1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.
4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（ ）
A 290B. 295C. 300D. 330
2. 已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
3. 已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是
A. B. C. D.
4. 已知向量，，若向量在向量上投影向量為，則（ ）
A. B. C. 2D.
5. 冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測(cè)得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
6. 2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場(chǎng)舉行．秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 48
7. 已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且滿足，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，，，則（ ）
A. B. 的實(shí)部依次成等比數(shù)列
C. D. 的虛部依次成等差數(shù)列
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（ ）
A. 的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B. 區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象
D. 將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象
11. 定義在R上的函數(shù)滿足，，.若，記函數(shù)的最大值與最小值分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 為的一個(gè)周期B.
C. 若，則D. 在上單調(diào)遞增
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若集合，，，則的最小值為_(kāi)_________.
13. 甲?乙兩個(gè)圓錐母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；
（2）若直線是曲線的一條切線，求的值.
16. “村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，被大家簡(jiǎn)稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂(lè)感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè).
某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
附.
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？
（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17. 如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.

（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
18. 已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.
（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)在曲線上，求四邊形面積的范圍.
19. 已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對(duì)于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.
（1）若，求及；
（2）若，求證：互不相同；
（3）已知，若對(duì)任意的正整數(shù)都有或，求的值.
2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試卷
考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.
4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（ ）
A. 290B. 295C. 300D. 330
【正確答案】B
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?88，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以分位數(shù)為.
故選：B
2. 已知數(shù)列是無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，公比為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【正確答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比的不同情形，分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件得解.
【詳解】若，，則數(shù)列an單調(diào)遞減，故不能推出數(shù)列an單調(diào)遞增；
若an單調(diào)遞增，則，，或，，不能推出，
所以“”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
3. 已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由雙曲線方程，求得其一條漸近線的方程，再由圓，求得圓心為，半徑，利用直線與圓相切，即可求得，得到答案．
【詳解】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，
又由圓，可得圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，則，可得，
故選C．
本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則（ ）
A. B. C. 2D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)向量投影的概念運(yùn)算求出，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得結(jié)果.
【詳解】由題在上的投影向量為，
又，，即，
.
故選：A.
5. 冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測(cè)得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先根據(jù)三條邊求出，利用平方關(guān)系得到，即可根據(jù)等腰三角形求解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，
因?yàn)椋裕?br>在中，由得，
故選：C
6. 2023年9月8日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在西湖涌金公園廣場(chǎng)舉行．秉持杭州亞運(yùn)會(huì)“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡(jiǎn)約、規(guī)模適度．在杭州某路段傳遞活動(dòng)由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能從甲、乙、丙中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案種數(shù)為（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 48
【正確答案】B
【分析】分第一棒為丙、第一棒為甲或乙兩種情況討論，分別計(jì)算可得.
【詳解】當(dāng)?shù)谝话魹楸麜r(shí)，排列方案有種；
當(dāng)?shù)谝话魹榧谆蛞視r(shí)，排列方案有種；
故不同的傳遞方案有種.
故選：B
7. 已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可求的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，即可計(jì)算得解．
【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得?br>即，可得，
因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，
所以，得，
又因?yàn)椋?br>聯(lián)立解得：，，故有：，
從而有．
故選：B．
8. 已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且滿足，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】設(shè)，先根據(jù)，得，，代入橢圓方程可得，進(jìn)而解方程可得.
【詳解】
如圖，：的圖象，則，，其中，
設(shè)，，則，
，，，
因，得，
故，得，
由得，
得即，得
由，得，又，，
化簡(jiǎn)得，又橢圓離心率，
所以，得.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，，，則（ ）
A. B. 的實(shí)部依次成等比數(shù)列
C. D. 的虛部依次成等差數(shù)列
【正確答案】ABC
【分析】由題意由復(fù)數(shù)乘除法分別將化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)加法、共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷A；復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念即可判斷BD，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可判斷C.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故A正確；
因?yàn)椋?，的?shí)部分別為1，3，9，所以，，的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；
因?yàn)椋?，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；
，故C正確.
故選：ABC
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（ ）
A. 的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象
D. 將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象
【正確答案】ABD
【分析】由題意首先求出函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)于A，直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于B，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對(duì)于CD，直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】由圖象可知，，解得，
又，所以，即，結(jié)合，可知，
所以函數(shù)的表達(dá)式為，
對(duì)于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.
故選：ABD.
11. 定義在R上的函數(shù)滿足，，.若，記函數(shù)的最大值與最小值分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 為的一個(gè)周期B.
C. 若，則D. 在上單調(diào)遞增
【正確答案】ABC
【分析】結(jié)合已知求得為的一個(gè)周期，從而A正確；將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，得，即可判斷B正確；利用中心對(duì)稱性質(zhì)求值判斷C正確；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】由，將x替換成，得．
因?yàn)椋缮厦鎯蓚€(gè)式子，．
將x替換成，，所以．
所以，
所以為的一個(gè)周期，A正確；
將等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別求導(dǎo)，
得，即成立，B正確；
滿足，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)一定存在關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)關(guān)系，
所以，解得，C正確；
已知條件中函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，無(wú)法判斷在上是否單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若集合，，，則的最小值為_(kāi)_________.
【正確答案】6
【分析】先求出集合，然后由，從而求解.
【詳解】由，解得，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以的最小值為.
故答案為.
13. 甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.
【正確答案】##
【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，所以，
又，則，所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故答案為.
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．
【正確答案】1
【分析】由可變形為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)等式，由此可求.
【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得．
所以，又，
構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；
（2）若直線是曲線的一條切線，求的值.
【正確答案】（1），
（2）
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可確定在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)并求得最值；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切線斜率可構(gòu)造方程組求得和的值.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
又，，.
小問(wèn)2詳解】
由題意知：，
設(shè)直線與相切于點(diǎn)，
則，消去得：，解得：，
則，解得.
16. “村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，被大家簡(jiǎn)稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂(lè)感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè).
某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
附.
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？
（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球?qū)W生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【正確答案】（1）有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)
（2）分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)男女生各50名及表中數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，然后根據(jù)計(jì)算從而求解.
（2）根據(jù)題意可知的所有可能取值為，列出分布列，計(jì)算出期望從而求解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，
的觀測(cè)值為，
，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).
【小問(wèn)2詳解】
依題意，的所有可能取值為，
，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期.
17. 如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成.

（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）利用正四棱錐與正四面體的性質(zhì)得到多面體的棱長(zhǎng)全相等，從而利用線面垂直的判定定理證得四點(diǎn)共面，再利用線面平行的判定定理即可得解；
（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角，從而得解.
【小問(wèn)1詳解】
分別取的中點(diǎn)，連接，
由題意可知多面體的棱長(zhǎng)全相等，且四邊形為正方形，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，同理平面.
又平面平面，所以四點(diǎn)共面.
又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，又平面平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，即，
令，則，所以.
設(shè)與平面所成角為，
則，
即與平面所成角的正弦值為.
18. 已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.
（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)
（2）
【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合處的切線方程求得直線所過(guò)定點(diǎn).
（2）先求得四邊形的面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得面積的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，直線，
聯(lián)立，可得.
在軸兩側(cè)，，
，
由得，
所以點(diǎn)處的切線方程為，
整理得，
同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，
由，可得，
又在直線上，.
直線過(guò)定點(diǎn)0,2.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得在曲線上，
.
由（1）可知，
，
，
令在單調(diào)遞增，
四邊形的面積的范圍為.
方法點(diǎn)睛：求解拋物線的切線方程，有兩種方法，一種是利用判別式法，即設(shè)出切線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后利用判別式為0列方程來(lái)求得切線方程；另一種是利用導(dǎo)數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.
19. 已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對(duì)于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.
（1）若，求及；
（2）若，求證：互不相同；
（3）已知，若對(duì)任意的正整數(shù)都有或，求的值.
【正確答案】（1），.
（2）證明見(jiàn)解析 （3）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）觀察數(shù)列，結(jié)合題意得到及；
（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結(jié)論；
（3）由題意得或，令，得到或，當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，考慮或兩種情況，求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以，則；
【小問(wèn)2詳解】
依題意，
則有，
因此，
又因?yàn)椋?br>所以
所以互不相同.
【小問(wèn)3詳解】
依題意
由或，知或.
令，可得或，對(duì)于成立，
故或.
①當(dāng)時(shí)，
，
所以.
②當(dāng)時(shí)，
或.
當(dāng)時(shí)，由或，有，
同理，
所以
當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，
令，可得或，即或.
令，可得或. 令，可得.
所以.
若，則令，可得，與矛盾.
所以有.
不妨設(shè)，
令，可得，因此.
令，則或.
故.
所以.
綜上，時(shí)，.
時(shí)，.
時(shí)，.
數(shù)列新定義問(wèn)題的方法和技巧：
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.
喜歡足球
不喜歡足球
合計(jì)
男生
20
女生
15
合計(jì)
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜歡足球
不喜歡足球
合計(jì)
男生
20
女生
15
合計(jì)
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
喜歡足球
不喜歡足球
合計(jì)
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合計(jì)
45
55
100
0
1
2
3

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