結(jié)合已知得、，即可得結(jié)果.
【詳解】若，由，可得，
所以，即，
若，則有，所以，即，
故的最小值為．
故答案為：
15．(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，進(jìn)而可寫出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；
（2）先分別求出首次達(dá)標(biāo)和首次不達(dá)標(biāo)第二次達(dá)標(biāo)的概率，再分類討論求解即可.
【詳解】（1）由題意的可能取值為，
則有，，
，，
所以隨機(jī)變量的分布列為
所以隨機(jī)變量的期望為；
（2）由題意可知首次達(dá)標(biāo)的概率為，
首次不達(dá)標(biāo)第二次達(dá)標(biāo)的概率為，
所以兩位學(xué)生都首次就達(dá)標(biāo)的概率為，
兩位學(xué)生一位首次達(dá)標(biāo)，另一位首次不達(dá)標(biāo)而第二次達(dá)標(biāo)的概率為，
兩位學(xué)生首次都不達(dá)標(biāo)，第二次達(dá)標(biāo)的概率為，
所以至多兩次測試后，兩位學(xué)生全部達(dá)標(biāo)的概率為．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；
（2）討論或兩種情況，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究零點，最后根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
所以，
所以在點處的切線方程為，
即．
（2）令可得或，對兩個方程分別討論，
①設(shè)，則，
所以在單調(diào)遞增，且，
所以存在唯一的零點，使，即，
②令，即，
設(shè)，可得，
則在上單調(diào)遞增，又且時，，
當(dāng)時，存在唯一的零點，使，即，
若時，得，則，可得，故，
所以且時，有兩個不同的零點；
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）取的中點，連接，先證面，進(jìn)而可得面面，由面面平行的性質(zhì)得，利用三角形相似得，即可求線段長度；
（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.
【詳解】（1）取的中點，連接，
由已知，得，又且都在面內(nèi)，
所以面，又面，
所以面面，面面，面面，
所以，
在中，所以，
故
（2）由題意，得，因為，所以，
以為原點，直線分別為軸，軸，過點與面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，則，得，
取，得
設(shè)直線與平面所成角的為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
18．(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理和拋物線定義得到，寫出直線的垂直平分線方程即可求解；
（2）利用弦長公式和點到直線的距離公式求出的面積的表達(dá)式，利用換元法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出最大值即可求出面積的最大值.
【詳解】（1）由題意拋物線的焦點為，則，
可得，設(shè)Ax1,y1，，
聯(lián)立，得，，
所以，，
又，可得，
由，得或，
設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，
所以的垂直平分線方程為：，
將代入整理得，令，即得；
（2）由（1）得
，
又點到直線的距離，
則的面積為，
，
令，設(shè)，則，
令，解得，令，解得，
則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，即的最大值為，
所以面積的最大值為．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是第二問中求解三角形的面積最值時，要利用弦長公式以及點到直線的距離求出三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解最值.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)階差數(shù)列的定義，寫出已知數(shù)列的階差數(shù)列；
（2）根據(jù)已知得，應(yīng)用累加法求通項公式即可；
（3）由已知得，累加法求數(shù)列的通項公式，令，則并確定單調(diào)性，進(jìn)而求數(shù)列的最小值.
【詳解】（1）由題意，得，；
，所以2階數(shù)列為．
（2）因為，又，所以，
所以，
累加得，即，
所以．
（3）因為，及，得，
又，所以，兩邊同除，得，
當(dāng)時，
，
所以，時也滿足，
所以，
令，則，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增
而，所以，即時，取得最小值為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)定義得到為關(guān)鍵，第三問，根據(jù)已知條件和定義得，再應(yīng)用累加求通項公式為關(guān)鍵.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
D
A
ABD
BC
題號
11









答案
ACD









0
1
2
3

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